duimnael|250px|Die waarskynlikhede om verskeie getalle met twee dobbelstene te gooi Waarskynlikheid is 'n maatstaf of skatting van die moontlikheid van 'n gebeurtenis. Waarskynlikhede word 'n waarde tussen 0 (0% kans of sal nie gebeur nie) en 1 (100% kans of sal gebeur) toegeken.Streng gesproke dui 'n waarskynlikheid van 0 daarop dat 'n gebeurtenis byna nooit plaasvind, terwyl 'n waarskynlikheid van 1 daarop dui dat 'n gebeurtenis byna sekerlik plaasvind. Die onderskeid is belangrik wanneer die steekproefruimte oneindig is. Vir die kontinue uniforme verdeling op die reële interval [5, 10] is daar byvoorbeeld 'n oneindige aantal moontlike uitkomste, en die waarskynlikheid dat enige gegewe uitkoms – byvoorbeeld presies 7 – waargeneem word, is 0. Dit beteken dat 'n waarneming byna sekerlik nie presies 7 sal wees nie. Dit beteken egter nie dat presies 7 onmoontlik is nie: uiteindelik word 'n bepaalde uitkoms (met waarskynlikheid 0) waargeneem, en een moontlikheid vir daardie bepaalde uitkoms is presies 7. Hoe hoër die graad van waarskynlikheid, hoe groter is die kans dat die geval sal gebeur, of in 'n langer reeks monsters, hoe meer is die aantal kere wat verwag word dat so 'n geval sal gebeur.William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. 1, 3de uitgawe, Wiley, 1968. . Die waarde word dikwels as 'n persentasie (%) uitgedruk, wat van 0% tot 100% wissel.
Hierdie begrippe het 'n aksiomatiese wiskundige formalisering in die waarskynlikheidsleer gekry, wat wyd gebruik word op gebiede soos die statistiek, die wiskunde, die wetenskap, finansies, dobbel, kunsmatige intelligensie, masjienleer, die rekenaarwetenskap, die spelteorie en die filosofie om byvoorbeeld gevolgtrekkings oor die verwagte frekwensie van gebeurtenisse te maak. Die waarskynlikheidsleer word ook gebruik om die onderliggende meganika en reëlmatighede van komplekse stelsels te beskryf.Probability Theory. Britannica-webwerf.
Etimologie Die Engelse woord vir waarskynlikheid, probability, is van die Latynse afgelei. Dié woord kon ook "opregtheid" beteken – 'n maatstaf van die gesag van 'n getuie in 'n regsaak in Europa, wat dikwels met die getuie se adellike status saamgehang het. In dié sin verskil dit heelwat van die moderne betekenis van waarskynlikheid, wat daarteenoor 'n maatstaf is van die gewig van empiriese getuienis en wat deur induktiewe redenering en statistiese gevolgtrekking verkry word.Hacking, I. (2006). The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference. Cambridge University Press. .
Interpretasies Wanneer daar met ewekansige eksperimente gewerk word – dit wil sê eksperimente wat lukraak én welgedefinieerd is, soos die opskiet van 'n muntstuk – in 'n suiwer teoretiese opset, kan waarskynlikhede numeries beskryf word as die aantal verlangde uitkomste gedeel deur die totale aantal moontlike uitkomste. Dit staan bekend as teoretiese waarskynlikheid, in teenstelling met empiriese waarskynlikheid, wat handel oor waarskynlikhede in die konteks van werklike eksperimente. Wanneer 'n muntstuk twee keer opgeskiet word, is die moontlike uitkomste byvoorbeeld "kop-kop", "kop-stert", "stert-kop" en "stert-stert". Die waarskynlikheid om "kop-kop" te kry is 1 uit 4 uitkomste, oftewel 1/4, 0,25 of 25%; die waarskynlikheid om minstens een kop te kry, is 3 uit 4, oftewel 0,75, en dié gebeurtenis is dus waarskynliker. Wat die praktiese toepassing betref, is daar egter twee groot mededingende kategorieë van waarskynlikheidsinterpretasies, waarvan die aanhangers verskillende sienings huldig oor die grondliggende aard van waarskynlikheid: Objektiviste ken getalle toe om 'n objektiewe of fisiese stand van sake te beskryf. Die gangbaarste weergawe van objektiewe waarskynlikheid is die frekwentistiese waarskynlikheid, wat beweer dat die waarskynlikheid van 'n ewekansige gebeurtenis die relatiewe frekwensie aandui waarmee 'n eksperiment se uitkoms voorkom wanneer die eksperiment onbepaald herhaal word. Dié interpretasie beskou waarskynlikheid as die relatiewe frekwensie van uitkomste "op die lange duur". 'n Variant hiervan is die geneigdheidswaarskynlikheid, wat waarskynlikheid vertolk as die neiging van 'n eksperiment om 'n bepaalde uitkoms te lewer, selfs al word dit net een keer uitgevoer. Subjektiviste ken getalle toe volgens subjektiewe waarskynlikheid, dit wil sê as 'n graad van oortuiging. Dié graad van oortuiging is vertolk as "die prys waarteen jy 'n weddenskap sou koop of verkoop wat 1 eenheid nut uitbetaal indien E, en 0 indien nie E nie", hoewel daar nie algemene eenstemmigheid oor dié vertolking bestaan nie. Die gangbaarste weergawe van subjektiewe waarskynlikheid is die Bayesiaanse waarskynlikheid, wat kundige kennis sowel as eksperimentele data insluit om waarskynlikhede te bereken. Die kundige kennis word deur 'n (subjektiewe) a priori-waarskynlikheidsverdeling voorgestel, en die data word in 'n aanneemlikheidsfunksie opgeneem. Die produk van die a priori-verdeling en die aanneemlikheid lewer, ná normalisering, 'n a posteriori-waarskynlikheidsverdeling wat al die inligting bevat wat tot op datum bekend is. Volgens Aumann se ooreenstemmingstelling sal Bayesiaanse agente met soortgelyke aanvanklike oortuigings uiteindelik soortgelyke slotoortuigings hê; genoegsaam verskillende aanvanklike oortuigings kan egter tot verskillende gevolgtrekkings lei, hoeveel inligting die agente ook al deel.
Geskiedenis Die wetenskaplike studie van waarskynlikheid is 'n moderne ontwikkeling in die wiskunde. Dobbel toon dat daar deur die geskiedenis heen belangstelling was om die idees rondom waarskynlikheid te kwantifiseer, maar presiese wiskundige beskrywings het veel later ontstaan. Daar is redes vir die stadige ontwikkeling van die wiskunde van waarskynlikheid. Hoewel kansspele die aanstoot tot die wiskundige studie van waarskynlikheid gegee het, word grondliggende vraagstukke steeds deur bygelowe verduister.In die konteks van die boek waaruit dit aangehaal is, is dit die waarskynlikheidsleer en die logika daaragter wat oor sulke verskynsels heers, in teenstelling met oorhaastige voorspellings wat op blote geluk of op mitologiese argumente – soos gelukgode wat die wenner van die spel bystaan – berus.Freund, John (1973). Introduction to Probability. Dickenson. (bl. 1).
Volgens Richard Jeffrey het "die term 'waarskynlik' (Latyn probabilis) voor die middel van die sewentiende eeu goedkeurbaar beteken, en is dit in dié sin eenduidig op sowel opinie as handeling toegepas. 'n Waarskynlike handeling of opinie was een wat verstandige mense in die gegewe omstandighede sou onderneem of huldig."Jeffrey, R.C. (1992). Probability and the Art of Judgment. Cambridge University Press. bl. 54–55. . Veral in regskontekste kon 'waarskynlik' egter ook op stellings van toepassing wees waarvoor daar goeie getuienis bestaan het.Franklin, J. (2001). The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal. Johns Hopkins University Press. bl. 22, 113, 127.
duimnael|140px|Gerolamo Cardano (16de eeu) duimnael|140px|Christiaan Huygens het een van die eerste boeke oor waarskynlikheid gepubliseer (17de eeu). Die sestiende-eeuse Italiaanse veelsydige geleerde Gerolamo Cardano het die nut aangetoon daarvan om die kansverhouding as die verhouding van gunstige tot ongunstige uitkomste te definieer, wat impliseer dat die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis gegee word deur die verhouding van gunstige uitkomste tot die totale aantal moontlike uitkomste. Buiten Cardano se elementêre werk dateer die leerstuk van waarskynlikhede uit die briefwisseling tussen Pierre de Fermat en Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens het in 1657 die vroegste bekende wetenskaplike behandeling van die onderwerp gelewer. Jakob Bernoulli se Ars Conjectandi (postuum, 1713) en Abraham de Moivre se The Doctrine of Chances (1718) het die onderwerp as 'n tak van die wiskunde behandel. Vir 'n geskiedenis van die vroeë ontwikkeling van die begrip wiskundige waarskynlikheid self, sien Ian Hacking se The Emergence of Probability en James Franklin se The Science of Conjecture.
Die fouteteorie kan tot Roger Cotes se Opera Miscellanea (postuum, 1722) teruggevoer word, maar 'n verhandeling wat Thomas Simpson in 1755 opgestel het (gedruk in 1756) het die teorie die eerste keer op die bespreking van waarnemingsfoute toegepas. Die herdruk van dié verhandeling in 1757 lê die aksiomas neer dat positiewe en negatiewe foute ewe waarskynlik is, en dat bepaalde aanwysbare grense die omvang van alle foute afbaken. Simpson bespreek ook kontinue foute en beskryf 'n waarskynlikheidskurwe.
Die eerste twee foutwette wat voorgestel is, het albei by Pierre-Simon Laplace ontstaan. Die eerste wet is in 1774 gepubliseer en het gestel dat die frekwensie van 'n fout as 'n eksponensiële funksie van die numeriese grootte van die fout uitgedruk kan word, ongeag die teken daarvan. Die tweede foutwet is in 1778 deur Laplace voorgestel en het gestel dat die frekwensie van die fout 'n eksponensiële funksie van die kwadraat van die fout is.Wilson, E.B. (1923). "First and second laws of error". Journal of the American Statistical Association, 18, bl. 143. Die tweede foutwet word die normaalverdeling of die Gauss-wet genoem. "Dit is histories moeilik om dié wet aan Gauss toe te skryf, wat ten spyte van sy welbekende vroegrypheid dié ontdekking waarskynlik nie voor die ouderdom van twee gemaak het nie."
duimnael|140px|Carl Friedrich Gauss Daniel Bernoulli het in 1778 die beginsel van die maksimum produk van die waarskynlikhede van 'n stelsel van gelyktydige foute ingevoer. Adrien-Marie Legendre het in 1805 die kleinstekwadratemetode ontwikkel en dit in sy Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes ("Nuwe metodes om die wentelbane van komete te bepaal") bekendgestel. Sonder dat hy van Legendre se bydrae geweet het, het die Iers-Amerikaanse skrywer Robert Adrain, redakteur van "The Analyst" (1808), die eerste keer die wet van foutgemak (law of facility of error) afgelei:
waar 'n konstante is wat van die presiesheid van die waarneming afhang en 'n skaalfaktor is wat verseker dat die oppervlakte onder die kurwe gelyk aan 1 is. Hy het twee bewyse gelewer, waarvan die tweede in wese dieselfde as dié van John Herschel (1850) was. Gauss het in 1809 die eerste bewys gelewer wat blykbaar in Europa bekend was (die derde ná dié van Adrain). Verdere bewyse is deur Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W.F. Donkin (1844, 1856) en Morgan Crofton (1870) gelewer. Ander wat bygedra het, was Ellis (1844), Augustus De Morgan (1864), Glaisher (1872) en Giovanni Schiaparelli (1875). Peters se formule van 1856 vir r, die waarskynlike fout van 'n enkele waarneming, is welbekend.
In die negentiende eeu het skrywers oor die algemene teorie onder andere Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion en Karl Pearson ingesluit. Augustus De Morgan en George Boole het die uiteensetting van die teorie verbeter.
Andrej Markov het in 1906 die begrip Markov-kettings ingevoer, wat 'n belangrike rol in die teorie van stogastiese prosesse en die toepassings daarvan gespeel het. Die moderne waarskynlikheidsleer, wat op maatteorie gegrond is, is in 1931 deur Andrej Kolmogorov ontwikkel.
Aan die meetkundige kant het Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson en Artemas Martin tot The Educational Times bygedra.
Teorie
Soos ander teorieë is die waarskynlikheidsleer 'n voorstelling van sy begrippe in formele terme – dit wil sê in terme wat afsonderlik van hul betekenis beskou kan word. Dié formele terme word volgens die reëls van die wiskunde en die logika gemanipuleer, en enige resultate word terug na die probleemgebied vertolk of vertaal.