Wärmerauschen, thermisches Rauschen, Widerstandsrauschen, Nyquist-Rauschen, Johnson-Rauschen oder Johnson-Nyquist-Rauschen genannt, ist ein weitgehend weißes Rauschen, das aus der thermischen Bewegung der Ladungsträger in elektrischen Schaltungen hervorgeht. Das Frequenzspektrum des Widerstandsrauschens wurde von John Bertrand Johnson experimentellJ. B. Johnson: Thermal Agitation of Electricity in Conductors. In: Physical Review. Bd. 32, Nr. 1, 1928, S. 97–109, doi:10.1103/PhysRev.32.97. erforscht und gleichzeitig von Harry Theodor Nyquist theoretischH. Nyquist: Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors. In: Physical Review. Bd. 32, Nr. 1, 1928, S. 110–113, doi:10.1103/PhysRev.32.110. begründet.
Erscheinungsform Wärmerauschen äußert sich bei unbelasteten ohmschen Widerständen als thermisches Widerstandsrauschen, oft einfach Widerstandsrauschen genannt. Die thermische Bewegung der Leitungselektronen erzeugt an den Klemmen des Zweipols den Rauschstrom und die Rauschspannung. Die bei Kurzschluss oder Leerlauf vorliegenden Werte können als spektrale Rauschleistungsdichte allgemein angegeben werden. Sie sind proportional zur absoluten Temperatur. Beim unbelasteten Bauelement ist die Rauschleistung unabhängig vom elektrisch leitenden Medium, dagegen kann beim von Gleichstrom durchflossenen Bauelement Stromrauschen hinzu kommen, das beim Kohleschichtwiderstand weit über dem thermischen Rauschen liegen kann. Beim stromdurchflossenen Halbleiter entsteht Zusatzrauschen durch Modulation des Laststroms – bei Spannungseinprägung – wegen thermisch bedingter Schwankung der Trägerzahl im Leitungsband und Valenzband und damit der Leitfähigkeit.
Johnson experimentierte in den Jahren 1927/28 bei Temperaturen zwischen der Siedetemperatur des Stickstoffs und der des Wassers mit Widerständen sehr unterschiedlichen Materials. Verwendet wurden unter anderen Kohleschicht-, Kupfer- und Platinwiderstände sowie mit verschiedensten Elektrolyten gefüllte Kapillaren.
Johnson teilte mit, Schottky habe im Jahre 1918 aus theoretischen Erwägungen erkannt, dass Wärmerauschen von Leitungselektronen mit Röhrenverstärkern zu entdecken sein müsse, aber mit einem Resonanzkreis am Verstärkereingang werde der gesuchte Effekt durch das Schrotrauschen maskiert.W. Schottky: Über spontane Stromschwankungen in verschiedenen Elektrizitätsleitern. In: Annalen der Physik. Bd. 362, Nr. 23, 1918, S. 541–567, doi:10.1002/andp.19183622304. Nyquist zitierte Schottkys Arbeit wegen der daraus gewonnenen Anregung, die elektrodynamische Rauschleistung aus Thermodynamik und statistischer Mechanik abzuleiten.
Ursachen Die Leitungselektronen elektrisch leitender Materialien (Metalle, Halbleiter) nehmen an der weitgehend ungeordneten, thermisch angeregten Bewegung der Komponenten der atomaren Ebene teil und bewegen sich zufällig und ungerichtet. Sie tragen bei Raumtemperatur in geringem Maße zur spezifischen Wärme bei, und ihre ungeordnete Bewegung stellt an den Klemmen eines Zweipols die hier in Rede stehende endliche elektrische Rauschleistung zur Verfügung. Die Leitungselektronen erzeugen mit großer Rate statistisch unabhängige Spannungs- und Stromimpulse von endlicher, kurzer Dauer, deren Überlagerung zu der breiten Frequenzverteilung führt, die in der Elektrotechnik meistens als Rauschquelle mit weißem Spektrum wahrgenommen wird. Das Rauschleistungsspektrum reicht von der Frequenz null bis zu einer Grenzfrequenz, deren Wert durch die thermisch noch merklich anregbaren Quanten der elektromagnetischen harmonischen Komponenten bestimmt ist. Die erste Berechnung des Rauschspektrums von Nyquist macht vom Gleichverteilungssatz der Thermodynamik Gebrauch. – Eine endliche Gleichspannungskomponente wird nicht beobachtet; sie könnte nicht als zufällige Komponente betrachtet werden, vgl. Thermoelektrizität. Dazu wäre eine Symmetriebrechung notwendig, für die keine Veranlassung ersichtlich ist, weil beim Widerstandsrauschen thermodynamisches Gleichgewicht vorausgesetzt wird.
Das Widerstandsrauschen wird hier durch das in weiten Frequenzgrenzen weiße Leistungsspektrum charakterisiert. Eine andere Fragestellung ist die Beschreibung durch die Amplitudenverteilung der Momentanwerte von Spannung oder Strom. Erfahrungsgemäß liegt eine Normalverteilung (Gaußverteilung) mit Mittelwert null vor, deren Streuparameter durch die Rauschleistung gegeben ist. Insbesondere kann demnach eine beliebig große Amplitude erwartet werden bei exponentiell abnehmender Wahrscheinlichkeit.
Die stochastische Amplitudenstatistik bedingt, dass Rauschspannungen unter echter quadratischer Gleichrichtung gemessen werden müssen. Johnson verwendete dazu (nach elektronischer Verstärkung) einen Thermoumformer, in dem die Wärmeentwicklung durch die zugeführte Rauschleistung eine Temperaturerhöhung bewirkt. Diese wird mit einem Thermoelement gemessen, dessen zeitlich linear gemittelte Thermospannung dem Mittelwert des Rauschspannungsquadrats proportional ist. Diese Messvorschrift ist etwas verallgemeinert durch die Definition der Autokorrelationsfunktion mathematisch formuliert. Der Konvertierungsfaktor des Thermoumformers wird mit einer durch eine Gleichspannung gut definierbaren Leistung gemessen.
Rauschgrößen Analog den Zufallsschwankungen bei der brownschen Bewegung werden an einem ohmschen Widerstand im Verlaufe der Zeit Schwankungen der Leerlaufspannung beobachtet. Der Mittelwert dieser Spannungen ergibt null. Als Rauschgröße wird nach elektronischer Verstärkung der quadratische Mittelwert der Spannung gemessen, der in den Effektivwert umgerechnet werden kann. Das mittlere Spannungsquadrat ist proportional der absoluten Temperatur , der Größe des elektrischen Widerstandes und der Bandbreite der Messanordnung.
Der Einfluss der Bandbreite ist mit einem breitbandigen Aufbau nicht leicht erkennbar, die Amplitudenstatistik lässt sich dabei recht gut beurteilen. Deren Varianz ist durch gegeben. Die Amplitudenstatistik kann schmalbandig gut ermittelt werden. Schmalbandig ist der Einfluss einer bei zentrierten Bandbreite deutlich an den Ein- und Ausschwingzeiten proportional zu zu erkennen, durch die die Komponenten des Rauschspektrums um moduliert sind.
Widerstandsrauschen ist Ausdruck der Kopplung thermischer an elektrodynamische Schwankungen. Sie kann durch Betrachtungen zum Leistungsspektrum auf dem von Schottky und Nyquist gewählten Wege verdeutlicht werden.
Die Nyquist-Formel stellt folgenden Zusammenhang für die Rauschspannung im Leerlauf her:
mit der effektiven Leerlaufrauschspannung
folglich
Dabei sind die Boltzmann-Konstante, die absolute Temperatur und der ohmsche Widerstand des rauschenden Zweipols. ist die zugelassene Bandbreite.
Dual dazu berechnet sich das zeitlich gemittelte Rauschstromquadrat im Kurzschlussfall zu
mit dem effektiven Kurzschlussrauschstrom
Zur Allgemeingültigkeit der Formel von Nyquist und zu ihrer Bedeutung für tief reichende Fragen der Physik gibt Ginsburg umfassend Auskunft.
Rauschpegel Die Rauschleistung kann auch logarithmisch als Rauschpegel angegeben werden:
Bei Raumtemperatur () gilt:
, mit in Hz In folgender Tabelle sind thermische Rauschpegel zu diversen Bandbreiten bei Raumtemperatur aufgeführt: Bandbreite Thermischer Rauschpegel Hinweise 1 Hz −174 dBm 10 Hz −164 dBm 100 Hz −154 dBm 1 kHz −144 dBm 10 kHz −134 dBm FM-Kanal eines Funkgeräts 22 kHz −130,58 dBm AUDIO ITU-R 468-4 unbewertet, 22Hz-22kHz 100 kHz −124 dBm 180 kHz −121,45 dBm Ein LTE resource block 200 kHz −121 dBm GSM-Kanal 1 MHz −114 dBm Bluetooth-Kanal 2 MHz −111 dBm GPS-Kanal, ziviler C/A-Code mit 1,023 MHz Code-Taktrate 3,84 MHz −108 dBm UMTS-Kanal 6 MHz −106 dBm Analogfernsehen 20 MHz −101 dBm WLAN 802.11 40 MHz −98 dBm WLAN 802.11n 40 MHz-Kanal 80 MHz −95 dBm WLAN 802.11ac 80 MHz-Kanal 160 MHz −92 dBm WLAN 802.11ac 160 MHz-Kanal 1 GHz −84 dBm UWB
Ersatzschaltung und Leistungsbilanz Das Ersatzschaltbild eines rauschenden Widerstands als konzentriertem Bauelement ist die Reihenschaltung des rauschfrei gedachten Widerstands R als Quellwiderstand mit der sein Rauschen darstellenden Spannungsquelle, die das Leerlaufspannungsquadrat abgibt. Zur Darstellung mit einer Rauschstromquelle wird ein Quellstromgenerator vom Kurzschlussstromquadrat dem idealen Innenwiderstand parallel geschaltet.
Bei Kurzschluss dissipiert der rauschende ohmsche Widerstand selbst die generierte Leistung
weil die volle Quellenspannung über ihm abfällt.
Bei Leistungsanpassung dissipiert jeder der beiden rauschenden ohmschen Widerstände im jeweils anderen und bei sich selbst die Leistung
weil die halbe Quellspannung über ihnen abfällt. Dieses ist maximal von einer Quelle abgebbare Leistung und wird verfügbare Leistung genannt. Dieser Begriff macht von Zufälligkeiten einer Schaltung und von unabhängig und eignet sich für eine allgemeine Diskussion, indem der thermisch aktivierte, aber elektrodynamisch vermittelte Energieaustausch der beiden rauschenden, an ein Wärmebad der Temperatur gekoppelten Widerstände symmetrisch erfolgt.
Diese vier dissipierten Rauschleistungen ergeben zusammen wieder die Kurzschlussleistung, die folglich in dieser Anordnung ebenfalls insgesamt generiert wird. Die beiden zur Leistungsanpassung zusammengeschalteten Widerstände arbeiten, als eine Einheit vom Widerstand aufgefasst, im Kurzschluss und ihre dissipierte Leistung ist von der Größe und damit ebenfalls wie für jeden Widerstand einzeln.
Die dissipierte Leistung ist in einer rein ohmschen Schaltung bei Leistungsanpassung unabhängig von der Größe und allein thermodynamisch bestimmt durch die verfügbare Leistung Mit dieser Formulierung in quadratischen Größen als Leistungsbilanz wird dem schon von Schottky erkannten Anspruch manifest entsprochen, es handele sich um die oben Kopplung thermischer Schwankungen an elektrodynamische genannte Erscheinung. Schwankungsenergie von der Ordnung des mittleren thermodynamischen Quantums tauscht jede elektromagnetische Mode mit dem Wärmebad aus.
Die Formulierung als Leistungsbilanz erübrigt die Verwendung der Größe elektrischer Widerstand und verdeutlicht wegen dieser Allgemeingültigkeit die vorgeschlagene Benutzung des Lemmas Wärmerauschen. Leistung ist wegen der notwendig quadratischen Gleichrichtung ohnehin die eigentliche Messgröße.
Quantentheoretische Erweiterung Die Integration obiger Gleichungen über den gesamten Frequenzbereich führt zur Ultraviolett-Katastrophe. Ein streng weißes Spektrum verlangt außerdem die unrealistische Beteiligung beliebig kurz dauernder Impulse zur Anregung der harmonischen Komponenten. Deshalb ist für hohe Frequenzen die quantentheoretische Erweiterung notwendig. Nyquist leistete dies bereits. Die später erkannte quantenmechanische Nullpunktenergie wird als mögliche nicht thermische Rauschquelle gelegentlich angeführt.
Nyquist-Formel Für hinreichend hohe Frequenzen oder entsprechend niedrige Temperaturen muss die ebenfalls schon von Nyquist angegebene Formel
verwendet werden. Dabei wurde im zweiten Ausdruck bereits die quantentheoretische Grenzfrequenz benutzt, definiert durch .
Bei Raumtemperatur (300 K) beträgt sie . Oberhalb ist das thermische Widerstandsrauschen nicht mehr spektral weiß, sondern nimmt mit steigender Frequenz entsprechend dem Boltzmann-Faktor exponentiell ab. Für niedrige Frequenzen oder hinreichend hohe Temperatur geht die quantentheoretisch erweiterte Formel erwartungsgemäß in den Niederfrequenzwert über.
Nullpunktenergie Ein Beitrag der Nullpunktenergie zum Wärmerauschen wird gelegentlich zur Diskussion gestellt. Die Nullpunktenergie ist durch die heisenbergsche Unbestimmtheit gefordert und beträgt beim harmonischen Oszillator . Als vollständig korrigierte quantenmechanische Formel wird
häufig vorgeschlagen. Mit dieser Formel würde die Ultraviolett-Katastrophe verstärkt wieder eingeführt.