mini|Die Schreibweise einer Potenz: Eine Potenz (von )Lehnübersetzung aus gr. δύναμις, dýnamis, das in der antiken Geometrie spätestens seit Platon auch die Bedeutung „Quadrat“ hatte. ist das Ergebnis des Potenzierens (der Exponentiation), das wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation ist. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert. Dabei heißt die Zahl, die zu multiplizieren ist, Basis. Wie oft diese Basis als Faktor auftritt, wird durch den Exponenten angegeben. Man schreibt

Definition Man spricht als „ hoch “, „-te Potenz von “, „ zur -ten Potenz“ oder kurz „ zur -ten“ aus. Im Fall ist auch „ (zum) Quadrat“ üblich.

heißt Basis (oder Grundzahl), heißt Exponent (oder Hochzahl) der Potenz . Das Ergebnis heißt Potenz oder Wert der Potenz.

Die Definitionsmengen sowohl auf Seiten der Exponenten wie auf Seiten der Basen werden im Folgenden Schritt für Schritt erweitert.

Natürliche Exponenten Die Potenz wird für reelle oder komplexe Zahlen (allgemeiner Elemente eines beliebigen multiplikativen Monoids) und natürliche Zahlen durch

definiert. Diese Definition gilt nur für Damit die aus ihr (ebenfalls nur für ) folgende Identität auch noch für gilt, wird festgelegt. (Anmerkungen zum Fall siehe unten.)

mini|Potenzfunktionen mit positivem Exponenten graphisch mini|Potenzfunktionen mit negativem Exponenten graphisch

Die folgende Modifikation erleichtert die Behandlung des Sonderfalles :

Die Potenzschreibweise bedeutet „Multipliziere die Zahl 1 mit der Grundzahl so oft, wie es der Exponent angibt“, also .

Der Exponent 0 sagt aus, dass die Zahl 1 keinmal mit der Grundzahl multipliziert wird und allein stehen bleibt, sodass man das Ergebnis 1 erhält.

Bei negativer Basis und geradzahligem Exponenten ist die Potenz positiv:

Bei negativer Basis und ungeradzahligem Exponenten ist die Potenz negativ:

Ganze negative Exponenten Negative Exponenten bedeuten, dass man die zur Multiplikation inverse Operation (Division) durchführen soll. Also „Dividiere die Zahl 1 durch die Grundzahl so oft, wie es der Betrag des Exponenten angibt“.

Für eine reelle Zahl und eine natürliche Zahl definiert man also:

Die analoge Definition wird auch in allgemeinerem Kontext angewandt, wann immer eine Multiplikation und inverse Elemente zur Verfügung stehen, beispielsweise bei invertierbaren Matrizen.

Rationale Exponenten Sei eine rationale Zahl mit der Bruchdarstellung mit . Für beliebige positive reelle definiert man:

oder, was äquivalent ist:

Zum Beispiel gilt:

Der Wert der Potenz hängt nicht davon ab, welche Bruchdarstellung man gewählt hat.

Dieselbe Definition gilt auch für . Daraus folgt, dass für gilt und dass für nicht existiert.

Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen mit ungeraden Wurzelexponenten zulässt, dann kann man diese Definition auf negative Basen und solche rationale Exponenten erweitern, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Dazu gehören auch Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten, weil die Nenner in diesem Fall gleich sind.

Für den Fall kann man bei Berechnungen von alle Bruchdarstellungen mit ungeraden benutzen. Aber bei Benutzung von Bruchdarstellungen mit geraden können Fehler entstehen. Zum Beispiel gilt:

Reelle Exponenten mini|hochkant=1.2|Exponentialfunktionen 0,5x, 2x, ex und 10x Ist , eine beliebige reelle Zahl und eine Folge rationaler Zahlen, die gegen konvergiert, so definiert man:

Diese Definition ist korrekt, d. h., der Grenzwert existiert immer und hängt nicht von der Auswahl der Folge ab.

Zum Beispiel ist gleich dem Grenzwert der Folge

Die Definition lässt sich nicht auf den Fall erweitern, da in diesem Fall der Grenzwert nicht zu existieren braucht bzw. für verschiedene Wahlen der Folge sich verschiedene Grenzwerte ergeben.

Eine andere Definition ist über die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus möglich:

Dazu kann die Exponentialfunktion über ihre Reihenentwicklung definiert werden:

Insgesamt sind somit die Potenzen mit nichtnegativen Basen für alle reellen Exponenten definiert. Im Unterschied dazu sind die Potenzen mit negativen Basen nur für solche rationalen Exponenten definiert, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Alle Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten gehören dazu. Potenzen negativer Zahlen mit anderen reellen Exponenten lassen sich im Bereich der komplexen Zahlen definieren, sind allerdings nicht reellwertig.

Potenzgesetze mini|Erklärung und Anwendung der Potenzgesetze Um die nachfolgende Tabelle nicht zu überladen, betrachten wir nur Potenzen mit reellen Basen, die ungleich sind. Betrachtet man aber eines der unten aufgeführten Gesetze mit nur positiven Exponenten, dann ist es auch für Potenzen zur Basis gültig. Wenn von rationalen Zahlen mit geraden oder ungeraden Nennern gesprochen wird, dann sind stets die Nenner ihrer gekürzten Bruchdarstellungen gemeint.

für alle (Anmerkungen zu „null hoch null“ siehe unten) für beliebige reelle , falls ist; für beliebige rationale mit ungeraden Nennern, falls ist. für beliebige natürliche und ganze , falls ist;für beliebige natürliche und ganze ungerade , falls ist. für beliebige reelle , falls ist;für beliebige rationale mit ungeraden Nennern, falls ist. für beliebige reelle , falls ist;für beliebige rationale mit ungeraden Nennern, falls ist. für beliebige natürliche , und für ganze , wenn ; für beliebige reelle , falls sind; für beliebige rationale mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Zahlen negativ ist. für beliebige und ganze und, wenn , auch ; für beliebige reelle , falls sind; für beliebige rationale mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Zahlen negativ ist. für beliebige ganze , falls ist;für beliebige reelle , falls ist;für beliebige rationale , mit ungeraden Nennern, falls ist.

Ist mindestens einer der Exponenten irrational oder sind beide rational, aber hat mindestens eine der Zahlen oder einen geraden Nenner, dann ist einer der Ausdrücke oder für undefiniert. Ansonsten sind beide definiert und stimmen entweder überein oder unterscheiden sich nur um ihr Vorzeichen. Für beliebige , falls ist, und für ganze , falls ist, stimmen sie immer überein. Für und nicht ganzzahlige, aber rationale sind diese beiden Fälle möglich. Welcher Fall eintritt, hängt von der Anzahl der Zweien in der Primzahlzerlegung des Zählers von und des Nenners von ab. Um das richtige Vorzeichen auf der rechten Seite der Formel zu erkennen, ist es hinreichend, in diese Formel einzusetzen. Das Vorzeichen, mit dem sie dann bei gültig ist, bleibt richtig für alle und gegebenem . Gilt für , dann gilt für alle (und auch für , falls alle Exponenten positiv sind).

Zum Beispiel gilt und . Darum ist für alle und somit für alle reellen gültig.

Das Potenzieren ist weder kommutativ, denn beispielsweise gilt , noch assoziativ, denn beispielsweise gilt .

Die Schreibweise ohne Klammern bedeutet , das Potenzieren ist demnach rechtsassoziativ, vgl. Operatorrangfolge.

Vertauschung von Basis und Exponent mini|hochkant| Wie schon erwähnt, ist das Potenzieren nicht kommutativ, was die nachfolgende Ungleichung bestätigt.

Es seien und sei die Eulersche Zahl. Dann gilt:

Aus der abgebildeten Figur ergibt sich folgende Implikationskette: Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 150Mathematics Magazine, vol. 64, no. 1 (Feb. 1991), S. 31 Analog lässt sich zeigen:

Potenzen komplexer Zahlen Für ganzzahlige Exponenten kann man Potenzen mit komplexen Basen wie im reellen Fall definieren. Für beliebige reelle oder komplexe Exponenten muss man jedoch anders vorgehen.

Der erste Schritt zur Definition von Potenzen mit komplexen Basen und Exponenten besteht in der stetigen Fortsetzung der Funktion auf die Menge der komplexen Zahlen. Dafür gibt es unterschiedliche Möglichkeiten. Zum Beispiel kann man die Reihe

benutzen, die für alle konvergiert und für alle die Funktion angibt. Mithilfe von Operationen mit Reihen beweist man danach, dass

für beliebige und die eulersche Formel

für beliebige gelten. Daraus folgt die Formel , die man auch für die Definition von benutzen kann. Diese Formel zeigt, dass die Wertemenge von gleich ist und dass diese Funktion periodisch ist mit Perioden

Darum ist ihre Umkehrfunktion mehrdeutig und für alle definiert. Sie kann mithilfe der Formel angegeben werden, wobei der Betrag, die Wertemenge des Arguments von und der übliche reelle Logarithmus ist. Der Hauptwert dieser Funktion ergibt sich, wenn man den Hauptwert anstatt benutzt. Für reelle ist nach der üblichen Definition , deshalb stimmt diese Funktion auf der Menge mit dem üblichen reellen Logarithmus überein.

Für beliebige mit definiert man dann:

Das ist auch eine mehrdeutige Funktion, deren Hauptwert sich beim Einsatz von anstatt ergibt.

Aber für verschwindet diese Mehrdeutigkeit und es entstehen übliche Potenzen mit ganzen Exponenten, die im ersten Abschnitt definiert wurden. Seien und , dann zieht die exponentielle Darstellung

nach sich, dass

gilt.

Für einen rationalen Exponenten mit der gekürzten Bruchdarstellung mit hat die Potenz genau unterschiedliche Werte. Dies gilt insbesondere für . Ist ungerade und , dann gibt es unter ihnen genau eine reelle Zahl, und das ist gerade die Zahl aus dem Abschnitt 1.3. Ist gerade und , dann nimmt keine reellen Werte an. Wenn aber gerade und ist, dann nimmt die Potenz genau zwei reelle Werte an, die unterschiedliche Vorzeichen haben. Der positive davon ist in diesem Fall gerade gleich der Zahl aus dem Abschnitt 1.3.

Als ein Beispiel betrachten wir die Potenz hoch .

Aus und mit folgt

Daraus ergibt sich mit Der Hauptwert entspricht und ist gleich

Spezielle Potenzen Zehnerpotenzen

Ganzzahlige Potenzen von 10 bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems. Als Potenz geschrieben, z. B. 10−9 für 0,000000001 oder 1011 für 100 Milliarden, werden sie in den Naturwissenschaften zur Darstellung sehr großer oder sehr kleiner positiver Zahlen verwendet.

Potenzen von e In der Mathematik und Technik besonders wichtig sind weiterhin Potenzen mit der Basis , der Eulerschen Zahl.

Zweierpotenzen

Zweierpotenzen ergeben sich durch wiederholte Verdoppelung. Das überraschend schnelle Anwachsen der Zahlen macht Zweierpotenzen für Praxisbeispiele beliebt: Ein Blatt Papier üblicher Größe lässt sich nur etwa siebenmal auf die halbe Größe falten. Es hat dann 128 Lagen und nur noch ein 128-tel seiner Fläche. Wenn man es 42-mal falten könnte, was nur theoretisch geht, entspräche seine Dicke von ca. 400.000 km etwa der Entfernung von der Erde zum Mond. Jeder Mensch hat zwei biologische Eltern und die meisten haben vier Großeltern und acht Urgroßeltern. Ohne Ahnenverlust wären das vor 70 Generationen, zur Zeit Christi Geburt, Ahnen, obwohl damals weniger als 109 Menschen gelebt haben. Die Weizenkornlegende vom Erfinder des Schachspiels, der auf jedem Feld des Schachbrettes die Anzahl der Weizenkörner verdoppelte, verdeutlicht ebenfalls das rasante Wachstum der Zweierpotenzen.

Zur digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Dualsystem mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind daher die Zweierpotenzen, also die Potenzen zur Basis 2 (das sind 1, 2, 4, 8, 16, …). Ein Kibibyte (abgekürzt KiB) entspricht Bytes.

Null hoch null

00 wird oft als 1 definiert, auch wenn dies keine stetige Fortsetzung von ist, denn diese gibt es nicht. Manche Autoren lassen den Ausdruck undefiniert.

Umkehrfunktionen Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt, gibt es zwei Umkehrrechenarten: das Wurzelziehen, um Gleichungen der Bauart nach aufzulösen, also um die Basis zu ermitteln, wenn der Exponent bekannt ist,