mini|Grafische Darstellung der Quadratwurzel-Funktion mini|Grafische Darstellung der Kubikwurzel-Funktion Beispiel für Würfelverdoppelung mini|In doppeltlogarithmischer Auftragung werden die -ten Wurzeln zu Geraden. In der Mathematik versteht man unter Wurzelziehen oder Radizieren die Bestimmung der Unbekannten in der Potenz . Hierbei ist eine natürliche Zahl ungleich 0 und eine nichtnegative reelle Zahl.nichtnegative reelle Zahl steht für die Zahl Null oder für eine reelle positive Zahl. Unter diesen Voraussetzungen gibt es immer genau ein solches , das ebenfalls eine nichtnegative reelle Zahl ist. Dieses ist dann das Ergebnis des Wurzelziehens und heißt Wurzel oder Radikal (von lat. radix „Wurzel“). Das Radizieren ist eine Umkehrung des Potenzierens.Die andere Umkehrung ist das Logarithmieren.T. Arens, F. Hettlich et al.: Mathematik. 2008, S. 46–47. Im Fall spricht man von Quadratwurzeln, bei von Kubikwurzeln. Wurzeln werden mit Hilfe des Wurzelzeichens notiert, im Beispiel ist die Wurzel bzw. das Radikal.

Definition, Sprech- und Schreibweisen Ist eine natürliche Zahl und eine nichtnegative reelle Zahl, so besitzt die Gleichung

genau eine nichtnegative reelle Lösung. Diese wird als -te Wurzel aus bezeichnet. Man schreibt dafür:

Hierbei bezeichnet man als Wurzel, Radikal oder Radix, als Wurzelzeichen, als Wurzelexponent, als Radikand.Der Wurzelexponent beim Radizieren entspricht dem Logarithmus beim Logarithmieren und dem Exponenten beim Potenzieren. Der Radikand entspricht dem Numerus (Logarithmand) beim Logarithmieren und dem Ergebnis des PotenzierensLothar Kusch: Mathematik. Band 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie. W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S. 162 f.

Im Spezialfall erhält man .

Quadrat- und Kubikwurzel

Üblicherweise wird die zweite Wurzel als Quadratwurzel oder einfach nur als die Wurzel bezeichnet und der Wurzelexponent weggelassen:

Die Wurzel mit dem Wurzelexponenten 3 (dritte Wurzel) bezeichnet man auch als Kubikwurzel.

Beispiel:

(Sprich: Die dritte Wurzel aus 8 ist 2. Oder: Die Kubikwurzel aus 8 ist 2.)

Mathematische Grundlagen Die folgende Beschreibung des Radizierens als einer rechtseindeutigen Wurzelfunktion bezieht sich auf den angeordneten Körper der reellen Zahlen, also gewissermaßen auf die Schulmathematik. Ein allgemeinerer Wurzelbegriff, der den hier beschriebenen umfasst, wird im Artikel Adjunktion (Algebra) behandelt.Für die Schwierigkeiten mit der Rechtseindeutigkeit siehe auch den Abschnitt Wurzeln aus komplexen Zahlen.

Zusammenhang mit Potenzen Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten und das Potenzieren mit dem Exponenten heben sich gegenseitig auf. Gemäß obenstehender Definition der Wurzel gilt für alle reellen Zahlen und für alle natürlichen Zahlen :  .

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten wirkt wie das Potenzieren mit dem Exponenten .Nach den Rechenregeln für Potenzen gilt nämlich:  .

Daher kann das Radizieren mit dem Wurzelexponenten auch als Potenzieren mit dem Exponenten interpretiert werden:  .

Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen

Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen grundsätzlich für die positive Lösung.DIN 1302:1999 Allgemeine mathematische Zeichen und BegriffeEN ISO 80000-2:2020 Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik Beispielsweise hat die Gleichung die beiden Lösungen und . Der Term hat jedoch den Wert +2 und nicht den Wert −2. Allgemein gilt daher für geradzahlige Wurzelexponenten , insbesondere .

Wurzeln aus negativen Zahlen

Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es gilt beispielsweise

und ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz ist. Allgemein ergeben sich für ungerade Potenzen negativer Zahlen wieder negative Zahlen.

Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten: Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell nicht definiert. Beispielsweise ist also undefiniert. Die Lösung der Gleichung wird geschrieben als . Wurzeln aus negativen Zahlen sind definiert, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist (3, 5, 7, …). Für ungerade Zahlen gilt generell . Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist

Auch funktioniert diese Festlegung nicht mit der Gleichung , da der (natürliche) Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist ( darf also nicht negativ sein).

Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Es gibt keine reelle Zahl , sodass , somit kann man auch keine Wurzel finden, die in den reellen Zahlen liegt. Der Bedarf für Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der komplexen Zahlen;T. Arens, F. Hettlich et al.: Mathematik. 2008, S. 122. allerdings gibt es beim Wurzelbegriff im Bereich der komplexen Zahlen gewisse Schwierigkeiten mit der eindeutigen Auszeichnung einer der Wurzeln, siehe unten.

Irrationale Wurzeln aus ganzen Zahlen

Ist eine nichtnegative ganze Zahl und eine positive ganze Zahl, so ist entweder eine ganze oder eine irrationale Zahl. Das folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:

Ist , so ist , also eine ganze Zahl. Für gibt es eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Primfaktorzerlegung mit paarweise verschiedenen Primzahlen und positiven ganzen Exponenten . Sind alle für durch teilbar, so ist , also eine ganze Zahl.

Zu zeigen ist jetzt noch: Gibt es mindestens ein mit so, dass nicht durch teilbar ist, so ist irrational. Der Beweis für die Irrationalität erfolgt indirekt, also durch Widerlegen der gegenteiligen Annahme wie beim Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid, der im Wesentlichen der Spezialfall dieses Beweises ist.

Angenommen, wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier natürlicher Zahlen und schreiben: . Durch Potenzieren der Gleichung erhält man

und daraus folgt .

Der Primfaktor kommt in bzw. jeweils -mal so oft vor wie in bzw. , jedenfalls in einer durch teilbaren Vielfachheit, wobei natürlich auch das 0-malige Auftreten zugelassen ist. In kommt er voraussetzungsgemäß in der nicht durch teilbaren Vielfachheit vor. Also kommt er auf der linken Seite dieser Gleichung nicht in einer durch teilbaren Vielfachheit vor, auf der rechten hingegen schon, und wir erhalten einen Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Daher ist irrational.

Die Wurzelgesetze

Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich aus den Potenzengesetzen.

Für positive Zahlen und und gelten die folgenden Rechengesetze: Produktregel: Quotientenregel: „Verschachtelungsregel“ oder Iterationsregel: Definition für gebrochenen Exponenten: Definition für negativen Exponenten: Bei gleichem Radikand gilt:

Bei negativen Zahlen und dürfen diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn und ungerade Zahlen sind. Bei komplexen Zahlen sind sie gänzlich zu vermeiden, bzw. gilt die Gleichheit nur bei geeigneter Wahl der Nebenwerte. Anders gesagt: werden in einem Beispiel auf der linken Seite irgendwelche Wurzeln (bspw. nur Hauptwerte) ausgewählt, so gibt es für die rechte Seite geeignete Nebenwerte, die die Gleichheit erfüllen – linke und rechte Seite unterscheiden sich um eine Einheitswurzel.

Grenzwerte Es gelten die folgenden Grenzwerte:

für

Dies folgt aus der Ungleichung , die man mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes zeigen kann.

, wobei eine beliebige, aber feste natürliche Zahl ist. , wie aus der Exponentialdarstellung von hervorgeht.

Abschätzungen Für alle mit gilt . In der rechten Ungleichung gilt Gleichheit genau dann, wenn .

Beweis:

Zunächst sei . Dann ist zu zeigen: , was gleichbedeutend ist mit oder . Der Beweis wird mit vollständiger Induktion geführt.

Offenbar gilt die Behauptung für .

Annahme, für gelte . Dann gilt . Damit gilt für alle . Für folgt hieraus wegen der strengen Monotonieeigenschaften der Potenzfunktionen .Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 201

Wurzelfunktionen Funktionen der Form oder allgemeiner heißen Wurzelfunktionen. Sie sind Umkehrungen der Potenzfunktionen und selbst Potenzfunktionen, denn es gilt .

Berechnung

Wurzeln können durch schriftliches Wurzelziehen bestimmt werden. Dieses Verfahren ähnelt der schriftlichen Division und basiert auf den binomischen Formeln.

Rückführung auf andere Funktionen

Höhere Wurzeln aus positiven Zahlen kann man wie jede Potenz durch Exponentialfunktion und Logarithmus ausdrücken:

Numerische Berechnung

Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten, kann man mehrere Verfahren anwenden. Dazu gehört vor allem das Newtonverfahren, mit dem man iterativ zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion Näherungswerte zu Lösungen der Gleichung findet. Dazu wird beginnend mit einem Startwert die Folge

gebildet, die unter bestimmten Voraussetzungen gegen eine Nullstelle von konvergiert. Nun ist eine Nullstelle der Funktion , so dass der Iterationsschritt die Gestalt

bekommt. Der Teilausdruck ist dabei die absolute Änderung der Näherung bei diesem Iterationsschritt, die relative. Diese Werte werden am Ende des Schrittes mit der absoluten (bei Festkommarechnung) bzw. relativen (bei Gleitkommarechnung) Fehlerschranke verglichen, um zu entscheiden, ob die benötigte Genauigkeit schon erreicht wurde.

In den Spezialfällen (Quadratwurzel) und (Kubikwurzel) lauten diese Formeln dann:

für  und  für .

Das Verfahren konvergiert für alle Startwerte , wobei Startwerte, die Größenordnungen unter der Wurzel liegen, vermieden werden sollten. Liegt als Gleitkommazahl vor, kann man einfach den Gleitkommaexponenten durch ersetzen.

Das Newtonverfahren zur numerischen Approximation der Wurzel erweitert das Heron-Verfahren auf höhere Grade und lässt sich wie folgt geometrisch interpretieren. Beim Heron-Verfahren wird von einem Schätzwert für den Wert der gesuchten Quadratwurzel als erster Rechteckseite ausgegangen und daraus eine zweite Seite ermittelt, die ein zum Radikanden flächengleiches Rechteck liefert. Als nächster Schätzwert wird dann iterativ der Mittelwert der beiden Seiten genommen, der näher am Ergebnis liegt. Für die Übertragung auf allgemeine Grade kann man den nächsten Iterationswert

als gewichteten Mittelwert von und auffassen mit als der „Höhe“ des senkrechten Prismas des Volumens über dem Kubus . Der Iterationswert ist somit der arithmetische Mittelwert aller orthogonalen (davon gleich langen) Kanten des Prismas.

Methode der „Rechenkünstler“

Man kann, wie es Rechenkünstler machen, eine Wurzel auch durch Abschätzung und Anwendung elementarer Zahlentheorie bestimmen, sofern bekannt ist, dass die Wurzel eine natürliche Zahl ist. Das lässt sich besonders gut am Beispiel der dritten Wurzel zeigen. Dazu muss man zwei Dinge wissen, nämlich die Größenordnung der Kubikzahlen, und die letzte Ziffer der Zahl:

1 1 8 2 27 3 64 4 125 5 216 6 343 7 512 8 729 9 1.000 10 1.000 10 8.000 20 27.000 30 64.000 40 125.000 50 216.000 60 343.000 70 512.000 80 729.000 90 1.000.000 100

Beispiele:

Die dritte Wurzel von 103.823: Die Zahl liegt zwischen 64.000 und 125.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 4 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 3, demnach ist die dritte Wurzel von 103.823 abgeschätzt 47. Die dritte Wurzel von 12.167: Die Zahl liegt zwischen 8.000 und 27.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 2 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 7, demnach ist die dritte Wurzel von 12.167 abgeschätzt 23.

Das Ganze funktioniert aber nur dann, wenn sichergestellt ist, dass es sich bei der vorgegebenen Zahl um die dritte Potenz einer natürlichen Zahl handelt.