Die komplexe Wechselstromrechnung ist eine Methode der Elektrotechnik zur Beschreibung und Berechnung des Verhaltens von linearen zeitinvarianten Systemen bei sinusförmiger Wechselspannung und sinusförmigem Wechselstrom. Diese werden i. A. durch Differentialgleichungen beschrieben, deren klassische Lösungsverfahren relativ schwierig und für die „ingenieurtechnische Praxis“ ungünstig sind. Die komplexe Wechselstromrechnung gestattet unter gewissen Einschränkungen als symbolische Methode die Transformation der Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen, deren Lösung sich wesentlich einfacher gestaltet und gleichzeitig besser interpretierbar ist. Damit wird die Berechnung von Wechselstromnetzwerken auf die Berechnungsmethoden der Gleichstromnetzwerke reduziert.
Die komplexe Wechselstromrechnung entstand am Ende des 19. Jahrhunderts, um die damals anstehenden Probleme der Wechselstromtechnik zu lösen. Sie geht auf Arbeiten von Charles P. Steinmetz, der im Jahre 1889 in seiner Dissertation die symbolische Methode der Wechselstromtechnik begründete, und auf die Verbreitung dieser Theorie nach 1893 durch viele Arbeiten von Arthur Edwin Kennelly zurück. Eine mathematisch exakte Darstellung der dabei angewandten Lösungsmethoden mit komplexen Spannungen und Strömen wurde 1937 von Wilhelm Quade gegeben. In ihrer historischen Einordnung ist die komplexe Wechselstromrechnung selbst eine erste Operatorenrechnung der Systemtheorie und hat andererseits durch ihren Erfolg den Anstoß zur Entwicklung weiterer Operatorenrechnungen (z. B. Operatorenrechnung nach Heaviside, Laplace-Transformation) gegeben. Bei Einhaltung der Voraussetzungen ist diese symbolische Methode auch für andere (nicht elektrische) Systeme anwendbar.
Schreibweisen, Bedingungen und Einschränkungen Zum Verständnis der komplexen Wechselstromrechnung sind Kenntnisse über komplexe Zahlen und die Berechnung elektrischer Netzwerke notwendig. Es werden zeitlich veränderliche Spannungen und Ströme behandelt, die einem sinusförmigen Verlauf folgen. Um diese Veränderlichkeit gegenüber den zeitlich fixen Größen auszudrücken, werden Augenblickswerte, die sich zeitlich ändern, mit Kleinbuchstaben bezeichnet, Spannungen als kleines und Stromstärken als kleines . Zur ausdrücklichen Kennzeichnung der Zeitabhängigkeit kann dem Formelzeichen der Buchstabe in runden Klammern beigefügt werden,DIN 5483-2:1982 Zeitabhängige Größen – Teil 2: Formelzeichen, Kap. 1.5DIN EN 60027-1:2007 Formelzeichen für die Elektrotechnik – Teil 1: Allgemeines, Kap. 2.2.4 z. B. . Formelzeichen komplexer Größen werden durch einen Unterstrich gekennzeichnet.DIN 5483-3:1994 Zeitabhängige Größen – Teil 3: Komplexe Darstellung sinusförmig zeitabhängiger GrößenDIN 1304-1:1994 Formelzeichen – Teil 1: Allgemeine Formelzeichen Für die imaginäre Einheit wird in der Elektrotechnik der Buchstabe verwendet (mit ),DIN 1302:1999 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe um Verwechslungen mit dem Buchstaben , der für den (zeitabhängigen) Strom verwendet wird, zu vermeiden.
Die komplexe Wechselstromrechnung ist nur für lineare zeitinvariante Systeme anwendbar, denn sie setzt die Gültigkeit des Überlagerungssatzes voraus. Deshalb müssen alle Bauelemente, wie Widerstände, Kondensatoren und Spulen, lineare Eigenschaften im betrachteten Frequenzbereich zeigen. Dies trifft beispielsweise bei Spulen mit magnetischer Sättigung oder Kondensatoren, deren Dielektrizitätszahl von der elektrischen Feldstärke abhängt, nicht zu. Ebenfalls für Baugruppen, deren Hauptfunktion auf starken Nichtlinearitäten beruht (z. B. Modulatoren und Gleichrichter), ist die komplexe Wechselstromrechnung ausdrücklich nicht anwendbar, denn durch die Nichtlinearitäten entstehen nichtsinusförmige Signale und damit „neue“ Frequenzen. In der Regel sind auch die Kennlinien von Halbleiterbauelementen nichtlinear. Sofern diese allerdings mit kleinen sinusförmigen Signalen im stetigen Kennlinienbereich betrieben werden, kann diese Kennlinie linearisiert und damit die komplexe Wechselstromrechnung benutzt werden. Auf diese Weise wird beispielsweise die Zweitortheorie für Transistorschaltungen erst nutzbar.
Die komplexe Wechselstromrechnung geht von sinusförmigen elektrischen bzw. physikalischen Größen aus, bei denen der beim Einschalten auftretende Einschwingvorgang so lange zurückliegt, dass er keinen Einfluss mehr auf das Verhalten des Systems hat. In diesem eingeschwungenen Zustand treten innerhalb des Systems nur sinusförmigen Größen mit der gleichen Kreisfrequenz auf. Deshalb kann mit der komplexen Wechselstromrechnung nur dieser stationäre Zustand, nicht aber der flüchtige Einschaltvorgang berechnet werden. Das ist auch der Grund, warum Schaltvorgänge, wie das An- und Ausschalten von Gleich- und Wechselspannungen, sowie das Systemverhalten bei Einzelimpulsen oder Impulsfolgen allein mit der komplexen Wechselstromrechnung nicht analysiert werden können. Allerdings gibt es, basierend auf der komplexen Wechselstromrechnung, verallgemeinerte Methoden, z. B. Fourierreihen und die Laplace-Transformation, welche diese Berechnungen ermöglichen.
Im Folgenden werden beispielhaft meist nur Spannung und Stromstärke betrachtet, obwohl alle Aussagen auch für andere physikalische Größen gelten.
Allgemeine Einführung Die Bestimmung des Verhältnisses von Stromstärke zu Spannung in einem elektrischen Stromkreis ist eine der Grundaufgaben der Elektrotechnik.
Wird eine zeitlich konstante Spannung vorgegeben und die Stromstärke bestimmt, oder wird die Stromstärke vorgegeben und die Spannung bestimmt, so wird das Verhältnis als elektrischer Widerstand oder das Verhältnis als elektrischer Leitwert bezeichnet.
Als passive lineare Elemente des Wechselstromkreises treten ohmsche Widerstände, Induktivitäten oder Kapazitäten auf. Für diese Elemente gilt:
Ohmscher Widerstand : die Stromstärke ist der Spannung proportional:
Induktivität : die Stromstärkeänderung ist der Spannung proportional: oder gleichwertig
Kapazität : die Spannungsänderung ist der Stromstärke proportional: oder gleichwertig
Ist eine der vorgegebenen Größen – Spannung oder Stromstärke (umgangssprachlich einfach Strom) – konstant, so ist die resultierende Größe nur bei rein ohmschen Stromkreisen ebenfalls konstant. Die angewendeten Verfahren der Berechnung sind dann, und nur dann, die der Gleichstromrechnung. Eine ideale Induktivität würde hier einen Kurzschluss, eine ideale Kapazität eine Unterbrechung des Stromzweiges darstellen. Beim Ein- oder Ausschalten liegt zeitweise kein periodischer Vorgang vor, denn der Übergang unterliegt einem Einschwingvorgang.
Ist die vorgegebene Größe nicht konstant, oder ist der Stromkreis nicht rein ohmsch, so ist die Strom/Spannungs-Beziehung komplizierter. Kapazitäten und Induktivitäten müssen dann über Differentialgleichungen in die Berechnung einfließen. Jedoch kann die Berechnung in Sonderfällen einfacher werden.
So ein Sonderfall liegt vor, wenn die vorgegebene Größe einen sinusförmigen periodischen Verlauf hat, z. B. ein sinusförmiger Strom (siehe Wechselstrom)
oder eine sinusförmige Spannung
Dabei ist und auch der Maximalwert, auch Amplitude genannt, ist die Kreisfrequenz, und auch ist der Nullphasenwinkel der Wechselgröße.DIN 40 110-1:1994 Wechselstromgrößen – Teil 1: Zweileiter-Stromkreise Die Differenz wird Phasenverschiebungswinkel genannt.
Dann hat die sich einstellende Größe einen ebenfalls sinusförmigen periodischen Verlauf gleicher Frequenz, der sich allerdings in der Phasenverschiebung und dem Amplitudenverhältnis mit der Frequenz (alternativ Periodendauer) verändern kann.
Die mathematische Behandlung diesbezüglicher Rechnungen erfolgt vorteilhaft unter Verwendung komplexer Größen, da diese die Lösung trigonometrischer Aufgaben wesentlich erleichtern.
Komplexe Spannung und komplexer Strom mini|Zeigerdiagramm einer Spannung in der komplexen Ebene In einem Zeigerdiagramm kann eine harmonische Schwingung (Sinusschwingung) durch einen mit der Kreisfrequenz um den Nullpunkt rotierenden Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt werden, dessen Länge die Amplitude repräsentiert. Damit wird ein Übergang vollzogen von einer Funktion der Zeit auf eine Funktion des Winkels, der in diesem Zusammenhang Phasenwinkel genannt wird. Dieser steigt gemäß an. Passend zur Zählrichtung des Winkels dreht der Zeiger entgegen dem Uhrzeiger. Er wird auch Drehzeiger genannt. Der zeitliche Verlauf der Schwingung kann durch Projektion der rotierenden Zeigerspitze auf die imaginäre Achse (Sinusfunktion) oder reelle Achse (Kosinusfunktion) gewonnen werden.
Ein rotierender Zeiger für die Spannung oder lässt sich durch eine komplexe Spannung darstellen, die wie folgt definiert wird:
Der letzte Ausdruck stellt die sogenannte Versorschreibweise dar. Die komplexe Größe wird dabei wie im vorletzten Ausdruck in Polarkoordinaten angegeben.
Beispiel: Die Formel spricht sich: ist gleich Versor , wobei der Betrag und das Argument der komplexen Größe sind.
Analog definiert man für den Strom oder die komplexe Stromstärke:
Je nachdem, ob man vorzugsweise für die Beschreibung aller Signale den Kosinus oder den Sinus verwendet, lassen sich die reellen Größen als Realteil bzw. Imaginärteil der komplexen Größen darstellen. Alternativ lassen sich die reellen Größen auch durch Addition bzw. Subtraktion der konjugiert komplexen Signale ermitteln:
bzw.
Die Darstellung auf Basis der konjugiert komplexen Signale ermöglicht die Deutung des reellen Signals als Überlagerung eines (entgegen dem Uhrzeigersinn) rotierenden Zeigers – dem komplexen Signal – und eines in entgegengesetzter Richtung (im Uhrzeigersinn) rotierenden Zeigers – dem konjugiert komplexen Signal.
Komplexe Amplituden und komplexe Effektivwerte Wesentlich für die komplexe Rechnung ist die Definition von (vorerst als Abkürzung dienenden) komplexen Amplituden (Phasoren)
und
oder alternativ von komplexen Effektivwerten
und
aus den (reellen) Amplituden bzw. Effektivwerten und den Nullphasenwinkeln.
Damit lassen sich die komplexen Momentanwerte schreiben als
und
Da die komplexen Amplituden und die komplexen Effektivwerte nicht von der Zeit abhängen, entsprechen sie ruhenden Zeigern zur Darstellung eines sinusförmigen Signals. Sie fassen die beiden reellen Konstanten, Amplitude bzw. Effektivwert und den Nullphasenwinkel, zu einer komplexen zeitunabhängigen Konstante zusammen. Durch Multiplikation mit der harmonischen Exponentiellen , die einen rotierenden Einheitszeiger repräsentiert, entsteht wieder die komplexe Spannung oder der komplexe Strom. Dieser Faktor tritt einheitlich in jedem komplexen Signal des gesamten Systems auf. Mit Hilfe der komplexen Amplituden lassen sich die reellen Signale schließlich wie folgt schreiben:
bzw.
Wegen des per Definition geltenden Überlagerungssatzes reicht es aus, alle Berechnungen nur mit den komplexen Signalen auszuführen und am Ende vom Ergebnis den Real- bzw. Imaginärteil zu verwenden. Das gilt für Addition und Subtraktion, für die Multiplikation mit reellen Konstanten sowie für die Differentiation und Integration, aber nicht für die Multiplikation oder Division von Signalen. Das Rechnen mit komplexen Signalen ist im Allgemeinen einfacher als das Rechnen mit reellen sinusförmigen Signalen.
Es stellt sich heraus, dass bei allen Berechnungen die Kreisfrequenz immer mit der imaginären Einheit verbunden vorkommt. Deshalb wird in der Literatur noch (als Abgrenzung zur komplexen Frequenz) der Begriff der imaginären Frequenz verwendet. Erweitert man den Wertebereich von um „negative Frequenzen“ von bis , dann wird diese negative Halbachse der Frequenz vom zweiten (konjugiert komplexen) Term „abgedeckt“. Ein reales sinusförmiges Signal der Kreisfrequenz besteht also immer aus einem Paar komplexer Signale mit den imaginären Frequenzen und .
Der rein imaginäre Ausdruck erweist sich auch als Differentialoperator, denn es gilt beispielsweise für die zeitliche Ableitung der komplexen Spannung