mini|270px|Übersicht über einige gängige Zahlbereiche. bedeutet, dass die Elemente des Zahlbereiches unter Beibehaltung wesentlicher Beziehungen auch als Elemente des Zahlbereichs aufgefasst werden können. Echte Klassen sind in blau markiert.
Zahlen sind abstrakte mathematische Objekte beziehungsweise Objekte des Denkens, die sich historisch aus Vorstellungen von Größe und Anzahl entwickelten. Die Zahlen beruhen auf der Abzählbarkeit von Objekten, deren Unterscheidbarkeit naturgegeben ist. Durch eine Messung wird ein als Größe verstandener Aspekt einer Beobachtung mit einer Zahl in Verbindung gebracht, beispielsweise bei einer Zählung. Sie spielen daher für die empirischen Wissenschaften eine zentrale Rolle.
In der Mathematik, die Zahlen und ihre Struktur formal untersucht, schließt der Begriff verschiedenartige Konzepte mit ein. Diese entwickelten sich als Verallgemeinerungen bestehender intuitiver Zahlkonzepte, so dass man sie ebenfalls als Zahlen bezeichnet, obwohl sie wenig Bezug zu den ursprünglich mit Messungen verbundenen Konzepten haben. Manche dieser Konzepte sind in der Mathematik von grundlegender Bedeutung und finden Verwendung in nahezu allen Teilgebieten.
In die Urgeschichte zurück reicht das Konzept der natürlichen Zahlen, die zum Zählen verwendet werden können und grundlegende Bedeutung besitzen. Bereits die Neandertaler schufen vor ca. 68.000 Jahren in Höhlen abstrakte Zahldarstellungen (zwei senkrechte Striche bzw. rot markierte Finger von Stalagmiten-Händen). Ab etwa 2000 v. Chr. rechneten Ägypter und Babylonier mit Bruchzahlen (rationalen Zahlen). In Indien entwickelte sich im 7. Jahrhundert n. Chr. ein Verständnis der Null und der negativen Zahlen.Merzbach, Boyer, S. 198. Irrationale Zahlen wie oder , deren Notwendigkeit sich aus Erkenntnissen aus dem antiken Griechenland ergab (spätestens ab dem 4. Jahrhundert v. Chr.), wurden in der Blütezeit des Islam eingeführt.
Die Idee imaginärer Zahlen, durch die die reellen Zahlen später zu den bedeutenden komplexen Zahlen erweitert wurden, reicht in die europäische Renaissance zurück. Der Begriff der reellen Zahl konnte erst im 19. Jahrhundert hinreichend geklärt werden. Ende des 19. Jahrhunderts konnte erstmals auch unendlichen Größen ein präziser Sinn als Zahlen gegeben werden. Auch wurden erstmals die natürlichen Zahlen axiomatisch definiert. Mit den Anfang des 20. Jahrhunderts geschaffenen ersten zufriedenstellenden Grundlagen der Mathematik erfuhren auch die bedeutendsten Zahlbegriffe eine dem heutigen Stand entsprechende vollständig formale Definition und Bedeutung.
Vom Begriff der Zahl abzugrenzen sind Ziffern (spezielle Zahlzeichen; zur Darstellung bestimmter Zahlen verwendete Schriftzeichen), Zahlschriften (Schreibweisen von Zahlen z. B. mit Hilfe von Ziffern unter Verwendung bestimmter Regeln), Zahlwörter (Numerale, zur Benennung bestimmter Zahlen verwendete Wörter) und Nummern (Identifikatoren, die selbst Zahlen, oder aber – in der Regel Ziffern enthaltende – Zeichenketten sein können).
Etymologie Das deutsche Wort Zahl geht vermutlich auf das urgermanische Wort *talō (Berechnung, Zahl, Rede)Vladimir Orel: A Handbook of Germanic Etymology. Brill, Leiden 2003, S. 400 f.; August Fick: Wörterbuch der Indogermanischen Sprachen. Dritter Teil: Wortschatz der Germanischen Spracheinheit. (PDF; 2,7 MB). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1909. zurück, das vermutlich Wurzel der althochdeutschen Wörter zala (Ordnung, geordnete Darlegung, Bericht, Aufzählung) und zalōn (berichten, rechnen, zählen, berechnen, zahlen) ist. Aus zala wurde im Mittelhochdeutschen zale oder zal, auf das das heutige Wort Zahl zurückgeht.
Das urgermanische Wort findet seinen Ursprung vermutlich in einem urindogermanischen Etymon *del- (zielen, berechnen, nachstellen).Julius Pokorny: Indogermanisches etymologisches Wörterbuch. Francke, Bern 1959, Band I, S. 193; , Datenbankeintrag Auch ein Zusammenhang mit dem urindogermanischen *del- (spalten) ist möglich; die ursprüngliche Bedeutung wäre dann möglicherweise „eingekerbtes Merkzeichen“.Zahl. In: Duden, abgerufen am 11. Juni 2012.
Geschichte
Vorgeschichte mini|12500 Jahre alter, gekerbter Zählknochen aus der Grotte de Thais im französischen Vercors (Musée de Valence, Art et Archéologie)
Über das Zahlenverständnis von Menschen in der Zeit vor einer ersten schriftlichen Überlieferung lässt sich wegen fehlender Belege kaum Sicheres sagen. Die Bedeutung regelmäßiger Anordnungen von Strichen oder Kerben, die sich aus dieser Zeit erhalten haben, kann in der Regel nur vermutet werden.
Hinweise zur Vorstellung von Zahlen in einer vorgeschichtlichen Kultur können hingegen die jeweiligen Sprachen möglichst früher, geschichtlich dokumentierter Nachfolgerkulturen oder auch heute noch existierende, verwandte Sprachen sowie die bekannten Sprachen von alten, ähnlichen Kulturen geben. Durch systematische Vergleiche verschiedener Sprachen können Übereinstimmungen und Unterschiede zwischen diesen festgestellt werden, so dass die Eigenheiten jeder Sprache und Sprachgruppe ermittelt sowie gemeinsame oder verschiedene Herkünfte in gewissem Umfang gefunden werden können. So ergeben sich auch bei den Zahlwörtern Strukturen, die Rückschlüsse auf das Zahlenverständnis erlauben.Flegg, S. 7 ff.
Der fundamentale und überall in menschlichen Sprachen erkennbare Zahlbegriff – die Vorstellung von Zahlen – ist der von der unterschiedlich großen Anzahl bzw. Menge bestimmter Gegenstände, was am ehesten in der heutigen Mathematik dem Begriff der Kardinalzahl entspricht.Ebbinghaus et al., S. 311 Am Anfang wird wohl der elementare Gegensatz von Einzahl und Mehrzahl gestanden haben, dem die weitere Aufteilung der Mehrzahl folgte.Vogel, I, S. 14 In der Sprache der Pirahã in Brasilien etwa sind lediglich drei oder sogar nur zwei Wörter („wenig“ und „viel“) für relative Größenangaben bekannt. Versuche, manchen Vertretern dieses Volkes das Zählen beizubringen, schlugen fehl. Es gibt auch ethnologische Berichte über ein Volk in Südafrika und von vielen Völkern australischer Ureinwohner,Flegg, S. 7 ff. die in ihren Sprachen jeweils nur die Zahlwörter „ein“, „zwei“ und „viel“ kennen. Das Gleiche findet sich auch in indoeuropäischen Sprachen in Form des Singulars, des Duals (z. B. im Griechischen, im Latein und früher auch in germanischen Sprachen) und des Plurals von Substantiven wieder.Vogel, I, S. 14Flegg, S. 56 ff.
Um „viel“ weiter unterscheiden und genauere Anzahlen sagen zu können, bildeten andere Völker weitere Zahlwörter.Flegg, S. 7 ff. Bis höchstens zehn (für größere Zahlen würden die Zahlwörter zu lang werden) ist dies einfach dadurch möglich, dass „zwei“ additiv so oft wiederholt wird, wie sie in der entsprechenden Zahl enthalten ist, und bei einer ungeraden Zahl wird noch ein „ein“ hinzugefügt. Einen anderen Weg, Wörter für größere Zahlen zu erhalten, haben Sprachen beschritten, die für kleinere Zahlen zusätzliche eigene Worte wie „drei“, „vier“ oder „fünf“ erfanden und diese wiederum additiv oder multiplikativ, z. B. „vier-zwei“ für acht,Vogel, I, S. 15 zu neuen größeren Zahlen verbanden. Für die Bildung von wesentlich größeren Zahlen als zehn wird es notwendig, große Zahlen zu neuen, größeren Einheiten zusammenzufassen und für diese neue Zahlworte zu finden,Vogel, I, S. 15. etwa in Stufen zu „zehn“, „hundert“ usw.
Auf diese Art lassen sich so große Zahlen bilden, dass es für deren genaue Erfassung erforderlich wird, eine entsprechende Anzahl von Gegenständen zu zählen. Dabei muss jedoch noch keine Trennung der Zahlen von der Art der gezählten Gegenstände vorliegen: bei manchen Sprachen gibt es so genannte Zählklassen, die für die gleiche Zahl jeweils ein eigenes Zahlwort haben.Vogel, I, S. 14 So benutzt man für die gleiche Anzahl Lebewesen ein anderes Wort als bei langen Gegenständen, bei runden Gegenständen ein drittes Wort und bei noch anderen Gegenständen weitere Wörter.
Mit der Loslösung von der Art der Gegenstände, also wenn unabhängig von den gezählten Gegenständen das gleiche Zahlwort für die gleiche Anzahl benutzt wird, erhalten Zahlen Selbstständigkeit und werden als etwas Eigenes aufgefasst. Bei indoeuropäischen Sprachen ist dies allgemein für Zahlen größer als vier zu beobachten. Hier scheint es ursprünglich eine Stufung mit vier gegeben zu haben,Vogel, I, S. 15. später wurden die Zahlen offenbar noch in mehreren Schritten erweitert (das erkennt man z. B. im Deutschen am Unterschied zwischen „dreizehn“ und „dreiundzwanzig“). Neben Zusammenfassungen von jeweils zwei, drei oder vier treten weltweit auch häufig noch Sprachen auf mit Stufen von fünf, zehn, zwölf oder zwanzig sowie mit Mischformen von diesen.Vogel, I, S. 15Flegg, S. 7 ff.
Erste Hochkulturen mini|Fragment des Papyrus Rhind, pBM 10057 Der nach der letzten Kaltzeit (nach 10.000 v. Chr.) in der Mittelsteinzeit einsetzende Klimawandel führte zur Austrocknung großer Gebiete von der Sahara im Westen bis zur Mongolischen Steppe im Osten. Die zunehmende Bevölkerung der betroffenen Gebiete wanderte in die Flussoasen, wo sich mit der Zeit differenziertere städtische Gesellschaften entwickelten. Mit der Erfindung der Schrift bei den frühen Hochkulturen an Euphrat und Tigris (Mesopotamien), am Nil (Altes Ägypten), am Indus (Indus-Kultur) und am Gelben Fluss (Altes China) begann zwischen dem Ende des 4. und dem Anfang des 3. Jahrtausends v. Chr. die geschichtliche Zeit. Von Beginn an entstanden zusammen mit der Schrift auch Zahlzeichen, da offenbar beides zur Verwaltung der immer stärker organisierten Gesellschaften benötigt wurde.
Im alten Ägypten fand spätestens seit ca. 3000 v. Chr. zur Darstellung natürlicher Zahlen ein additives Zahlensystem zur Basis 10 Verwendung.Merzbach, Boyer, S. 10 Dort wurden bereits die Grundrechenarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division betrieben. Für die ersteren beiden gab es besondere Schriftzeichen. Besonders bedeutsame Zeugnisse mathematischer Fähigkeiten dieser Kultur sind der Moskauer Papyrus und der Papyrus Rhind – beide in hieratischer Schrift verfasst in der Zeit zwischen 2000 v. Chr. und 1800 v. Chr. Aus diesem lässt sich über die natürlichen Zahlen hinausgehend eine besondere Notation für Stammbrüche entnehmen. Andere Verhältnisse wurden systematisch in Summen von Stammbrüchen überführt ( besaß jedoch auch ein eigenes Zeichen).Eves, S. 38. Motivation der altägyptischen Mathematik waren meist Bauwesen, Landvermessung und Wirtschaft, Beweise finden sich nicht.Wußing, S. 121. Jedoch finden sich auch Probleme, die als humorvoll oder unterhaltsam intendiert interpretiert werden.Wußing, S. 118.Merzbach, Boyer, S. 14.Eves, S. 40–41.