mini|200px|Die Umkehrfunktion In der Mathematik bezeichnet die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist.

Eine Funktion ordnet jedem ein eindeutig bestimmtes Element zu, das mit bezeichnet wird. Gilt für die Beziehung , so sagt man auch, dass ein Urbildelement von unter ist. Im Allgemeinen kann ein Element von kein, ein oder mehrere Urbildelemente unter besitzen. Falls jedes Element von genau ein Urbildelement unter besitzt (man spricht dann von dem Urbildelement), nennt man invertierbar. In diesem Fall kann man eine Funktion definieren, die jedem Element von ihr eindeutig definiertes Urbildelement unter zuordnet. Diese Funktion wird dann als die Umkehrfunktion von bezeichnet.

Man kann leicht nachweisen, dass eine Funktion genau dann invertierbar ist, wenn sie bijektiv (also gleichzeitig injektiv und surjektiv) ist. Tatsächlich besagt die Injektivität nichts anderes, als dass jedes Element von höchstens ein Urbildelement unter besitzt. Die Surjektivität besagt gerade, dass jedes Element von mindestens ein Urbildelement unter besitzt.

Der Begriff der Umkehrfunktion gehört formal zum mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre, wird aber in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet.

Definitionen

Seien und nichtleere Mengen. Neben der Definition aus der Einleitung gibt es weitere Möglichkeiten, die Begriffe der Invertierbarkeit einer Funktion und der Umkehrfunktion einer invertierbaren Funktion formal einzuführen:

Man sucht nach einer Funktion , sodass für alle und für alle . Es stellt sich heraus, dass es höchstens ein solches geben kann. Existiert dies, so nennt man invertierbar und das eindeutig bestimmte die Umkehrfunktion von . Unter Verwendung der Komposition von Funktionen kann die vorherige Bedingung auch etwas eleganter formuliert werden, indem man für fordert: und . Dabei ist die identische Abbildung auf der Menge . Man führt zunächst die weiter unten erklärten Begriffe von Linksinversen und Rechtsinversen ein. Dann nennt man eine Funktion invertierbar, wenn sie sowohl eine Linksinverse als auch eine Rechtsinverse besitzt. Es zeigt sich, dass in diesem Fall Linksinverse und Rechtsinverse übereinstimmen müssen (womit auch folgt, dass es in diesem Fall davon nicht mehrere gibt). Diese eindeutig bestimmte Links- und Rechtsinverse ist dann die Umkehrfunktion. Man bezieht sich bei der Definition darauf, dass eine Funktion von nach immer auch eine Relation von nach ist. Daher besitzt sie auf jeden Fall eine Umkehrrelation. Man nennt invertierbar, wenn diese Umkehrrelation eine Funktion von nach ist. In diesem Fall wird die Umkehrrelation auch als Umkehrfunktion bezeichnet.

Es stellt sich heraus, dass alle vorgestellten Invertierbarkeitsbegriffe äquivalent zum Begriff der Bijektivität sind. Auch führen alle Definitionen der Umkehrfunktion zum gleichen Ergebnis.

Notation

Wenn eine bijektive Funktion ist, dann bezeichnet die Umkehrfunktion. Dabei ist die hochgestellte nicht mit einer negativen Potenz bezüglich der Multiplikation zu verwechseln. Es handelt sich vielmehr um die Umkehrung bezüglich der Komposition von Funktionen. Die alternative Schreibweise (f quer),Helmut Sieber und Leopold Huber: Mathematische Begriffe und Formeln für Sekundarstufe I und II der Gymnasien. Ernst Klett Verlag. kann leicht mit der komplexen Konjugation verwechselt werden. Sie wird daher in der mathematischen Literatur nur selten verwendet.

Allerdings besteht auch bei der Notation eine Doppeldeutigkeit. Diese Notation wird nämlich auch für die Urbildfunktion verwendet, die für jede Funktion (also auch nicht bijektive) existiert. Die Urbildfunktion ist eine Funktion von der Potenzmenge in die Potenzmenge . Es ist üblich, in der Notation der Urbildfunktion bei einelementigen Mengen die Mengenklammern wegzulassen. Für wird also statt auch einfach geschrieben. Identifiziert man nun in dieser notationellen Weise die einelementige Menge mit dem einen enthaltenen Element, dann ist die Umkehrfunktion eine Spezialisierung der Urbildfunktion, und frontale Widersprüche können nicht auftreten. Denn für bijektive ist das eine und einzige Element der Urbildmenge .

Wegen der genannten Verwechslungsmöglichkeit findet sich gelegentlich in der Literatur für die Umkehrfunktion (das ist die Iteration) die Schreibweise

|style="width:2em"| ||style="width:7.5em;text-align:center" | sodass ||style="width:3em"| ||style="width:7em"| || (mit hochgestellter spitzer Klammer), |} für die Iteration

|style="width:2em"| ||style="width:4.5em"| ||style="width:3em"| und ||style="width:3em"| ||style="width:7em"| , |} für die Potenz

|style="width:2em"| ||style="width:4.5em"| ||style="width:3em"| und ||style="width:3em"| ||style="width:7em"| || (ohne hochgestellte Klammer) |} und für die Ableitung

|style="width:2em"| ||style="width:4.5em"| ||style="width:3em"| und ||style="width:3em"| ||style="width:7em"| || (mit hochgestellter runder Klammer).

Dann ist beispielsweise

und

Einfache Beispiele

Sei die Menge der 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets und sei . Die Funktion , die jedem Buchstaben die entsprechende Nummer im Alphabet zuordnet, ist bijektiv, und ist gegeben durch „der n-te Buchstabe im Alphabet“.

Sei die reelle Funktion mit . Diese ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch .

Allgemeiner: Sind und die Funktion gegeben durch . Dann ist genau dann bijektiv, wenn . In diesem Fall gilt .

Eigenschaften

Die Umkehrfunktion ist selbst bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion, d. h. .

Ist eine bijektive Funktion, dann gilt für die Umkehrfunktion: für alle , für alle . Oder etwas eleganter: , .

Sind und zwei Funktionen mit der Eigenschaft für alle , dann kann aus jeder der drei folgenden Eigenschaften bereits geschlossen werden, dass beide Funktionen bijektiv und ihre gegenseitigen Umkehrfunktionen sind: für alle ist injektiv ist surjektiv

Sind die Funktionen und bijektiv, dann gilt dies auch für die Komposition . Die Umkehrfunktion von ist dann .

Eine Funktion kann ihre eigene Umkehrfunktion sein. Dies gilt genau dann, wenn . In diesem Fall nennt man eine Involution. Die einfachsten involutorischen Abbildungen sind die identischen Abbildungen.

Ist eine bijektive Funktion, wobei und Teilmengen von sind, dann entsteht der Graph der Umkehrfunktion, indem man den Graph von an der Geraden spiegelt.

Ist differenzierbar, und , dann gilt die folgende Umkehrregel: . Diese Aussage wird in der mehrdimensionalen Analysis zum Satz von der Umkehrabbildung verallgemeinert.

Umkehrfunktion für nicht bijektive Funktionen

In vielen Fällen besteht der Wunsch nach einer Umkehrfunktion für eine nicht bijektive Funktion. Hierzu kann man die folgenden Hilfsmittel heranziehen:

Ist die Funktion nicht surjektiv, so kann man die Zielmenge verkleinern, indem man hierfür gerade das Bild der Funktion wählt. Die so erhaltene Funktion ist surjektiv und stimmt in ihren Wertepaaren mit der ursprünglichen Funktion überein. Dieser Ansatz ist immer möglich. Es kann allerdings sein, dass es schwierig ist, das Bild der betrachteten Funktion genau zu bestimmen. Außerdem kann beim Übergang auf diese Teilmenge eine wichtige Eigenschaft der ursprünglich betrachteten Zielmenge verloren gehen (in der Analysis etwa die Vollständigkeit).

In manchen Fällen erweist es sich auch als fruchtbar, die gewünschte Surjektivität dadurch zu erreichen, dass man bei der betrachteten Funktion den Definitionsbereich erweitert. Oft geht das auch mit einer Erweiterung der Zielmenge einher. Ob dieser Weg gangbar und sinnvoll ist, muss aber jeweils individuell entschieden werden.

Ist die Funktion nicht injektiv, so kann man auf ihrem Definitionsbereich eine geeignete Äquivalenzrelation definieren, sodass man die Funktion auf die Menge der entsprechenden Äquivalenzklassen übertragen kann. Diese Funktion ist dann automatisch injektiv. Dieser Ansatz ist allerdings anspruchsvoll und führt zu einem oft unerwünschten Wechsel in der Natur der Argumente der betrachteten Funktion.

In der Praxis kann man die Injektivität der Funktion oft auch dadurch erreichen, dass man sich auf eine geeignete Teilmenge des Definitionsbereichs der Funktion einschränkt, die zu jedem Element des Bilds nur ein einziges Urbildelement enthält. Diese Einschränkung ist allerdings unter Umständen willkürlich. Man muss daher darauf achten, dass man diese Einschränkung an allen Stellen konsistent in gleicher Weise vornimmt.

Beispiele

mini|hochkant=1.7|Beispiel: Umkehrung der Kosinus- und Sinusfunktion Die trigonometrischen Funktionen Sinus (sin), Kosinus (cos) und Tangens (tan) sind nicht bijektiv. Man schränkt sie jeweils auf geeignete Teilmengen des Definitionsbereichs und der Zielmenge ein und erhält bijektive Funktionen, deren Umkehrfunktionen die Arkusfunktionen: Arkussinus (arcsin), Arkuskosinus (arccos) und Arkustangens (arctan) sind.

Man betrachte die Nachfolger-Funktion auf der Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null. Diese Funktion ist injektiv. Sie ist aber nicht surjektiv, da die Zahl 1 nicht als Funktionswert vorkommt. Man kann nun die Zahl 1 aus der Zielmenge entfernen. Dann wird die Funktion surjektiv und die Vorgänger-Funktion ist ihre Umkehrfunktion. Allerdings ist es unschön, dass bei der Funktion nun Definitionsbereich und Zielmenge nicht mehr übereinstimmen. Die alternative Idee, den Definitionsbereich um das fehlende Urbildelement für die 1, nämlich die 0, zu erweitern, hat auf den ersten Blick denselben Nachteil. Fügt man, um dies zu beheben, die 0 ebenfalls zur Zielmenge hinzu, so besitzt diese wiederum kein Urbildelement. Man kann diesen Prozess aber gedanklich unendlich oft fortsetzen und gelangt dadurch zur Menge der ganzen Zahlen. Auf dieser Menge ist die Nachfolger-Funktion bijektiv, und ihre Umkehrfunktion ist die Vorgänger-Funktion.

Die Exponentialfunktion betrachtet als Funktion von nach ist injektiv, aber nicht surjektiv. Ihr Bild ist gerade die Menge der positiven reellen Zahlen. Schränkt man die Zielmenge darauf ein, so erhält man eine bijektive Funktion, deren Umkehrfunktion die Logarithmusfunktion ist. Eine natürliche Erweiterung des Zahlbereichs, wie im vorherigen Beispiel diskutiert, bietet sich hier nicht an. Daher muss man akzeptieren, dass bei den betrachteten Funktionen nun Definitionsbereich und Zielmenge nicht mehr übereinstimmen.

Die Quadratfunktion ist, betrachtet als Funktion von nach , weder injektiv noch surjektiv. Die Surjektivität erreicht man dadurch, dass man als Zielmenge die Bildmenge der nichtnegativen reellen Zahlen wählt. Um die Injektivität zu erreichen, kann man den Definitionsbereich einschränken. Am naheliegendsten ist es, hier ebenfalls zu wählen. Die so erhaltene eingeschränkte Quadratfunktion ist bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist die Quadratwurzelfunktion.

Ein entsprechendes Vorgehen für die Hyperbelfunktionen Sinus hyperbolicus (sinh), Cosinus hyperbolicus (cosh) und Tangens hyperbolicus (tanh) führt zu den Areafunktionen: Areasinus hyperbolicus (arsinh), Areakosinus hyperbolicus (arcosh) und Areatangens hyperbolicus (artanh).

Berechnung

Die effektive Bestimmung der Umkehrfunktion ist oft schwierig. Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren beruhen darauf, dass die Bestimmung der Umkehrfunktion einer Verschlüsselungsfunktion effektiv nur möglich ist, wenn man einen geheimen Schlüssel kennt. Dabei ist die Berechnungsvorschrift für die Verschlüsselungsfunktion selbst öffentlich bekannt.

Reelle Funktionen sind oft durch eine Berechnungsvorschrift definiert, die durch einen arithmetischen Term (mit einer Variablen ) beschrieben werden kann. Bei der Suche nach der Umkehrfunktion versucht man nun die Funktionsgleichung durch Äquivalenzumformung in die Form (für einen passenden Term ) zu bringen, also äquivalent nach aufzulösen.