Die jordansche Normalform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Benannt wurde sie nach Camille Jordan, der sie 1870 für endliche Körper und 1871 im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme für komplexe Matrizen herleitete, die aber auch schon 1868 Karl Weierstraß in seiner Behandlung bilinearer Formen im Komplexen bekannt warWilhelm von Alten u. a., 4000 Jahre Algebra, Springer 2008, S. 409. Die jordansche Normalform ist ein einfacher Vertreter der Äquivalenzklasse der zu einer trigonalisierbaren Matrix ähnlichen Matrizen. Die Trigonalisierbarkeit ist gleichbedeutend damit, dass das charakteristische Polynom der Matrix vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Matrizen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind immer trigonalisierbar und daher immer ähnlich einer jordanschen Normalform.
Für jede lineare Abbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums, deren charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, kann eine Vektorraumbasis gewählt werden, so dass die Abbildungsmatrix, die die Abbildung bezüglich dieser Basis beschreibt, die jordansche Normalform hat. Dies gilt insbesondere für jede nilpotente Matrix.
Für jede beliebige, auch nicht trigonalisierbare Matrix liefert die rationale Normalform oder Frobenius-Normalform einen standardisierten Repräsentanten der Ähnlichkeitsklasse dieser Matrix.
Definition Die jordansche Normalform zu einer quadratischen -Matrix über den komplexen Zahlen ist eine Matrix in der folgenden Blockdiagonalform:
Die Matrix ist die Matrix der Eigenvektoren und Hauptvektoren, aus denen sie spaltenweise besteht. bezeichnet dabei die inverse Matrix von . Die Darstellung von als
wird als Jordanzerlegung (engl. jordan decomposition) von bezeichnet. Die Matrizen heißen Jordanblöcke oder Jordankästchen; sie sind Bidiagonalmatrizen der folgenden Form:
Die sind dabei die Eigenwerte von . Zu jedem Eigenwert gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordanblöcke. Die geometrische Vielfachheit ist dabei die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert . Die Gesamtdimension aller Jordanblöcke eines Eigenwertes entspricht seiner algebraischen Vielfachheit, d. h. seiner Vielfachheit im charakteristischen Polynom.
In einem Jordanblock sind die sogenannten Jordanketten „gespeichert“ (siehe Hauptvektor). Bestehe z. B. nur aus einem Jordanblock mit Eigenwert und bezeichne einen Hauptvektor -ter Stufe, das heißt, ist ein Eigenvektor zum Eigenwert und es gilt und für , dann gelten und für , das heißt, die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis ist tatsächlich ein Jordanblock.
Es existiert noch die alternative Darstellung der Jordanblöcke mit 1 in der unteren Nebendiagonalen.
Im Spezialfall einer diagonalisierbaren Matrix ist die jordansche Normalform eine Diagonalmatrix.
Form der Transformationsmatrix Seien Hauptvektoren der jeweils -ten Stufe, wobei die Dimension des -ten Jordanblocks sei, . Dann ist , definiert durch
,
eine Transformationsmatrix, die mittels die jordansche Normalform von herstellt.
In Worten: Die Spalten von sind die Eigenvektoren mit den dazugehörigen Hauptvektoren in der Reihenfolge der dazugehörigen Jordanblöcke. Allerdings ist nicht eindeutig bestimmt.
Algorithmus zur Bestimmung einer komplexen jordanschen Normalform Für die jordansche Normalform eines Endomorphismus eines -dimensionalen -Vektorraums wählt man eine Basis des Vektorraums und berechnet die jordansche Normalform der Abbildungsmatrix von bezüglich der Basis .
Im Folgenden wird daher gesetzt und die komplexe jordansche Normalform einer quadratischen Matrix bestimmt. Die Einheitsmatrix wird mit bezeichnet.
Bestimmung der Eigenwerte Mit Hilfe des charakteristischen Polynoms
errechnet man aus seinen Nullstellen die paarweise verschiedenen Eigenwerte
Die Eigenwerte werden hier also nicht ihrer Vielfachheit entsprechend aufgeführt.
Bestimmung der Größe der Jordanblöcke Hierfür müssen zunächst die Dimensionen der verallgemeinerten Eigenräume bestimmt werden. Das heißt, man berechnet für alle die Zahlen
Insbesondere ist stets und ist gerade die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts . Die Dimension des Kerns kann mit Hilfe des Dimensionssatzes aus dem Rang berechnet werden, der beispielsweise mit dem gaußschen Algorithmus bestimmt werden kann.
Die Folge der ist monoton wachsend und wird ab einem bestimmten Wert für stationär, spätestens bei der algebraischen Vielfachheit des Eigenwertes im charakteristischen Polynom. Die Anzahl der Jordanblöcke der Größe zum Eigenwert lässt sich dann mit Hilfe der Formel
berechnen. Außerdem gibt die Gesamtzahl der zu diesem Eigenwert gehörigen Jordanblöcke an.
Komplexe jordansche Normalform Die erhaltenen Jordanblöcke schreibt man in eine Matrix und erhält die komplexe jordansche Normalform einer Matrix. Haben alle Blöcke die Größe 1, liegt der Spezialfall einer Diagonalmatrix vor, und ist somit diagonalisierbar.
Das Minimalpolynom von erhält man aus , worin die Größe des größten Jordanblocks zum Eigenwert bezeichnet.
Die jordansche Normalform ist bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke eindeutig bestimmt. Sofern alle Eigenwerte in liegen, sind zwei Matrizen, welche dieselbe jordansche Normalform haben, zueinander ähnlich.
Beispiel Man betrachte die Matrix , die definiert sei als
Ihr charakteristisches Polynom lautet . Somit besitzt diese Matrix genau einen Eigenwert, nämlich 3. Mit der Abkürzung werden nun die bestimmt:
Es gilt . Somit ist .
Weiterhin ist die Nullmatrix, also gilt und somit und die Folge wird ab dieser Stelle stationär.
Damit folgt: Es gibt Jordanblöcke, davon Jordanblock der Größe 1 und Jordanblöcke der Größe 2.
Somit ist die jordansche Normalform von . Das Minimalpolynom von ist .
Bestimmung einer Basistransformation zur komplexen jordanschen Normalform
Nun soll eine Basistransformationsmatrix bestimmt werden, die
erfüllt. Sie ist durch diese Gleichung bekanntlich nicht eindeutig bestimmt. Das Standard-Verfahren verwendet die vorherige Kenntnis der komplexen jordanschen Normalform .
Ein Standard-Verfahren
Ein gängiges Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende: Man bestimme (wie auch bei obigem naiven Ansatz) zunächst die Jordannormalform . Dann hat man insbesondere schon alle Eigenwerte berechnet sowie die Kerne für alle , worin die Dimension des größten Jordanblocks zum Eigenwert bezeichnet. Anschließend arbeite man zur Bestimmung einer regulären Matrix mit die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben Eigenwert stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht.
Zu jedem Block der Größe und Eigenwert werden Spalten der Basistransformationsmatrix nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in die Spalten belegt, so werden die Vektoren in ebenso (von links nach rechts) in die Spalten eingefügt. Die Vektoren werden nun wie folgt bestimmt:
Man wähle beliebig, worin die Menge der zuvor berechneten Spalten (d. h. Basisvektoren) der Stufe aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert (sofern vorhanden) bezeichnet. Insbesondere an dieser relativ freien Wahl erkennt man, dass die Basistransformation nicht eindeutig sein kann. Wenn , ist einfach ein Eigenvektor zum Eigenwert . Nach der Wahl obigen Vektors besteht nun für die weiteren Basisvektoren keine Wahlfreiheit mehr: Man muss sukzessiv für alle setzen. Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblöcke abgearbeitet hat, wurden am Ende alle Spalten von aufgefüllt. Es gilt: Die Matrix ist regulär und erfüllt , und ihre Spalten bilden eine Basis, bezüglich deren die Darstellung besitzt.
Wird die alternative Darstellung der Jordanblöcke gewählt, d. h. mit 1 in der unteren Nebendiagonalen, muss lediglich die Reihenfolge der Basisvektoren pro Jordanblock umgekehrt werden.
Beispiel
Als erläuterndes Beispiel betrachte man hierzu die Matrix
wie oben. Es gilt und . Ihre Jordannormalform lautet . Man beginne mit dem ersten Jordanblock der Dimension 2. Dazu wähle man
beliebig, beispielsweise . Dann ist zu wählen. Daraus erhält man . Nun gehe man zum zweiten Jordanblock der Größe 2 über. Man wähle nun
beliebig, beispielsweise . Dann ist , und man landet bei . Schließlich ist der letzte Jordanblock (der Größe 1) an der Reihe. Man wähle hierzu
beliebig, beispielsweise . Dann ist
eine reguläre Matrix mit .
Jordansche Normalform nilpotenter Matrizen
Eine nilpotente Matrix hat ausschließlich den Eigenwert null, weswegen die Hauptdiagonale ihrer jordanschen Normalform aus Nullen besteht. Sei der Jordanblock der Größe zum Eigenwert null. Dann ist jede nilpotente n×n-Matrix ähnlich zu einer eindeutig bestimmten Blockdiagonalmatrix
mit
und
Die Partitionsfunktion gibt die Anzahl der Äquivalenzklassen für nilpotente n×n-Matrizen an.
Mit jeder Potenz von entfernen sich die Einsen um einen Schritt von der Hauptdiagonalen. In ist der Abstand per definitionem eins, in zwei, in ist der Abstand . Das heißt, ist nilpotent mit einem Nilpotenzgrad kleiner oder gleich .
Sei die Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonale dieselbe ist wie die der jordanschen Normalform einer trigonalisierbaren Matrix, und sei die Matrix, die aus entsteht, indem die Hauptdiagonale mit Nullen belegt wird. Dann liegt die Summenzerlegung
mit
vor. Somit lässt sich jede trigonalisierbare Matrix in eine diagonalisierbare und eine nilpotente Matrix additiv zerlegen. Siehe auch Schursche Normalform und Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus.
Reelle jordansche Normalform
Betrachtet man reelle Matrizen, so zerfällt deren charakteristisches Polynom im Allgemeinen nicht mehr vollständig in Linearfaktoren, sondern nur noch in irreduzible Faktoren, die in diesem Fall stets lineare oder quadratische Faktoren sind. Es stellt sich nun die Frage nach einer Normalform, wenn man ausschließlich reelle Basistransformationen zulässt.
Zu einem quadratischen irreduziblen Faktor mit definiert man als Jordanblock
Wir nennen die Anzahl der Zeilen (bzw. Spalten) die Größe dieses Blocks. Dann bezeichnet man
als reelle jordansche Normalform. Um sie und eine geeignete reelle Matrix zu bestimmen, kann man folgendermaßen vorgehen: Bestimme das charakteristische Polynom und faktorisiere es in irreduzible Faktoren. Es ergibt sich , wobei paarweise verschiedene Eigenwerte mit Vielfachheit bezeichnen. Weiter seien darin , , und paarweise verschieden.
Für jedes bestimme man für , worin die kleinste natürliche Zahl ist mit . Analog bestimme man für jedes für , worin die kleinste natürliche Zahl ist mit . Zudem setzen wir .
Nun stelle man die jordansche Normalform auf. Es gilt hierbei ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert , deren Größe größer oder gleich ist. ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Faktor , deren Größe größer oder gleich ist. Außerdem ist die Summe der Jordanblockgrößen zum Eigenwert und die Summe der Jordanblockgrößen zum Faktor . Aus diesen Angaben kann man eindeutig die jordansche Normalform bestimmen.
Danach bestimme man die Basistransformationsmatrix , das heißt, man sucht eine reelle invertierbare Matrix , so dass .
Ein Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende:
Man arbeite die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben irreduziblen Faktor stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht. Zu jedem Block der Größe werden Spalten der Basistransformationsmatrix nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in die Spalten belegt, so werden die Vektoren in ebenso (von links nach rechts) in die Spalten eingefügt. Die Vektoren werden nun wie folgt bestimmt: Zu einem Jordanblock der Größe zum Eigenwert wähle man beliebig, worin die Menge der zuvor berechneten Spalten (das heißt Basisvektoren) der Stufe aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert (sofern vorhanden) bezeichnet. Anschließend setze man sukzessiv für alle .