Als ideales Gas bezeichnet man in der Physik und physikalischen Chemie eine bestimmte idealisierte Modellvorstellung eines realen Gases. Darin geht man von einer Vielzahl von Teilchen in ungeordneter Bewegung aus. Obwohl dieses Modell eine starke Vereinfachung darstellt, lassen sich mit ihm viele thermodynamische Prozesse von Gasen verstehen und mathematisch beschreiben.
In der Quantenmechanik unterscheidet man das ideale Bosegas und das ideale Fermigas.
Modell des idealen Gases Im Modell des idealen Gases der klassischen Physik werden alle Gasteilchen als ausdehnungslose Massenpunkte angenommen, welche sich frei durch das ihnen zur Verfügung stehende Volumen bewegen können. Im Wesentlichen gelten mehrere Idealisierungen, von denen sich zahlreiche andere Eigenschaften ableiten: Ideale Gasteilchen sind frei, sie üben keine Anziehungs- oder Abstoßungskräfte aufeinander aus. Es finden lediglich elastische Stöße zwischen Wand und Teilchen und zwischen Teilchen statt. Ideale Gasteilchen selbst belegen in ihrem Raum kein Volumen. Ideale Gasteilchen rotieren und vibrieren nicht. Ihre Energie ist ausschließlich die kinetische Energie der translatorischen Bewegung im Raum.
Reale Teilchen können Energie auch in Eigenrotation speichern, in Molekülen können darüber hinaus Oszillationen der Atome gegeneinander angeregt sein. In der Van-der-Waals-Gleichung werden die beiden ersten Idealisierungen korrigiert, um das Modell des idealen Gases besser an reale Gase anzupassen.
Mit frei ist gemeint, dass die Teilchen keinerlei Kräfte verspüren. Allerdings dürfen (und müssen) sich die Teilchen untereinander und an der Wand des Volumens stoßen. Ein Gasteilchen bewegt sich also geradlinig mit einer konstanten Geschwindigkeit, bis ein Stoß es in eine andere Richtung lenkt und dabei beschleunigen oder abbremsen kann.
Die Annahme von Stößen ist für das Modell notwendig. Ließe man keine Stöße zu, so könnte man das Gas zum einen nicht in ein Volumen einsperren, da es die Wand nicht bemerkte, und zum anderen behielte jedes Gasteilchen für alle Zeiten seine Anfangsgeschwindigkeit. Letzteres würde z. B. verhindern, dass sich eine zugeführte Energie im Gas im Mittel gleichmäßig auf alle Freiheitsgrade verteilen könnte. Ein solches System kann nicht zum thermodynamischen Gleichgewicht streben. Durch die Stöße bewegen sich die Teilchen nur eine kurze Weglänge frei. Damit es zu Stößen kommt, muss ein Stoßquerschnitt angenommen werden. Genauere Modelle zeigen, dass der (durchschnittliche) Stoßquerschnitt temperaturabhängig anzusetzen ist (Sutherlandkonstante), was durch die Abhängigkeit des Stoßprozesses von der Energie der beiden Teilchen zu verstehen ist.
Thermodynamik Formelzeichen Bedeutung Zustandsgrößen Druck Volumen Thermodynamische Temperatur Anzahl der Teilchen Stoffmenge Masse des Gases Innere Energie Freie Energie Konstanten Boltzmann-Konstante Universelle Gaskonstante spezifische Gaskonstante Planck-Konstante
Zustandsgleichungen Die thermische Zustandsgleichung zur Beschreibung eines idealen Gases heißt allgemeine Gasgleichung. Sie wurde zuerst aus verschiedenen einzelnen empirischen Gasgesetzen hergeleitet. Später erlaubte die Boltzmann-Statistik eine direkte Begründung ausgehend von der mikroskopischen Beschreibung des Systems aus einzelnen Gaspartikeln.
Die allgemeine Gasgleichung beschreibt die Abhängigkeiten der Zustandsgrößen des idealen Gases voneinander. In der Literatur wird sie üblicherweise in einer der folgenden Formen angegeben: .
(Formelzeichen siehe nebenstehende Tabelle.)
Mithilfe dieser Gleichung und den Hauptsätzen der Thermodynamik lassen sich die thermodynamischen Prozesse von idealen Gasen mathematisch beschreiben.
Neben der thermischen gibt es in der Thermodynamik noch die kalorische Zustandsgleichung. Diese lautet für das ideale Gas (ohne innere Freiheitsgrade):
Allerdings sind thermische und kalorische Zustandsgleichung voneinander abhängig, was der zweite Hauptsatz der Thermodynamik nennt.
Eigenschaften idealer Gase Ein ideales Gas hat eine Reihe besonderer Eigenschaften, die alle aus der allgemeinen Gasgleichung und den Hauptsätzen der Thermodynamik gefolgert werden können. Die allgemeine Gasgleichung ist die kompakte Zusammenfassung verschiedener Gesetzmäßigkeiten:
Satz von Avogadro Gleiche Volumina idealer Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur gleich viele Moleküle.
Gesetz von Boyle-Mariotte Bei konstanter Temperatur ist der Druck umgekehrt proportional zum Volumen:
Gesetz von Amontons Bei konstantem Volumen steigt der Druck wie die absolute Temperatur:
Dieses Gesetz ist die Grundlage für das Gasthermometer von Jolly.
Gesetz von Gay-Lussac Bei konstantem Druck steigt das Volumen wie die absolute Temperatur:
Molares Volumen bei Normbedingungen
Das molare Volumen unter Normbedingungen, d. h. bei Normaldruck p0 = 101,325 kPa und Normaltemperatur T0 = 273,15 K, hat für alle idealen Gase denselben Wert. Es errechnet sich über die universelle Gaskonstante R als:
Da aufgrund der Definition der Maßeinheiten einen exakten Wert hat, kann man auch exakt angeben.Günter Cerbe, Gernot Wilhelms: Technische Thermodynamik: Theoretische Grundlagen und praktische Anwendungen. München 2021, ISBN 978-3-446-46519-0, S. 44–45
Thermodynamische Größen Allgemein gilt für ein ideales Gas: Wärmekapazität (einatomig): Adiabatenkoeffizient (einatomig): Entropieänderung: isobarer Volumenausdehnungskoeffizient: unter Normbedingungen: isotherme Kompressibilität: unter Normbedingungen : isochorer Spannungskoeffizient:
Ideales Gasgemisch mini|Reversibler Kreisprozess: Trennung eines Gasgemischs (gelb) mittels teildurchlässigen Membranen (rote oder blaue Platte) in eine Komponente A (grün) und eine Komponente B (braun). Die Entropie bleibt bei diesem Prozess konstant.
Nebenstehend die Zeitrafferdarstellung der reversiblen Entmischung eines idealen Gasgemischs mittels teildurchlässigen (semipermeablen) Membranen. Die linke (rote) Membran ist durchlässig für Komponente (grün) und undurchlässig für Komponente (braun), während umgekehrt die rechte (blaue) Membran für Komponente undurchlässig und für Komponente durchlässig ist. Die Kolben haben gleiche Abmessungen und bewegen sich gleich schnell. Die gesamte von den äußeren Kräften (rote Pfeile auf den Zylindern) geleistete Arbeit beträgt Null. Erfahrungsgemäß tritt bei der Mischung von idealen Gasen keine Mischungswärme auf und dasselbe gilt für die reversible Entmischung. Es wird weder Arbeit noch Wärme mit der Umgebung ausgetauscht. Da der Vorgang reversibel ist, bleibt die Entropie konstant.
Bezeichnet die Volumenänderung pro Hub, den Druck, die Entropie und die Temperatur des Gemischs, und , , , und , , , die entsprechenden Größen der Komponente oder , so gilt:
(Dalton-Gesetz)
Analog gilt für ein mehrkomponentiges ideales Gasgemisch:
wenn die Entropie des Gemischs und die Entropie der separaten -ten Komponente bei der Temperatur und dem Volumen bezeichnet.
Ideale Gase gleicher Temperatur überlagern sich in einem gemeinsamen Volumen ohne gegenseitige Beeinflussung, wobei sich der Druck (Daltonsches Gesetz), die thermodynamischen Potentiale (Entropie, innere Energie, Enthalpie) sowie die Wärmekapazitäten der einzelnen Bestandteile zu den entsprechenden Größen des Gemischs addieren.
Mischungsentropie eines idealen Gasgemischs mini|300px|Diffusionsexperiment: Durch Diffusion vermischen sich verschiedene Gase von selbst und die Entropie nimmt zu.
Die nebenstehende Abbildung zeigt, wie durch Diffusion aus zwei ursprünglich getrennten Gasen ein einheitliches Gemisch entsteht. Die Temperaturen und Drücke der anfangs getrennten Gase (grün oder braun) seien gleich. Durch Drehung des oberen der beiden zylindrischen Behälter, die mit ihren ebenen Dichtflächen aneinander liegen (1), werden die abgeschlossenen Volumina und zum abgeschlossenen Volumen vereinigt. Die darin enthaltenen Gase diffundieren ineinander (2), bis schließlich, von selbst ohne äußere Einwirkung, ein einheitliches (homogenes) Gemisch entstanden ist, bei dem jeder Bestandteil gleichmäßig über das gesamte Volumen verteilt ist (3). Verhalten sich die Gase wie ideale Gase, so tritt bei diesem Diffusionsvorgang keine Mischungswärme auf und es gilt:
wobei und die Molzahlen der getrennten Gase bezeichnen.
Die Mischungsentropie entspricht der Entropieänderung bei Expansion der Gase von ihren ursprünglichen Volumina oder auf das gemeinsame Gemischvolumen :
oder mit , und :
Für ein mehrkomponentiges ideales Gasgemisch gilt analog:
Diese Formel gilt, wenn die getrennten Gase keine identischen Bestandteile enthalten, und zwar auch für chemisch sehr ähnliche Gase wie Ortho- und Parawasserstoff. Sie gilt näherungsweise auch für die Mischungsentropie von realen Gasen und zwar umso genauer, je besser diese die ideale Gasgleichung erfüllen. Wenn die beiden Teilvolumina und jedoch identische Gase enthalten, so findet beim Zusammenbringen keine Diffusion statt und es entsteht auch keine Mischungsentropie. Es ist also unzulässig, quasi in einem kontinuierlichen Grenzübergang die Gase immer ähnlicher und schließlich identisch werden zu lassen – siehe Gibbssches Paradoxon.
Reversible Mischung von Gasen mini|300px|Reversibles mischen und Entmischen eines Gases nach . Nicht jede Mischung von Gasen ist irreversibel. Die Grafik zeigt ein Gedankenexperiment, bei dem ein Kolben links eine semipermeable (halbdurchlässige) Wand besitzt, die nur Gas A durchlässt, für Gas B aber eine Barriere darstellt. Die mittlere Wand des Zylinders ist ebenfalls semipermeabel, aber diesmal für Gas B. Der rechte Teil ist evakuiert, so dass keine Kraft von dieser Seite auf den Kolben wirkt. Anordnung 1: Das Gemisch aus Gas A und Gas B füllt die Kammer aus. Der Gesamtdruck setzt sich aus den Partialdrücken des Gases A und des Gases B zusammen. Anordnung 2: Der Kolben wurde bewegt, so dass Gas A durch die linke Wand des Kolbens in den entstehenden Raum eintreten kann. Gas B wiederum tritt durch die semipermeable Wand in den rechten Raum ein. In der mittleren Kammer bleibt ein Teil der Mischung, die weiterhin mit der Summe der Partialdrücke von Gas A und B auf den Kolben wirkt. Wie man durch das Kräftegleichgewicht am Kolben (hier auch Druckgleichgewicht, da die wirksame Kolbenfläche in allen drei Teilräumen gleich ist) sieht, heben sich die Kräfte durch die Gasdrücke auf. Die beiden Partialdrücke der reinen Gase sind in jeder Kolbenstellung gleich dem Gesamtdruck der Mischung. In der Praxis werden bei diesem Aufbau Reibung an Kolben und Dichtungen sowie Verluste beim Durchströmen der Gase durch die semipermeabelen Wände entstehen. Es bestehen jedoch keine physikalischen Schranken, so dass diese Verluste beliebig verkleinert und theoretisch auf Null reduziert werden können. Auch semipermeable Wände sind zumindest für einige Gase bekannt, beispielsweise glühendes Platin, das für Wasserstoff durchlässig ist, aber Sauerstoff sperrt. Somit ist die Mischung und Entmischung der beiden Gase vollkommen reversibel, da der Kolben in jeder Stellung im Gleichgewicht der Druckkräfte ist und im theoretischen Grenzfall verlustfrei und ohne Arbeit in jede Position verschoben werden kann.
Statistische Beschreibung Während in der Thermodynamik die Zustandsgleichungen als reine empirische Gleichungen eingeführt werden, können diese mit den Mitteln der statistischen Physik direkt aus der mikroskopischen Beschreibung des Systems als Ansammlung einzelner Gaspartikel gewonnen werden. Außer den oben beschriebenen Annahmen des Modells selber wird dabei keine weitere Näherung benötigt. Die Möglichkeit der exakten mathematischen Beschreibung ist mit der Hauptgrund, warum das ideale Gas als einfachstes Gasmodell eine breite Anwendung findet und als Ausgangspunkt für bessere Modelle dient.
Zustandssumme des idealen einatomigen Gases