mini|hochkant=1.35|Hyperbel mit Mittelpunkt , Brennpunkten und , Scheitelpunkten und , Asymptoten (grün) sowie den halben Haupt- und Nebenachsen (a und b) In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel eine Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht. Sie zählt neben der Parabel und der Ellipse zu den Kegelschnitten (Schnitt einer Ebene mit der Mantelfläche eines geraden Kreiskegels) entstehen.

Wie alle Kegelschnitte lassen sich Hyperbeln auch als Ortskurven in der Ebene definieren (s. Abschnitt Definition einer Hyperbel als Ortskurve).

Die Hyperbel-Gleichung in Normalformmaphi.de: Die Normalformen der Kegelschnitte lautet wie folgt: .

und heißen halbe Hauptachse beziehungsweise halbe Nebenachse.

Die Hyperbel wurde von Menaichmos entdeckt. Die von Apollonios von Perge eingeführte Bezeichnung kommt aus dem Griechischen und bezieht sich auf die „übertriebene“ () Führung des Schnittes durch beide Teile eines Doppelkegels (bei Ellipse und Parabel nur durch ein Teil).

Definition einer Hyperbel als Ortskurve mini|365px|Hyperbel: Definition mit Leitkreis mini|300px|Hyperbel: Definition und Asymptoten Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte der Zeichenebene , für die der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den sogenannten Brennpunkten und , konstant gleich ist:

Der Mittelpunkt der Strecke heißt Mittelpunkt der Hyperbel. Die Verbindungsgerade der Brennpunkte ist die Hauptachse der Hyperbel. Auf der Hauptachse liegen die beiden Scheitel im Abstand vom Mittelpunkt. Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität und wird üblicherweise mit bezeichnet. Die in der Einleitung erwähnte dimensionslose numerische Exzentrizität ist .

Dass der Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die steiler ist als die Mantellinien des Kegels und die Kegelspitze nicht enthält, eine Hyperbel ist, zeigt man, indem man die obige definierende Eigenschaft mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln nachweist (s. Abschnitt Hyperbel als Kegelschnitt).

Bemerkung: Die Gleichung lässt sich auch so interpretieren: Ist der Kreis um mit Radius , so hat vom Kreis denselben Abstand wie vom Brennpunkt : Man nennt den zu gehörigen Leitkreis der Hyperbel. Er erzeugt den rechten Ast

der Hyperbel. Den linken Ast erhält man analog mit dem zum Brennpunkt gehörigen Leitkreis . Die Erzeugung einer Hyperbel mit Leitkreisen sollte man nicht verwechseln mit der Erzeugung einer Hyperbel mit Leitlinien (siehe unten).

Aufgrund der Leitkreis-Eigenschaft ist ein Ast einer Hyperbel die Äquidistanz-Kurve zu einem ihrer Brennpunkte und dem Leitkreis mit dem anderen Brennpunkt als Mittelpunkt.

Hyperbel in 1. Hauptlage Der Teilbegriff -lage bezieht sich auf die Beziehung zu einem überlagerten x/y-Koordinatensystem.

Gleichung Die Gleichung der Hyperbel erhält eine besonders einfache Form, wenn sie in 1. Hauptlage liegt, das heißt, dass die beiden Brennpunkte auf der -Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1. Hauptlage haben also die Brennpunkte die Koordinaten und (mit e = lineare Exzentrizität), und die Scheitel haben die Koordinaten und .

Für einen beliebigen Punkt in der Ebene ist der Abstand zum Brennpunkt gleich und zum anderen Brennpunkt . Der Punkt liegt also genau dann auf der Hyperbel, wenn die Differenz dieser beiden Ausdrücke gleich oder gleich ist.

Durch algebraische Umformungen und mit der Abkürzung kann man zeigen, dass die Gleichung

zur Gleichung

äquivalent ist. Letztere Gleichung nennt man die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage oder Mittelpunktsgleichung der Hyperbel.

Scheitel Eine Hyperbel besitzt nur zwei Scheitel: und . Im Gegensatz zur Ellipse sind hier und keine Kurvenpunkte. Letztere werden deswegen auch imaginäre Nebenscheitel genannt. Die Gerade durch die Nebenscheitel heißt Nebenachse. Die Hyperbel liegt symmetrisch zur Haupt- und Nebenachse.

Asymptoten hochkant=1.4|mini|Hyperbel: Halbachsen , lineare Exzentrizität , Halbparameter Löst man die Hyperbelgleichung nach auf, so erhält man

Hier erkennt man, dass sich die Hyperbel für betragsmäßig große an die Geraden

beliebig dicht annähert. Diese Geraden gehen durch den Mittelpunkt und heißen die Asymptoten der Hyperbel

Aus dem Steigungsdreieck der Asymptote mit den Seiten erhält man für den Winkel zwischen den Asymptoten (der den Hyperbelast einschließt) .

Halbparameter p Die halbe Länge einer Hyperbelsehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch nur Parameter) der Hyperbel. Der Schnittpunkt dieser Sehne mit der Hyperbel hat die Koordinaten . Einsetzen in die mit multiplizierte Mittelpunktsgleichung liefert

Hieraus erhält man durch elementare Termumformungen und unter Verwendung der Beziehung eine Gleichung für in Abhängigkeit von und :

Zudem ist der Radius des Scheitelkrümmungskreises, also desjenigen Kreises, der sich im Scheitelpunkt am besten an die Hyperbel anschmiegt.(Siehe unten: Formelsammlung/Scheitelgleichung)

Tangente mini|hochkant=1.4|Tangente in einem Hyperbelpunkt Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt findet man am einfachsten durch implizites Differenzieren der Hyperbelgleichung :

Unter Berücksichtigung von ergibt sich:

Gleichseitige Hyperbel Eine Hyperbel, für die gilt, heißt gleichseitige Hyperbel. Ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander. Die lineare Exzentrizität ist , die numerische Exzentrizität und der Halbparameter ist .

Parameterdarstellung mit Hyperbelfunktionen

Mit den Hyperbelfunktionen ergibt sich eine (zur Ellipse analoge) Parameterdarstellung der Hyperbel :

Hyperbel in 2. Hauptlage mini|hochkant=1.2|ohne|2. Hauptlage einer Hyperbel mini|hochkant=1.2|ohne|1. Hauptlage einer Hyperbel Vertauscht man und , so erhält man Hyperbeln in 2. Hauptlage.Vergleich der Normalform-Gleichungen; 1. Hauptlage: 2. Hauptlage: In den nebenstehenden Abbildungen ist die Hyperbel samt aller Hilfslinien um 90° im Koordinatenursprung gedreht. Denkbar ist auch, das Koordinatensystem in die Gegenrichtung zu drehen.

Hyperbel mit einer Gleichung y=A/x mini|hochkant=1.2|Wie das Koordinatensystem zur Beschreibung einer gleichseitigen Hyperbel als Graph einer Funktion zu drehen ist. mini|hochkant=1.2|Die Drehung ist erfolgt. Ergebnis: drei gleichseitige Hyperbeln mit den Koordinatenachsen als Asymptoten rot: , magenta: ; blau: Dreht man das --Koordinatensystem um den Winkel und nennt die neuen Koordinaten , so ist . Die gleichseitige Hyperbel hat in den neuen Koordinaten die Gleichung . Löst man diese Gleichung nach auf, erhält man

Also ist (in einem x-y-Koordinatensystem) der Graph der Funktion mit der Gleichung eine gleichseitige Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten, der Gerade als Hauptachse, dem Mittelpunkt und den Halbachsen den Scheiteln dem Halbparameter und Scheitelkrümmungskreisradius der linearen Exzentrizität und der numerischen Exzentrizität der Tangente im Punkt

Dreht man die ursprüngliche Hyperbel um (dies entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um ), so erhält man eine gleichseitige Hyperbel mit der Gleichung mit den Halbachsen der Gerade als Hauptachse, den Scheiteln

Verschiebt man die Hyperbel mit der Gleichung so, dass der Punkt der Mittelpunkt der verschobenen Hyperbel ist, so hat die verschobene Hyperbel die Gleichung

Die verschobene Hyperbel hat die Asymptoten und . Die Parameter ändern sich bei einer Verschiebung nicht.

Hyperbel als Kegelschnitt hochkant=2|mini|Hyperbel (rot): Auf- und Seitenriss eines Kegels mit Dandelinschen Kugeln d1, d2 Schneidet man einen geraden Kreiskegel mit einer Ebene , deren Neigung größer als die Neigung der Mantellinien des Kegels ist und die nicht durch die Kegelspitze geht, so ergibt sich eine Hyperbel als Schnittkurve (s. Bild, rote Kurve). Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. der Brennpunkte (s. oben) führt man mit Hilfe zweier Dandelinscher Kugeln , das sind Kugeln, die den Kegel in Kreisen bzw. und die Hyperbelebene in Punkten bzw. berühren. Es stellt sich heraus, dass die Brennpunkte der Schnitthyperbel sind. sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve. Die Mantellinie durch schneidet den Kreis in einem Punkt und den Kreis in einem Punkt . Die Strecken und sind tangential zur Kugel und damit gleich lang. Die Strecken und sind tangential zur Kugel und damit auch gleich lang. Also ist und damit unabhängig vom Hyperbelpunkt .

Tangente als Winkelhalbierende

hochkant=1.4|mini|Hyperbel: Tangente als Winkelhalbierende der Brennstrahlen Für eine Hyperbel gilt: Die Tangente in einem Punkt ist die Winkelhalbierende der Brennstrahlen Daraus folgt: Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, wird demnach an der Hyperbeltangente so reflektiert, dass er vom anderen Brennpunkt auszugehen scheint.

Beweis Zum Beweis verwendet man den Hilfspunkt auf dem Brennstrahl , der von den Abstand hat (s. Bild, ist die Halbachse der Hyperbel). Die Gerade ist die Winkelhalbierende der Brennstrahlen. Um nachzuweisen, dass die Tangente im Punkt ist, zeigt man, dass jeder von verschiedene Punkt von nicht auf der Hyperbel liegen kann. Also hat mit der Hyperbel nur den Punkt gemeinsam und ist damit die Tangente in . Aus der Zeichnung ist ersichtlich (Dreiecksungleichung), dass ist, d. h., es ist . Wenn ein Hyperbelpunkt wäre, müsste die Differenz gleich sein.

Da eine Winkelhalbierende leicht zu zeichnen ist, bietet diese Eigenschaft eine einfache Möglichkeit die Tangente in einem Hyperbelpunkt zu konstruieren. Falls statt der zwei Brennpunkte die zwei Asymptoten bekannt sind, kann man die im Abschnitt Tangentenkonstruktion beschriebene Methode verwenden.

Leitlinien-Eigenschaft hochkant=1.4|mini|Hyperbel: Leitlinien-Eigenschaft Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand . Für einen beliebigen Punkt der Hyperbel ist das Verhältnis zwischen den Abständen zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Leitlinie gleich der numerischen Exzentrizität:

Zum Beweis zeigt man, dass für und die Gleichung

erfüllt ist.

Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Leitlinie) sowie eine reelle Zahl mit vorgeben und eine Hyperbel definieren als Menge aller Punkte der Ebene, für die das Verhältnis der Abstände zu dem Punkt und zu der Geraden gleich ist. Wählt man , so erhält man eine Parabel. Für ergibt sich eine Ellipse.

Zum Beweis geht man von und der Vorgabe, dass ein Kurvenpunkt ist, aus. Die Leitlinie wird dann durch die Gleichung beschrieben. Für folgt aus und hieraus Mit der Abkürzung erhält man

Dies ist die Scheitelgleichung einer Ellipse (), einer Parabel () oder einer Hyperbel (). Siehe Abschnitt Formelsammlung.

Führt man im Fall neue Konstanten so ein, dass ist, so geht die Scheitelgleichung in

über. Dies ist die Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt , -Achse als Hauptachse und Halbachsen .

mini|hochkant=1.4|Konstruktion der Leitlinie Konstruktion einer Leitlinie:

Wegen sind der Punkt der Leitlinie (siehe Bild) und der Brennpunkt bezüglich der Spiegelung am großen Scheitelkreis (im Bild grün) invers. Damit kann wie im Bild gezeigt aus mit Hilfe des großen Scheitelkreises konstruiert werden: Der Punkt ist der Schnittpunkt des Scheitelkreises mit dem Thaleskreis (hier nicht gezeichnet) über . Man rechnet nach, dass auch auf der Asymptote liegt. Damit gibt es die weitere Konstruktion von als Lotfußpunkt des Lotes von auf die Asymptote (siehe Bild). Die Leitlinie ist schließlich das Lot von auf die große Achse.

Fadenkonstruktion einer Hyperbel hochkant=1.4|mini|Hyperbel: Fadenkonstruktion Die Definition einer Hyperbel mit Hilfe eines Leitkreises (s. o.) bietet eine einfache Möglichkeit, mit Hilfe eines Fadens und eines Lineals einen Hyperbelbogen zu zeichnen:Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, Leyden, 1659, S. 327