Wiskunde

duimnael

Wiskunde word algemeen gedefinieer as die studie van patrone in strukture, verandering en ruimte; meer informeel gestel, kan 'n mens sê dat dit die studie van "getalle en syfers" is. Uit die formele oogpunt gesien is dit die ondersoek van aksiomaties gedefinieerde abstrakte strukture deur gebruik te maak van simboliese logika en wiskundige notasie; ander uitgangspunte word in die filosofie van wiskunde bespreek. Wiskunde kan gesien word as 'n eenvoudige uitbreiding van gesproke en geskrewe tale, met 'n uiters presies gedefinieerde woordeskat en taalstruktuur met die doelwit om fisiese en konsepsuele vergelykings te ondersoek.

Alhoewel wiskunde self nie gewoonlik beskou word as 'n natuurwetenskap nie, het die spesifieke strukture wat deur wiskundiges ondersoek word dikwels hulle oorsprong in die natuurwetenskappe en meer algemeen in fisika. Wiskundiges definieer en ondersoek egter ook strukture wat suiwer van interne belang tot wiskunde as vakgebied is, omdat die strukture sodoende verkry, 'n verenigde veralgemening vir verskeie vertakkinge kan verskaf of 'n nuttige gereedskap kan wees vir algemene berekeninge.

Laastens bestudeer baie wiskundiges gebiede vir suiwer estetiese redes en beskou hulle wiskunde as 'n kunsvorm eerder as 'n praktiese of toegepaste wetenskap. Gauss het na die vak verwys as die 'Koningin van die Wetenskappe’. Einstein het opgemerk dat "hoeveel die wette van wiskunde na die werklikheid verwys is onseker, en sover hulle seker is verwys hulle nie na die werklikheid nie".

Inleiding In breë trekke is daar drie benaderings tot wiskundige probleme, naamlik die logiese, empiriese en intuïtiewe benadering. Wiskunde word dikwels met die logika geassosieer (sommige wiskundiges beskou dit selfs as ʼn onderafdeling van logika). Volgens dié benadering word die getal 1 nie as 'n getal benader nie, maar as 'n versameling met een element, byvoorbeeld a. Die element vorm dan deel van verskillende logiese relasies: as a < b en b < c dan is a < c.

In die logika speel die relasies "gelyk aan" (=), "nie gelyk aan" (), "kleiner as" (<) en "groter as" (>) dus 'n belangrike rol. Die logika is egter nie in alle gevalle van toepassing nie, aangesien daar probleme is waarby al die elemente nie tot logiese waarhede of valshede herlei kan word nie. In die empiriese benadering word daar sterk op bewyse gesteun en word 'n onderskeid gemaak tussen reële en ideële begrippe. Reële begrippe het onder meer betrekking op finitiewe (eindige) getalle, waar 'n probleem sistematies benader en 'n antwoord gevind kan word.

Ideële begrippe het betrekking op infinitiewe (oneindige) getalle, waar 'n vergelyking vir ʼn probleem opgestel kan word, maar 'n antwoord nie noodwendig bepaal kan word nie. Dit is byvoorbeeld moontlik om die som van die getal van 1 tot 1 000 te bepaal (1 + 2 + 3 + 4, ensovoorts), maar oor die som van die getalle 1 tot n (1 + n + n + n ... ) te bepaal, kan slegs gespekuleer word. Op die keper beskou, word alle wiskundige probleme egter intuïtief benader en word die wiskunde as 'n konstruktiewe aktiwiteit beskou.

Hierby word wiskunde deur sommige wiskundiges bo byvoorbeeld die logika verhef en logika slegs as 'n instrument in die oplossing van 'n probleem beskou. 'n Bewys vir die berekening 1 + 9 = 5+ 5 word uiteindelik tog verkry deur werklik die som van die getalle te bereken en dit dan te vergelyk. Nadat daar in ʼn berekening vasgestel is dat a = b en b = c kan die logiese afleiding gemaak word dat a = c.

Ontwikkeling In die eerste vorme van wiskunde is veral klem gelê op praktiese berekenings en metings wat in die handel, kalenderopstelling en die insameling van belasting gebruik is. Die leermeesters wat vir die onderrig van rekenkunde verantwoordelik was, het egter langsamerhand teorieë oor die berekenings geformuleer en eerder van simbole as getalle gebruik gemaak.

Babiloniese wiskunde Babiloniese wiskunde het bekend geword deur die vondste van kleitablette waarop tekste in spykerskrif verskyn. Die oudste tekste dateer uit 2100 v.C. en het betrekking op rekenkunde. Die Babiloniërs het veral van tabelle soos vermenigvuldigings- en opteltabelle gebruik gemaak, en het ook met breuke gewerk. Hulle het ʼn sestigtallige stelsel gehad waaruit die gebruik van 60 vir die indeling van die uur, die minuut en die sirkelgraad voortgespruit het. Die Babiloniërs het ook meetkunde beoefen en kon die oppervlakte en inhoud van eenvoudige, reglynige figure bereken. Daar is selfs bewyse van die oorgang van rekenkunde na algebra.

Egiptiese wiskunde In Egiptiese grafskrifte en kalenders is daar aanduidings van die gebruik van 'n tientallige stelsel vir praktiese rekenkunde. Dit is byvoorbeeld gebruik vir die berekening van dieregetalle en voedselvoorrade. In meetkunde het die Egiptenare hulle veral toegelê op driehoeksmeetkunde, maar kon ook die inhoud van 'n kubus, silinder en piramide bepaal. In algebra het hulle nie verder gegaan as 'n lineêre vergelyking met een onbekende nie.

Chinese wiskunde Die belangrikste Chinese wiskundeteks is die Tjioe Tsjang Soean-sjoe ("Die nege hoofstukke oor die kuns van wiskunde"), wat handel oor lineêre vergelykings, vierkants- en derdemagswortels en matrikse.

Indiese wiskunde Indiese wiskunde dateer uit 500 v.C. en handel oor die konstruksie van vierkante en reghoeke, die verband tussen die skuinssy (diagonaal) en die reghoek en die verband tussen vierkante en sirkels.

Griekse wiskunde Die Grieke het baie aandag bestee aan die eienskappe van getalle en berekeninge. Pythagoras het die driehoek bestudeer en onder meer sy beroemde stelling geformuleer wat lui dat die som van die kwadraat van die vertikale sy en die kwadraat van die horisontale sy in 'n driehoek gelyk is aan die kwadraat van die skuinssy. In ongeveer 450 v.C. is begrippe geformuleer met betrekking tot eindige (finitiewe) en oneindige (infinitiewe) getalle. In 450 v.C.. het Hippokrates begin om deur middel van logiese gevolgtrekkings stellings af te lei wat as aksiome bekend staan. Plato en Aristoteles het dit nagevolg en wiskunde met logika in verband gebring. In 323 v.C. het Euklides sy werk Elemente geskryf en van aksiome uitgegaan waaruit stellings logies afgelei kon word. Hierdie werk was invloedryk en daar word vandag soms nog na meetkunde as Euklidiese meetkunde verwys.

Arabiese wiskunde Aan die begin van die 13de eeu is die Arabiese syferstelsel en wiskunde in Italië bekend gestel. Die Arabiere het kennis uit ander nasies se wiskunde opgeneem en hulle veral op praktiese wiskundige vaardighede toegelê (rekenkunde en driehoeksmeetkunde). Hulle het werke gelewer wat die grondslag gelê het vir die ontwikkeling van algebra in Europa. Aan die begin van die 16e eeu het die Griekse en Arabiese wiskunde sterk in Italië uitgebrei.

Die gebruik van simbolenotasie is ingevoer en daar is heelwat vordering in teoretiese algebra gemaak. Vanweë die eise wat in sterrekunde en navigasie gestel is, het driehoeksmeetkunde ook sterk ontwikkel. In die 17de eeu het Pierre de Fermat (1608 – 1665) die grondslag vir die moderne getalleteorie gelê. Saam met Pascal het hy dit ook vir die ontwikkeling van waarskynlikheidsrekening gebruik. Descartes het hom op analitiese meetkunde toegelê en in sy koördinaatmeetkunde gewys op die verband tussen meetkunde en algebra.

Die tekens + en - en die notasie x 2 het in gebruik gekom en Descartes het die eerste letters van die alfabet (a, b, c) vir bekendes, en die laaste letters (x, y, z) vir onbekendes gebruik. John Napier het logaritmes begin gebruik wat tot en met die koms van die rekenaar een van die kragtigste rekenmetodes was. 'n Ingrypende ontwikkeling was die van differensiaalrekening, waaraan onder andere Fermat en Newton gewerk het. Dit het betrekking op die differensiaal - en integraalrekening waarby funksies 'n belangrike rol speel.

Wanneer die verandering van een getal (onafhanklike veranderlike) in 'n vergelyking die verandering in 'n ander getal veroorsaak (afhanklike veranderlike), word daardie getal die funksie van die vergelyking genoem. Ander belangrike wiskundige dissiplines wat ontwikkel is, is die nie-euklidiese meetkunde (Gauss), tensorrekening (Riemann), versamelingsleer (Cantor), vektore, topologie en skakelalgebra (Boole).

Toepassings Die wiskunde is 'n omvattende wetenskap met onder meer die volgende dissiplines: rekenkunde, meetkunde, algebra, versamelingsleer, vektore, grafieke en funksies, statistiek, differensiasie, integrasie, tensorrekening, komplekse getalle, matrikse, rye en reekse, skakel-algebra, topologie, waarskynlikheidsrekening en selfs ook programmering. Die wiskunde vind oor 'n wye gebied toepassing, waarvan die belangrikste toepassings hieronder kortliks bespreek word.

- Rekenkunde het betrekking op die praktiese bewerking van getalle. Die teoretiese benadering tot getalle vorm 'n onderafdeling van die algebra.

- Meetkunde het betrekking op die bepaling van die afmetings en die eienskappe van meetkundige figure (punt, lyn, driehoek, sirkel, ensovoorts).

- Algebra leen hom sterk tot die opstel van vergelykings (x = y, a + b = c, ensovoorts) en relasies (a > b, a b, ensovoorts). In die analitiese meetkunde vind die algebra en meetkunde aansluiting, aangesien die meetkundige figure aan die hand van algebraïese vergelykings omskryf kan word.

- Versamelingsleer word onder meer vir die studie van getalstelsels gebruik. 'n Voorbeeld van 'n versameling is die getalle 1, 2, 3 , 4, ... n, wat 'n oneindige versameling natuurlike getalle is. Die simbool n dui aan dat daar nie 'n laaste element is nie.

- Differensiasie is 'n kragtige rekenmetode waarmee komplekse probleme opgelos kan word. 'n Bekende toepassing van differensiasie is die berekening van die snelheid van 'n vuurpyl wat 'n gegewe hoeveelheid brandstof dra. Namate die brandstof verbruik en die vuurpyl dus ligter word, beweeg dit vinniger, en hierdie versnelling kan met behulp van 'n differensiaalvergelyking bepaal word.

- Integrasie is die resiprook van differensiasie. Terwyl differensiasie byvoorbeeld vir die berekening van 'n vuurpyl se snelheid gebruik word (tempo van verplasing), word integrasie gebruik vir die bepaling van die afstand wat dit aflê (totale verplasing).

- Tensorrekening word in die studie van abstrakte figure gebruik. Dit is nou verwant aan die analitiese meetkunde waarby figure in 'n koördinaatstelsel voorgestel word, dit wil sê op x- en y-asse.

- Vektore word vir probleme gebruik waarby beweging, kragte, snelheid, ensovoorts, betrokke is. Enige fisiese grootheid waarby grootte en rigting ter sprake kom, word 'n vektor genoem.

- Grafieke word vir die interpretasie van wiskundige informasie gebruik. Die inhoud van 'n komplekse vergelyking kan dikwels in een oogopslag duidelik word wanneer die grafiese voorstelling van die vergelyking bestudeer word.

- Statistiek word vir die studie van groot hoeveelhede gegewens gebruik. Uit so 'n studie word dikwels wiskundige vergelykings saamgestel, en grafieke daarvan opgestel sodat die inhoud van die gegewens met een oogopslag duidelik word.

- Komplekse getalle is 'n kombinasie van reële en denkbeeldige getalle. 'n Reële getal kan op die getallelyn voorgestel word (byvoorbeeld die natuurlike getalle 1, 2, 3, .. . ). 'n Denkbeeldige getal kan nie op die getallelyn voorgestel word nie (byvoorbeeld die vierkantswortel van negatiewe getalle) en die letter i of j word gewoonlik gebruik om dit voor te stel. Komplekse getalle word geskryf as: (reële getal) + j (denkbeeldige getal ).

- Matriksalgebra het onder meer betrekking op 'n tweedimensionele uiteensetting (n X n) van elemente of simbole. 'n Eenvoudige voorbeeld van 'n matriks is 'n opteltabel waaruit die som van 2 getalle regstreeks afgelees kan word.

- Rye en reekse is die versamelnaam vir opeenvolgende reekse getalle wat 'n vaste verband met mekaar het. Die algemene skryfwyse is (a+ x)n. 'n Voorbeeld van 'n getalreeks is die opeenvolgende getalle 1, 3, 5, 7, ... waar die intervalle 2 is.