Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung (Familie) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten. Das Objekt mit der Nummer , man sagt hier auch: mit dem Index , wird -tes Glied oder -te Komponente der Folge genannt. Endliche wie unendliche Folgen finden sich in allen Bereichen der Mathematik. Mit unendlichen Folgen, deren Glieder Zahlen sind, beschäftigt sich vor allem die Analysis.

Ist die Anzahl der Glieder einer endlichen Folge, so spricht man von einer Folge der Länge , einer -gliedrigen Folge oder von einem -Tupel. Die Folge ohne Glieder, deren Index-Bereich also leer ist, wird leere Folge, 0-gliedrige Folge oder 0-Tupel genannt.

Beispiele mini|Kurven der ersten 5 Glieder der Funktionenfolge

| || 5-Tupel von ganzen Zahlen |- | || 4-Tupel trigonometrischer Funktionen |- | || Folge der Primzahlen |- | || unendliche Folge von Mengen |- style="vertical-align:top" | || allgemeine unendliche Folge, deren Terme fortlaufend indiziert sind. Als Indizierungsbeginn wurde hier die Null gewählt.

Schreibweise Allgemein schreibt man für eine endliche Folge , also , und bei unendlichen Folgen , also . Das steht dabei für ein beliebiges Folgenglied; die runde Klammer fasst diese zu einer Folge zusammen, dann wird der Laufbereich des Index dargestellt (dieser darf fehlen, wenn er implizit klar ist). Statt der runden Klammern werden manchmal auch spitze verwendet (also ); statt der Kommas können Semikola verwendet werden, wenn eine Verwechslungsgefahr mit dem Dezimaltrennzeichen besteht.

Nicht zu verwechseln sind Folgen mit den Reihen , die durch Partialsummen (d. h. Summen bis zum Glied n) von Folgen gebildet werden.

Der Unterschied zu der Menge der Folgenglieder oder besteht darin, dass es auf die Reihenfolge der ankommt und dass mehrere Folgenglieder denselben Wert haben können. Beispiele Die Folge (0, 1, 0, 2, 0, 4, 0, 8, …) hat die Bildmenge (oder unterliegende Menge) {0, 1, 2, 4, 8, …}. Die Folge (1, 0, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 8, …) hat dieselbe Bildmenge. In beiden Folgen tritt der Wert 0 mehrfach auf.

Formale Definition Eine unendliche Folge wird formal als eine Abbildung

definiert, die jedem Index aus der als Indexmenge verwendeten Menge der natürlichen Zahlen ein Folgenglied aus der Zielmenge zuordnet. Die Wahl des Anfangsindex ist jedoch letztlich willkürlich. In der Schulmathematik und in den häufigsten Anwendungsfällen ist die Menge der reellen Zahlen . Es werden aber auch zum Beispiel Folgen von Mengen und Funktionenfolgen betrachtet.

Für eine endliche Folge (Tupel) mit Gliedern definiert man den Index statt aus aus einer endlichen Menge, üblicherweise entweder aus der Menge oder aus der Menge . Gelegentlich findet sich für derartige Indexmengen die Notation .

Anwendungen Unendliche Folgen können gegen einen Grenzwert konvergieren. Die Theorie der Grenzwerte unendlicher Folgen ist eine wichtige Grundlage der Analysis, denn auf ihr beruhen die Berechnung von Grenzwerten von Funktionen, die Definition der Ableitung (Differentialquotient als Grenzwert einer Folge von Differenzenquotienten) und der riemannsche Integralbegriff. Wichtige Folgen erhält man als Koeffizienten von Taylorreihen analytischer Funktionen. Manche elementare Funktionen führen dabei auf besondere Folgen, so die Tangens-Funktion auf die bernoullischen oder der Secans hyperbolicus auf die eulerschen Zahlen. Zum Beweis der Konvergenz einer Folge ist die Methode der vollständigen Induktion ein nützliches Hilfsmittel.

Eine Reihe ist eine spezielle Folge von Zahlen, deren -tes Glied sich aus der Summe der ersten Glieder einer anderen Zahlenfolge ergibt. Zum Beispiel ergibt sich die Reihe (1, 3, 6, 10, 15, …) aus der Folge (1, 2, 3, 4, 5, …). Reihen finden in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung. Siehe dazu den Artikel Reihe (Mathematik).

Bildungsgesetz einer Folge Es gibt mehrere Möglichkeiten eine Folge anzugeben: Nennen aller Folgenglieder (nur für endliche Folgen möglich) Funktionsgleichung Reihe Rekursion Algorithmus

Eine endliche Folge kann man angeben, indem man sämtliche Folgenglieder nennt. Bei einer unendlichen Folge geht das nicht, stattdessen muss man das Bildungsgesetz der Folge in anderer Form mitteilen.

Folgen, deren Bildungsgesetz sich als Funktionsvorschrift oder Rekursion mitteilen lässt, werden zuweilen regelmäßige Folgen genannt.

Angabe von Anfangsgliedern Die in manchen „Intelligenztests“ gestellte Aufgabe, eine Folge fortzusetzen, deren erste Glieder gegeben sind, ist aus mathematischer Sicht unsinnig. Auch durch noch so viele Anfangsglieder ist der weitere Verlauf einer Folge nicht eindeutig festgelegt. Es gibt nur mehr oder weniger plausible Fortsetzungen, die aber im Auge des Betrachters liegen und weder „richtig“ noch „falsch“ sind, sondern willkürlich sind. Um zu zeigen, dass sich eine Folge von Zahlen auf eine bestimmt Weise fortsetzt, muss man die Bildungsvorschrift der bekannten Glieder kennen und nicht nur mutmaßen. Das steht diesen „Intelligenztests“ aber entgegen.

Beispiele Gegeben ist 0, 1, 2, 3, …. Am plausibelsten ist die Fortsetzung 4, 5, 6, …, also die Folge aller natürlichen Zahlen. Möglich ist aber auch die Fortsetzung 0, 1, 2, 3, 0, …, und zwar als die periodische Folge der kleinsten positiven Reste der natürlichen Zahlen modulo 4. In einem Computer werden ganze Zahlen oft mit 32 Bit im Zweierkomplement, also als die absolut kleinsten Reste modulo 232 dargestellt. Beim sukzessiven Erhöhen eines Registers (ohne Überlauftest) durchläuft man dann die Zahlenfolge 0, 1, 2, 3, …, 2147483647, −2147483648, −2147483647, …, −1 und periodisch weiter. mini|hochkant=1.6|Aus Lagrange-Polynomen gewonnene Bildungs­vorschriften für 10 verschiedene Fortsetzungen der Folge 1, 2, 3.Die Kurven zeigen den Verlauf der Polynome. Zu gegebenen n Folgengliedern kann man ein beliebiges Folgenglied hinzufügen und ein Polynom n. Grades dadurch legen. Damit kann man eine gegebene Folge beliebig fortsetzen und eine plausible mathematisch Bildungsvorschrift angeben. Für die Zahlenfolge 3, 1, 4, 1, 5, … ist eine plausible Fortsetzung 1, 6, 1, 7, … Andere würden die Dezimaldarstellung der Kreiszahl wiedererkennen und die Fortsetzung 9, 2, 6, … vorschlagen. Eine sehr interessante Zahlenfolge sind die Werte der Borwein-Integrale. Diese sind lange Zeit exakt , um nach vielen Gliedern auf einmal den Wert zu ändern. Eine weitere legendäre Zahlenfolge ist 1, 2, 4, 8, 16, …, für die es mittlerweile mehr als 10 Beispiele für Folgen gibt, die nicht mit 32, 64, … weitergehen und die die Lösungen normaler Aufgaben sind. Am bekanntesten ist das Mosersche Kreisflächenproblem, auch als Pizza-Problem bekannt ().

Die Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen (OEIS) enthält zehntausende mathematisch relevanter Folgen. Darin kann man nach einer gegebenen Teilfolge suchen.

Angabe einer Funktionsvorschrift Für viele, aber keineswegs alle Folgen kann man die Funktionsvorschrift

als eine geschlossene Gleichung angeben.

In den folgenden Beispielen legen wir Indizes aus der Menge zugrunde: Die Folge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, … Dieses Beispiel ist speziell, weil die Werte von Folgenglied und Index übereinstimmen. Die Funktionsvorschrift lautet einfach

Die Folge der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, … hat die Funktionsvorschrift

Die Folge der Zweierpotenzen 1, 2, 4, 8, …

Daran anknüpfende Aufgaben Das Problem, zu einer gegebenen Funktionsvorschrift die Anfangsglieder zu bestimmen, ist einfach lösbar. Man nimmt nacheinander die Werte , , usw., setzt sie jeweils in die Funktionsvorschrift ein und berechnet auf diese Weise die Folgenglieder , , usw. Zweck dieser Rechnung ist es, sich ein erstes Bild vom Verlauf einer Folge zu machen. Aber Achtung: Eine Folge kann für wirklich große Indizes einen ganz anderen Verlauf nehmen als nach den ersten zehn oder hundert Gliedern zu erwarten war. Beispiel: die Folge , die bis monoton zunimmt, dann aber wieder abnimmt, wie man durch Einsetzen höherer Zehnerpotenzen überprüfen kann.

Die Umkehraufgabe, zu gegebenen Anfangsgliedern eine Funktionsvorschrift zu bestimmen, ist dagegen deutlich schwieriger. Streng genommen kann es gar keine eindeutige Lösung geben, denn jeder Folgenanfang lässt sich wie oben beschrieben in verschiedener Weise fortsetzen. In der Praxis wird diese Aufgabe daher nur für Folgen gestellt, deren Glieder , , usw. in einigermaßen überschaubarer Weise vom Index abhängen. Im Einzelnen können folgende Eigenschaften überprüft werden: Ist die Folge alternierend? Wenn ja, bekommt man das richtige Vorzeichen durch einen Faktor in der Funktionsvorschrift. Beispiel: 0, −1, 2, −3, 4, … hat die Vorschrift . Sind die Folgenglieder Brüche? Wenn ja, konstruiere man unabhängig voneinander Funktionsvorschriften für Zähler und Nenner. Beispiel: 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, … hat die Vorschrift . Nehmen die Folgenglieder um konstante Differenzen zu (oder ab, mit )? Wenn ja, hat man eine arithmetische Folge . Beispiel: 1, 3, 5, 7, … hat die Vorschrift . Genügen die Differenzen zwischen aufeinander folgenden Gliedern einem einfacheren Bildungsgesetz als die Folgenglieder selbst? Wenn ja, kann man die Folge als eine Reihe auffassen (siehe dazu unten). Beispiel: Für 1, 3, 6, 10, 15, … lauten die Differenzen 1, 2, 3, 4, … Stehen aufeinander folgende Folgenglieder in einem konstanten Verhältnis zueinander? Wenn ja, hat man eine geometrische Folge . Beispiel: Die Folge 100; 80; 64; 51,2; … nimmt von Glied zu Glied um einen Faktor 0,8 ab; also lautet die Vorschrift .

Erschwert wird die Suche nach einer Funktionsvorschrift dadurch, dass die ersten ein oder zwei Folgenglieder (zu den Indizes 0 und 1) oft aus dem Rahmen zu fallen scheinen. Das liegt daran, dass ein Summand 0, ein Faktor 1 oder Exponent 0 oder 1 in aller Regel nicht ausgeschrieben, sondern sofort ausgerechnet werden. In der gekürzten Form 1, 1, 3/4, 1/2, … ist dem oben genannten Beispiel 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, … die Funktionsvorschrift schwer anzusehen.

Angabe als Reihe Eine Folge , deren -tes Glied die Summe der ersten Glieder einer anderen Folge ist, heißt eine Reihe:

Der mit Hilfe des Summenzeichens geschriebene Ausdruck ist also eine Abkürzung für den Ausdruck . Innerhalb und außerhalb des Summenzeichens sind unterschiedliche Indizes zu verwenden. Dass speziell und gewählt wurden, entspricht einer weit verbreiteten Konvention, ist aber nicht zwingend.

Um als konkreten Zahlenwert zu berechnen, muss ein konkreter Zahlenwert für den Index vorgegeben werden. Im Gegensatz dazu ist der Index kein (von außen) vorzugebender Wert, sondern durch die Summationsvorschrift selbst festgelegt. Welches auch immer gegeben ist, für den Laufindex müssen nacheinander die Werte 0, 1, …, eingesetzt und die Summe der zugehörigen , , …, berechnet werden.

Man kann jede Folge als eine Reihe auffassen, indem man aus den Differenzen aufeinander folgender Glieder eine zugehörige Folge

konstruiert. Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar. Die Zeitreihen der Wirtschaftswissenschaftler sind eigentlich Folgen. Viele Erklärungsmodelle modellieren aber nicht absolute Werte, sondern deren zeitliche Veränderungen, was für die Auffassung der absoluten Werte als Glieder einer Reihe spricht.

Konkreten Nutzen bringt die Deutung einer Folge als Reihe, wenn man die Summation für beliebige ausführen kann. Summationsformeln sind zum Beispiel bekannt für die arithmetische Reihe und die geometrische Reihe.

Die Deutung einer unendlichen Folge als Reihe erleichtert es zu bestimmen, ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert die Folge konvergiert. Für unendliche Reihen gibt es eigene Konvergenzkriterien. Umgekehrt kann man aus der Konvergenz einer Reihe (d. h., in obiger Schreibweise, der Konvergenz von ) immer darauf schließen, dass die Folge der Summanden (in obiger Schreibweise also die Folge ) gegen Null konvergiert.

Angabe einer Rekursion