Die Fourier-Analysis (Aussprache: ), die auch als Fourier-Analyse oder klassische harmonische Analyse bekannt ist, ist die Theorie der Fourierreihen und Fourier-Integrale. Sie wird vor allem verwendet, um zeitliche Signale in ihre Frequenzanteile zu zerlegen. Aus der Summe dieser Frequenzanteile lässt sich das Signal wieder rekonstruieren.
Ihre Ursprünge reichen in das 18. Jahrhundert zurück. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, der im Jahr 1822 in seiner Théorie analytique de la chaleur Fourier-Reihen untersuchte.
Die Fourier-Analysis ist in vielen Wissenschafts- und Technikzweigen von außerordentlicher praktischer Bedeutung. Die Anwendungen reichen von der Physik (Akustik, Optik, Gezeiten, Astrophysik) über viele Teilgebiete der Mathematik (Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie), die Signalverarbeitung und Kryptographie bis zu Meereskunde und Wirtschaftswissenschaften. Je nach Anwendungszweig erfährt die Zerlegung vielerlei Interpretationen. In der Akustik ist sie beispielsweise die Frequenz-Transformation des Schalls in Oberschwingungen.
Aus Sicht der abstrakten harmonischen Analyse sind sowohl die Fourier-Reihen und die Fourier-Integrale als auch die Laplace-Transformation, die Mellin-Transformation oder auch die Hadamard-Transformation Spezialfälle einer allgemeineren (Fourier-)Transformation.
Die Fourier-Analysis ist jedoch nicht auf zeitliche Signale begrenzt. Sie kann sinngemäß auch bei örtlichen oder anderen Phänomenen verwendet werden. Z. B.: In der Bildverarbeitung wird eine 2-dimensionale Fourier-Analyse verwendet (siehe den entsprechenden Absatz in „Diskrete Fourier-Transformation“). Und die Fourier-Analyse kann auch auf Fourier-Spektren selbst angewendet werden, um Periodizitäten in Spektren oder andere Regelmäßigkeiten zu erkennen (siehe: Cepstrum, Hilbert-Transformation).
Varianten der Fourier-Transformation mini|hochkant=1.6|Zusammenhang von Zeit- und Frequenzbereich bei den vier möglichen Varianten der Fourier-Analyse mit zeitdiskretem/zeitkontinuierlichem Verlauf und spektral diskretem bzw. kontinuierlichem Verlauf. Zeitdiskrete Folge bzw. diskretes Spektrum bedingt auf der gegenüberliegenden Seite ein Spiegelspektrum bzw. eine periodische Fortsetzung.
Die verschiedenen Begriffe in diesem Zusammenhang werden in der Literatur nicht einheitlich gebraucht und es existieren mehrere Namen für den gleichen Vorgang. So nutzt man Fourier-Transformation sehr oft als Synonym der kontinuierlichen Fourier-Transformation, und mit Fourier-Analyse wird oft die Zerlegung in eine Fourier-Reihe gemeint, manchmal aber auch die kontinuierliche Transformation.
Je nach den Eigenschaften der zu untersuchenden Funktion gibt es vier Varianten, wie in nebenstehender Abbildung dargestellt:
Eine in einem endlichen Intervall periodische fortgesetzte Funktion kann in eine Fourierreihe zerlegt werden. Das Spektrum ist somit diskret. Ein Vorgang, der aperiodisch bis ins Unendliche reicht, erfordert die kontinuierliche Fourier-Transformation (auch Fourier-Integral). Dabei wird ein kontinuierliches Zeitsignal in ein kontinuierliches Spektrum transformiert. Sind von einem Vorgang nur Werte an diskreten, äquidistanten Zeitpunkten in einem endlichen Intervall bekannt – durch diese Intervallbildung entsteht eine periodische Fortsetzung – wird die diskrete Fourier-Transformation (DFT) angewendet und ein diskretes Frequenzspektrum mit Spiegelspektren entsteht. Die DFT und deren Optimierungen in Form der schnellen Fourier-Transformation (FFT) spielen in der digitalen Signalverarbeitung eine bedeutende Rolle. Ein Beispiel für einen solchen Vorgang ist ein Musikstück, von welchem zur Speicherung auf einer herkömmlichen Audio-CD pro Sekunde 44.100 Amplitudenwerte des Audiosignals abgetastet werden. Mit der DFT verwandt ist die Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (, DTFT), welche ebenfalls von zeitlich diskreten Werten ausgeht, aber im Gegensatz zur DFT ein kontinuierliches Spektrum bildet. Sie ist damit für die Spektralanalyse auf Digitalcomputern nicht unmittelbar anwendbar, findet aber bei der theoretischen Analyse von Signalen im Spektrum Anwendung, da sich dabei das Spektrum statt in einer Folge unter Umständen als ein geschlossener mathematischer Ausdruck angeben lässt. (PDF; 783 kB), studentischer Seminarvortrag, Universität Koblenz-Landau, 2005.
Man erhält bei allen Transformationen ein Frequenzspektrum, das je nach Variante diskret (unendlich scharfe Linien) oder kontinuierlich ist:
Variante Definitionsmenge von x Periodizität von x Frequenzspektrum Fourier-Reihe kontinuierliches Intervall periodisch diskret Kontinuierliche Fourier-Transformation kontinuierlich aperiodisch kontinuierlich Diskrete Fourier-Transformation (DFT) diskret, endlich aperiodisch, periodisch fortgesetzt diskret, endlich Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (DTFT) diskret, endlich aperiodisch kontinuierlich
Fourierreihen
Jede stetig differenzierbare Funktion, die auf dem Intervall definiert ist, lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln, das heißt, beide Seiten der Transformation existieren. Mit der Grundfrequenz und den Kreisfrequenzen gilt:
.
Es können allgemeinere Typen von Funktionen in eine Fourier-Reihe entwickelt werden, so abschnittsweise stetige, beschränkte Funktionen oder allgemeiner messbare quadratintegrable Funktionen.
Sprungstellenverfahren für Polygonzüge
Bei einem periodischen Polygonzug (Punkte durch gerade Linien verbunden) liefern die Knick- und eventuell vorhandene Sprungstellen die Beiträge zu den Fourierkoeffizienten für . Mit diesen und dem Mittelwert einer Periode
lässt sich die Ausgangsfunktion als die harmonische Summe
synthetisieren. Die Abszissen der Stützwerte (bei Sprüngen: Stützwertpaare und ) müssen in derselben Periode liegen, aufsteigend geordnet sein und erfüllen.
Die Wertsprünge
an den Sprungstellen werden jeweils als Differenz ihres rechts- und linksseitigen Grenzwerts bzw. berechnet, die Ableitungssprünge
an den Knickstellen analog als Differenz der rechts- und linksseitigen ersten Ableitung.
Die Koeffizienten betragen das -fache der -Werte; bei dieser Eichung der Fourierkoeffizienten sind die Amplituden der Harmonischen gleich den Beträgen von .
Kontinuierliche Fourier-Transformation
Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist definiert durch .
Die Rücktransformation lautet dazu: .
In der Literatur findet man auch andere Definitionen, die als Vorfaktor statt nur oder 1 haben. Dies hängt von den jeweils verwendeten Normierungskonventionen ab. Die hier verwendete Variante hat den ästhetischen Vorteil, dass der Vorfaktor bei Hin- und Rücktransformation gleich ist. Außerdem vereinfacht sie die Darstellung des Satzes von Parseval:
. Diese Bedingung ist zum Beispiel in der Physik wichtig für die Energieerhaltung durch die Fourier-Transformation. Mathematisch gesehen bedeutet die Gleichung, dass die Fourier-Transformation eine unitäre Abbildung ist, was unter anderem in der Quantenmechanik fundamental ist.
Manchmal, zum Beispiel in der Signaltheorie, bevorzugt man die – ebenfalls energieerhaltende – Version der Fourier-Transformation, bei der die – auch Spektralfunktion genannte – Fourier-Transformierte von der Frequenz statt der Winkelgeschwindigkeit abhängt: . Die Beziehung zwischen beiden Arten der Fourier-Transformation wird durch vermittelt.
Die Rücktransformation lautet dann . Da hier über die Variable statt integriert wird, entfällt in dieser Darstellungsform der Vorfaktor.
Diskrete Fourier-Transformation
Es gibt keine Einschränkungen in der Anwendung der Transformation und der Entwicklungsformel. Sind positive Zahlen mit , und sind beliebige ganzzahlige Verschiebungen, so kann eine allgemeinere Variante der Transformationsformeln angegeben werden. Mit und gilt
und
Zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformation wird oft die schnelle Fourier-Transformation (FFT) verwendet, ein Algorithmus, bei dem die Anzahl der Rechenschritte zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten wesentlich kleiner ist als bei einer direkten Implementation der Integration.
Kurzzeit-Fourier-Transformation
Eine (in gewissem Sinn) zeitaufgelöste Variante der Fourier-Transformation ist die Kurzzeit-Fourier-Transformation.
Fourier-Synthese Alle Transformationen, die in der Fourier-Analysis betrachtet werden, haben die Eigenschaft, dass eine entsprechende inverse Transformation existiert. In den Ingenieurwissenschaften, der Physik und der numerischen Mathematik nennt man das Zerlegen einer Funktion in ihr Spektrum ebenfalls Fourier-Analyse. Der Begriff beschreibt also nicht nur dieses Teilgebiet der Funktionalanalysis, sondern auch den Prozess der Zerlegung einer Funktion. Das Darstellen der Ausgangsfunktion mit Hilfe des Spektrums aus der Fourier-Analyse wird als Fourier-Synthese bezeichnet. Da diese Begriffsbildung besonders in den angewandten Wissenschaften üblich ist, tritt diese auch eher im Zusammenhang mit der diskreten Fourier-Transformation und der schnellen Fourier-Transformation auf.
Anwendungen frame|rechts|Veranschaulichung der Fourier-Transformation aus dem Zeitbereich, dargestellt in rot, in den Frequenzbereich, dargestellt in blau. Aufgrund der Periodizität des Zeitsignals treten nur einzelne Spektralkomponenten im Frequenzbereich auf. Die Fouriertransformation besitzt vor allem in den Ingenieurwissenschaften, wie der Signalverarbeitung und in der Physik, bedeutende Anwendungsbereiche. (siehe auch Fourier-Transformation#Anwendungsfälle)
Einer der ersten Anwendungen der Fourier-Analysis waren Modelle zur Vorhersage der Gezeiten im 19. Jahrhundert. Die Gezeiten hängen von mehreren oszillierenden Phänomenen ab, wie der Rotation der Erde gegenüber Sonne und Mond, und eignen sich daher von Natur aus für eine Fourier-Analysis. Basierend auf diesen Modellen wurden Gezeitenrechenmaschinen entwickelt.
Je nach Anwendung werden auch spezielle Begriffe und Nomenklaturen verwendet:
Zeitbereich () Erfolgt die Analyse oder Darstellung in Abhängigkeit von der Zeit, so spricht man vom Zeitbereich. Beschreibt die veränderliche Variable eine Position im Raum (z. B. bei der digitalen Bildverarbeitung), so wird der Bereich auch als Ortsbereich oder Ortsraum bezeichnet.
Zeitsignal Unter einem Zeitsignal versteht man die Beschreibung des Signalverlaufs im Zeitbereich, d. h. als Funktion der Zeit. Man verwendet den Ausdruck Zeitsignal auch im Zusammenhang mit der Fourier-Transformation, wenn man sich ausdrücklich auf die Rücktransformierte bezieht. D. h. wenn klargestellt werden soll, dass sich die nun folgende Beschreibung nicht auf das Spektrum des Signals bezieht.
Frequenzbereich Als Frequenzbereich oder -raum () wird der Bildbereich nach erfolgter Transformation (z. B. durch Fourier- oder Laplace-Transformation) bezeichnet. Diese Bezeichnungen gehen auf Arbeiten aus Ende der 1940er Jahre am MIT Research Laboratory of Electronics zurück.
In technisch motivierten Anwendungen wird der Bezug zwischen dem Zeitbereich mit der Originalfunktion und dem Frequenzbereich mit der Bildfunktion auch mit folgender Symbolik dargestellt:
In der Physik stellt die Fouriertransformation in der Wellenmechanik die Verknüpfung zwischen Zeitbereich und Frequenzraum dar. Werden statt Zeitsignale Signale als Funktion des Ortes betrachtet, stellt die Fouriertransformation eine Verknüpfung zwischen dem Ortsraum und den im Frequenzraum vorhandenen Ortsfrequenzen bzw. Wellenzahlen dar. In mehreren Dimensionen werden die Wellenzahlen in Form von Wellenvektoren beschrieben. In der Kristallographie heißt der zum Ortsraum reziproke Frequenzraum reziproker Raum.