In der Mathematik ist eine Funktion () oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, -Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, -Wert) zuordnet. Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert, jedoch geht man generell von der Vorstellung aus, dass Funktionen mathematischen Objekten mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Transformationen, Operationen, Operatoren und vieles mehr.

Definition mini|Erklärvideo zu Funktionen

Grundidee Eine Funktion ordnet jedem Element einer Definitionsmenge genau ein Element einer Zielmenge zu.

Schreibweise: oder auch

Für das dem Element zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen . Man bezeichnet als den Funktionswert der Funktion an der Stelle , häufig sprachlich stark verkürzt zu von .

Anmerkungen: Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge kann genau einem, mehreren, aber auch keinem Element der Definitionsmenge zugeordnet sein, in letzterem Fall gehört es nicht zur Bildmenge.Beispiel: Die Betragsfunktion ordnet den Zahlen +1 und −1 der Definitionsmenge die Zahl +1 der Zielmenge zu. Der Zahl +1 der Zielmenge sind also zwei Zahlen der Definitionsmenge zugeordnet. Andererseits ist der Zahl −2 keine Zahl der Definitionsmenge zugeordnet. Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunächst eine Quellmenge gegeben. Wenn als Rechenvorschrift gegeben ist, erhält man die Definitionsmenge , indem man von diejenigen Elemente ausschließt, für die nicht definiert ist. Siehe auch den Abschnitt „Partielle Funktionen“.

Mengentheoretische Definition Mengentheoretisch ist eine Funktion eine spezielle Relation:

Eine Funktion von der Menge in die Menge ist eine Menge mit den folgenden Eigenschaften: ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts von und , d. h., ist eine Relation zwischen und . Für jedes Element aus existiert mindestens ein Element in , sodass das geordnete Paar Element der Relation ist. ist also linkstotal. Zu jedem Element von gibt es höchstens ein Element von , sodass das Paar in liegt. ist damit rechtseindeutig oder funktional.

Die letzten beiden Eigenschaften lassen sich auch wie folgt zusammenfassen: Zu jedem Element von gibt es genau ein Element von , sodass das Paar Element der Relation ist.

Manchmal möchte man alle möglichen Funktionen von beliebigen Mengen zu beliebigen Mengen in einer Klasse zusammenfassen. Um dann Aussagen über etwa Surjektivität zu treffen, muss der Kontext, also die Information, um welche und es sich handelt, von den Objekten selbst mitgebracht werden. Der jeweilige Definitionsbereich lässt sich aus den Graphen rekonstruieren, der Zielbereich nicht. Eine minimale Kodierung wäre dann: Ein Paar , bestehend aus einer Menge und einer Menge von Paaren mit einer weiteren Menge , heißt Funktion von der Menge nach , wenn gilt: Zu jedem Element von gibt es genau ein Element von (geschrieben ), sodass das Paar Element von ist.

wird dann auch der Graph der Funktion genannt. Die Definitionsmenge der Funktion ist dabei durch ihren Graphen eindeutig bestimmt und besteht aus den ersten Komponenten aller Elemente des Graphen. Stimmen zwei Funktionen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im Wesentlichen gleich. Insbesondere ist jede Funktion im Wesentlichen gleich mit der surjektiven Funktion mit der Bildmenge .

Findet man die Asymmetrie unschön, dass der Zielbereich angegeben wird, der Quellbereich aber nicht, definiert man die Objekte der Klasse als Tripel .

Notation

Schreibweisen Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden:

Funktionsgleichung mit Definitionsmenge

Eindeutige Zuordnungsvorschrift (englisch: maplet) mit Definitionsmenge

Eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitions- und Zielmenge oder äquivalent Familienschreibweise (mit der Bezeichnung Indexmenge für die Definitionsmenge) Seltener in Anlehnung an die Mengenschreibweise äquivalent . Wertetabelle (für endliche, aber auch abzählbar unendliche Definitionsmengen) {| cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:right; margin-left:2em;" |style="width:2ex; border-right:1px double black; border-bottom:1px solid black" | |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 1 |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 2 |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 3 |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 4 |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 5 |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 6 |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 7 |style="width:2ex; border-bottom:1px solid black" | … |- |style="border-right:1px double black;" | |style="border-right:1px solid black" | 1 |style="border-right:1px solid black" | 4 |style="border-right:1px solid black" | 9 |style="border-right:1px solid black" | 16 |style="border-right:1px solid black" | 25 |style="border-right:1px solid black" | 36 |style="border-right:1px solid black" | 49 | … |} Relation, insbesondere auch als beschrieben oder aufgezählt dargestellte Menge

Zuordnungsvorschrift mit Fallunterscheidung, z. B.

für . Ergebnis von Verknüpfungen und Operationen (zum Beispiel Komposition, Bildung der Umkehrfunktion, Ableitung u. Ä.), die auf andere Funktionen angewendet werden

Sprechweisen Für die Zuordnung eines Funktionswertes zu einem Argument gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- oder ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele: wird abgebildet auf von . von wird eindeutig zugeordnet (vornehmlich, wenn das -Symbol in der Symbolik steht). gleich von (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht). ist das Bild von unter der Abbildung .

Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise „ ist eine Funktion von “, die vor allem in der Physik sehr nahestehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen von einer anderen Variablen , im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen und (stellvertretend) die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird. Die „physikalische“ Sprechweise stammt von dem Vorgehen, zunächst zwei veränderlichen Größen (der physikalischen Realität) Symbole, nämlich die Variablen und , zuzuordnen und danach deren Abhängigkeit festzustellen. Steht beispielsweise für die Raumtemperatur und für die Zeit, so wird man feststellen können, dass sich die Raumtemperatur in Abhängigkeit von der Zeit ändert und somit „die Raumtemperatur eine Funktion der Zeit ist“ oder stellvertretend „ eine Funktion von ist“.

Statt Definitionsmenge wird auch Definitionsbereich, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt. Die Elemente von heißen Funktionsargumente, Funktionsstellen oder Urbilder, umgangssprachlich auch -Werte. Die Elemente der Zielmenge heißen Zielwerte oder Zielelemente, umgangssprachlich auch -Werte. Diejenigen Elemente von , die tatsächlich auch als Bild eines Arguments auftreten, heißen Funktionswerte, Bildelemente oder schlicht Bilder. Sie bilden die Wertemenge oder den Wertebereich, der oft nur eine echte Teilmenge von ist.

Darstellung Eine Funktion , , kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimensionales) Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Elementepaare , für die ist. Der Graph einer stetigen Funktion auf einem zusammenhängenden Intervall bildet eine zusammenhängende Kurve (genauer: Die Menge der Punkte der Kurve, aufgefasst als Unterraum des topologischen Raumes , ist zusammenhängend).

Analog kann man Funktionen , , und , , visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist stetig, so ergibt sich eine Kurve (die auch Ecken haben kann), die sich durch das Koordinatensystem „schlängelt“. Ist stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer „Gebirgslandschaft“.

Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionsprogramme gehören auch zum Funktionsumfang von Computeralgebrasystemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, GNU Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar. Es gibt auch browsergestützte Angebote.

Grundeigenschaften

Bild und Urbild

Das Bild eines Elements der Definitionsmenge ist einfach der Funktionswert . Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge , also

.

Das Bild einer Funktion ist folglich eine Teilmenge der Zielmenge und wird Bild- oder Wertemenge genannt. Ist allgemeiner eine Teilmenge von , dann ist

das Bild von unter der Funktion .

Das Urbild eines Elements der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild ist. Es ist

,

( ist im Allgemeinen keine eindeutige Funktion, sondern eine Multifunktion, zur Schreibweise siehe dort sowie bei Relation (Mathematik)#Relationen und Funktionen und Korrespondenz (Mathematik)).

Oft werden diese Fasern einfach mit bezeichnet, was aber im Fall (eindeutig) umkehrbarer Funktionen einerseits x, andererseits {x} bezeichnet.

Das Urbild einer Teilmenge der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist:

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild hat – d. h., wenn gilt: Aus folgt Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat – d. h., wenn gilt: Zu jedem gibt es ein , sodass Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, wenn also jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.

Stelligkeit

Eine Funktion , deren Definitionsmenge eine Produktmenge ist, heißt oft zweistellig. Den Wert von , der bei Anwendung von auf das Paar erhalten wird, schreibt man (unter Weglassung eines Klammernpaares) als .

Analoges gilt für höhere Stelligkeiten. Eine Funktion bezeichnet man üblicherweise als dreistellig. Eine Funktion, deren Definitionsmenge keine Produktmenge ist (oder bei der die innere Struktur der Definitionsmenge keine Rolle spielt), bezeichnet man als einstellig. Unter einer nullstelligen Funktion versteht man eine Funktion, deren Definitionsmenge das leere Produkt ist, bei einem beliebigen Funktionswert. Daher können nullstellige Funktionen als Konstanten aufgefasst werden, was bei algebraischen Strukturen (wie auch bei heterogenen Algebren) Anwendung findet.

Statt nullstellig, einstellig, zweistellig, dreistellig sagt man auch oft unär, binär, ternär; Stelligkeit wird daher auch als „Arität“ (englisch: arity) bezeichnet.

Menge der Funktionen Mit oder wird die Menge aller Abbildungen von nach bezeichnet:

Für die Mächtigkeit gilt .

Operationen

Einschränkung

Die Einschränkung einer Funktion auf eine Teilmenge der Definitionsmenge ist die Funktion , deren Graph durch

gegeben ist.

Umkehrfunktion

Zu jeder bijektiven Funktion gibt es eine Umkehrfunktion

,

sodass das eindeutig bestimmte Element ist, für das gilt. Die Umkehrfunktion erfüllt damit für alle

.