Im engeren Sinn bezeichnet Bruchrechnung das Rechnen mit gemeinen Brüchen (manchmal auch gewöhnlichen Brüchen) in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ (siehe unten). Bruchrechnung gehört damit zur Arithmetik, einem Teilgebiet der Mathematik.
In einem weiteren Sinn wird das Wort auch für das Rechnen mit rationalen Zahlen gebraucht, gleichgültig, in welcher Schreibweise sie vorliegen.
Eine wichtigere Erweiterung besteht in der Zulassung von Bruchtermen, das sind Ausdrücke, die formal wie gemeine Brüche gebildet werden, bei denen aber Zähler und Nenner Terme sein können, die Variablen enthalten. Für diese Bruchterme gelten die Bruchrechenregeln sinngemäß. Das Rechnen mit Bruchtermen gehört aber zur Algebra.
Die Regeln der Bruchrechnung beziehen sich auf die Grundrechenarten, also auf Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, sowie auf die Kehrwertbildung. Insbesondere bei Bruchtermen kommen auch Regeln für Potenzen und Wurzeln hinzu.
Außerdem gibt es eine Kürzungs- und Erweiterungsregel, die eine Besonderheit der Bruchrechnung sind. Sie beruht auf dem Unterschied zwischen Bruch und Bruchzahl, der im folgenden Abschnitt genauer dargestellt wird.
Die Bruchschreibweise, also die Schreibweise mit Bruchstrich, geht auf Leonardo von Pisa zurück, der sie 1228 einführte.Hans Wußing: Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1979, S. 325 Sie wird ganz allgemein in verschiedenen Bereichen der Mathematik, besonders in der Algebra, immer dann verwendet, wenn in der untersuchten Struktur die elementaren Bruchrechenregeln, insbesondere die Kürzungs- und Erweiterungsregel, gelten. Auch hier spricht man immer dann von „Bruchrechnung“, wenn diese Regeln angewendet werden.
Bruch und Bruchzahl mini
Die Bruchrechnung beruht darauf, dass sich das Ganze (die Eins aus dem Rechnen mit natürlichen Zahlen) unterteilen lässt. Einen Kuchen kann man zum Beispiel in vier Teile teilen. Wenn diese Teile gleich groß sind, so ist jedes Teil ein Viertel des Kuchens. Wenn, wie im Bild, eines der Viertel schon fehlt, so sind drei Viertel Kuchen dargestellt.
mini|links|Das Ganze wird in vier gleiche Teile geteilt; drei davon sind hier gemeint. Oder: Drei Ganze werden gemeinsam in vier gleiche Teile geteilt; eines dieser gleichen Teile ist gemeint.
Geschrieben wird dies gewöhnlich in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“: Die Zahl unter dem Bruchstrich – der sogenannte Nenner oder auch Teiler – gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde; die Zahl über dem Bruchstrich – der Zähler – gibt an, wie viele Teile davon in diesem Falle gemeint sind. So erhält man einen Bruch. Man kann diesen auch so deuten: Der Zähler gibt an, wie viele Ganze gemeinsam in so viele gleich große Teile zu teilen sind, wie der Nenner angibt. (Man legt drei Kuchen übereinander und teilt den Stapel in vier gleiche Teilstapel.)
Wird das Ganze (die Torte) stattdessen in acht Teile geteilt und werden davon sechs genommen, so ist das ein anderer Bruch: statt . Aber diese beiden Brüche stehen offenbar für die gleiche Menge Kuchen: Sie stehen für dieselbe Bruchzahl.
Gleichwertige Brüche mini|hochkant=2|Die gleichwertigen Brüche , und liegen auf dem Zahlenstrahl an derselben Stelle, nämlich , da ihre Quotienten aus Zähler und Nenner jeweils betragen. Für jede Bruchzahl gibt es viele (unendlich viele) verschiedene Darstellungen, verschiedene Brüche, die alle denselben Wert (dieselbe Größe) verkörpern, aber auf unterschiedliche Weise. Von einem Bruch zum anderen gelangt man durch Erweitern und Kürzen. Dadurch ändert sich der Wert einer Bruchzahl nicht, man erhält aber für diese Zahl verschiedene Darstellungsweisen: verschiedene Brüche. Diese werden als gleichwertige (oder auch äquivalente) Brüche bezeichnet und beschreiben denselben Anteil am Ganzen.Susanne Prediger, Christoph Selter, Stephan Hußmann, Marcus Nührenbörger: Gleichwertigkeit verstehen aus: Brüche, Prozente, Dezimalzahlen - Handreichungen für ein Diagnose- und Förderkonzept zur Sicherung mathematischer Basiskompetenzen, erschienen im Cornelsen Verlag (2014)
Demnach sind Brüche genau dann gleichwertig, wenn sie alternativ eine der folgenden Bedingungen erfüllen. Sie führen vollständig gekürzt zu demselben Bruch. Sie führen nach Erweiterung auf denselben Nenner zu demselben Bruch. Ihre Quotienten aus Zähler und Nenner ergeben jeweils dieselbe rationale Zahl, auch Bruchzahl genannt. Auf dem Zahlenstrahl liegen sie an derselben Stelle.Gunter Heim: Gleichwertige Brüche erkennen in: Rhetos Lern-Lexikon der Physik und der spekulativen Philosophie (2016)
Beispiele und beschreiben denselben Anteil am Ganzen, nämlich . und führen vollständig gekürzt zu demselben Bruch, nämlich . und führen nach Erweiterung auf den Nenner zu demselben Bruch, nämlich . und ergeben jeweils dieselbe rationale Zahl , wenn man ihre Quotienten aus Zähler und Nenner bildet. In diesem Falle handelt es sich um einen periodischen Dezimalbruch. , und liegen auf dem Zahlenstrahl an derselben Stelle, nämlich .
Definition und Bezeichnungen Brüche lassen sich zunächst in gemeine Brüche (auch gewöhnliche Brüche genannt) und Dezimalbrüche (= Dezimalzahl, umgangssprachlich: „Kommazahl“) einteilen, daneben gibt es noch die Darstellung als gemischter Bruch. Wenn man von einem Bruch spricht, meint man in der Regel einen gemeinen Bruch, das Rechnen mit Dezimalbrüchen wird meistens nicht als Bruchrechnung bezeichnet.
In der nachfolgenden Tabelle sind gebräuchliche Bezeichnungen für Brüche zusammengefasst, die in diesem Abschnitt erklärt werden. Die in der Tabelle weiter unten stehenden Begriffe fallen jeweils unter die darüberstehenden Oberbegriffe, zum Beispiel ist jeder Scheinbruch ein gemeiner Bruch, nebeneinanderstehende Begriffe müssen sich nicht ausschließen. Dabei ist zu beachten, dass es sich um Bezeichnungen für Zahlschreibweisen und nicht für die dargestellten Zahlen handelt. Eine bestimmte Zahl kann verschiedene Darstellungen haben, die jeweils mit unterschiedlichen Begriffen aus der Tabelle bezeichnet werden. So kann man zum Beispiel jeden unechten Bruch auch als gemischten Bruch schreiben.
Bruch gemeiner Bruch, gewöhnlicher Bruch gemischter Bruch Dezimalbruch echter Bruch, eigentlicher Bruch unechter Bruch, uneigentlicher Bruch Stammbruch Zweigbruch, abgeleiteter Bruch Scheinbruch, uneigentlicher Bruch unechter Bruch, der kein Scheinbruch ist
Weitere Formen, in denen Bruchzahlen dargestellt werden können (Kettenbruch, Prozent- und Promilleschreibweise, Binärbrüche usw.), werden in je eigenen Artikeln behandelt und in dieser Tabelle nicht aufgeführt.
Gemeine Brüche mini|Beschreibung eines gemeinen Bruches
Gemeine Brüche werden im Allgemeinen durch eine Übereinanderstellung von Zähler und Nenner, getrennt durch einen waagerechten Strich, dargestellt:
Zähler und Nenner eines Bruches sind ganze Zahlen. Dabei darf der Nenner nicht null sein, da eine Division durch Null nicht definiert ist.
Jeder Bruch kann nämlich auch als Divisionsaufgabe verstanden werden. Dabei ist der Zähler der Dividend, der Nenner der Divisor:
Das Entscheidende bei der Bruchrechnung ist, dass hier jede Division (außer durch null) möglich ist und ein einfach darstellbares Ergebnis hat, während ja im Bereich der ganzen Zahlen die Teilbarkeitsregeln gelten.
Üblicherweise werden für Zähler und Nenner natürliche Zahlen verwendet und ein eventuell vorhandenes negatives Vorzeichen wird vor den Bruch gesetzt, also beispielsweise statt oder . Sind Zähler und Nenner negativ, so bezeichnet das nach den Regeln der Division von ganzen Zahlen den positiven Bruch:
Bei einer Variante dieser Schreibweise, die oft verwendet wird, wenn gemeine Brüche in Texten vorkommen, werden Zähler, Bruchstrich und Nenner hintereinandergeschrieben und als Bruchstrich ein Schrägstrich verwendet,Amtliche Rechtschreibregeln vom 1. August 2006, §106, Canoonet zum Beispiel 1/2, 3/8. Bei der Schreibweise mit Schrägstrich an Stelle des waagrechten Bruchstrichs werden (vor allem) einstellige Zähler und Nenner manchmal verkleinert über bzw. unter den Schrägstrich geschrieben: 6/7. Zu diesem Zweck existieren in vielen Druckzeichensätzen Sonderzeichen, wie zum Beispiel ¾ oder ½.
Echte und unechte Brüche Wenn bei einem Bruch der Betrag des Zählers kleiner als der Betrag des Nenners ist, spricht man von einem echten oder eigentlichen Bruch (z. B. oder ), andernfalls von einem unechten oder uneigentlichen Bruch (z. B. oder ).
Echte Brüche sind also die, deren Betrag kleiner ist als ein Ganzes.
Stammbrüche und Zweigbrüche Ist der Zähler in einem gemeinen Bruch gleich 1 (z. B. oder ), spricht man von einem Stammbruch, ansonsten von einem abgeleiteten Bruch oder Zweigbruch.
Scheinbrüche Unechte Brüche, bei denen der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist (z. B. ), bezeichnet man als Scheinbrüche, da sie sich durch Kürzen in ganze Zahlen umwandeln lassen (im Beispiel in die Zahl 4). Insbesondere lässt sich jede ganze Zahl als Scheinbruch schreiben.
Gemischte Brüche Unechte Brüche, die keine Scheinbrüche sind, lassen sich immer als gemischte Brüche (auch: als gemischte Zahlen, in gemischter Schreibweise) darstellen.
Dabei wird zunächst der ganzzahlige Anteil, d. h. die zur Null hin gerundete Zahl, geschrieben und anschließend direkt danach der verbleibende Anteil als echter Bruch. Zum Beispiel statt oder statt .
Ein Problem der gemischten Schreibweise ist, dass sie als Produkt missverstanden werden kann:
So steht meist für und nicht für .
Schreibt man dagegen , so handelt es sich nicht um einen Bruch in gemischter Schreibweise, sondern (wegen der Variablen) um einen Term. Hier muss das weggelassene Rechenzeichen ein Malpunkt sein (andere Rechenzeichen dürfen in Termen nicht weggelassen werden). muss also als verstanden werden und niemals als .
Rechenregeln Praktisches Rechnen mit Brüchen Beim Rechnen mit Brüchen in den vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division werden jeweils zwei Brüche verknüpft, sodass eine dritte Zahl entsteht. Dies darf nicht verwechselt werden mit dem Umformen von Brüchen, wobei ein einziger Bruch eine neue Form erhält, ohne dass sein Wert sich ändert.
Das Umformen (die Formänderung) ist oft die Voraussetzung dafür, dass mit Brüchen gerechnet werden kann. Deshalb wird es hier zuerst behandelt.
Formänderung von Brüchen Umrechnen in eine Dezimalzahl Um einen Bruch in eine Kommazahl umzuwandeln, dividiert man einfach den Zähler durch den Nenner. ergibt 0,75 beziehungsweise 75 % vom Ganzen.
Erweitern und Kürzen mini|Erweitern und Kürzen der Brüche 2/3 und 10/15 Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruches mit derselben Zahl (ungleich 0) multipliziert (den Bruch erweitert) oder durch einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner teilt (den Bruch kürzt).
Beispiel: . Von links nach rechts gelesen wurde der Bruch erweitert, von rechts nach links gekürzt.
Gemischte Zahlen einrichten und Ganze abspalten mini|hochkant=2|Darstellung als unechter Bruch (links) und gemischter Bruch (rechts) Der Wert einer in gemischter Schreibweise dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man den ganzzahligen Anteil als Scheinbruch mit dem Nenner des Bruchteils schreibt und die verbliebenen Bruchanteile hinzuzählt. Umgekehrt kann man bei einem unechten Bruch die Bruchteile, die Ganze ergeben, abspalten und die verbleibenden als Bruch anfügen.
Beispiel: . Von links nach rechts gelesen wurden Ganze abgespalten, von rechts nach links wurde die gemischte Zahl eingerichtet.
Brüche gleichnamig machen