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Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehroperation der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Ein Dividend wird durch einen Divisor geteilt, das Resultat wird Quotient genannt. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Stift und Papier. Sie wird im Mathematikunterricht der Grundschule gelehrt. Als Rechenzeichen für die Division werden der Doppelpunkt (Rechnen mit Zahlen, in der Mathematik wird das Zeichen in anderer Bedeutung verwendet), das Obelus-Zeichen (Taschenrechner, Tastaturen), der Schrägstrich (häufig mit Hochstellung des Dividenden und Tiefstellung des Divisors wie in ½) und die Bruchstrich-Schreibweise verwendet (Vorzugsschreibweise bei komplexeren Ausdrücken, siehe auch Geteiltzeichen).
Definition Um die Division als die bekannte arithmetische Grundrechenart besprechen zu können, benötigt man eine mathematische Struktur, die zwei Verknüpfungen (Rechenoperationen) kennt, genannt Addition und Multiplikation. Die beiden Verknüpfungen interagieren miteinander nach den Regeln des mathematischen Ringes. Die Multiplikation definiert die Division als die ihr zugehörige Umkehroperation. Als zusätzliche Grundrechenart ist die Addition vorausgesetzt, denn sie definiert bspw. die Null (0) als das ihr zugehörige neutrale Element. Bemerkung Bei den aus der Schule bekannten mathematischen Strukturen der ganzen Zahlen , der rationalen Zahlen , der reellen Zahlen sowie der komplexen Zahlen handelt es sich um mathematische Ringe.
Teilen oder Dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl (dem bekannten Faktor) eine passende Zahl (den unbekannten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt ergibt: Finde zu gegebenem und ein , sodass .
Beschränkt man sich auf ganze Zahlen , so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit und Division mit Rest).
In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen oder in den Körpern der reelle Zahlen sowie der komplexen Zahlen , gilt dagegen:
Für jede Zahl und für jede von null verschiedene Zahl existiert genau eine Zahl , die die Gleichung erfüllt.
Die Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses . Man schreibt
(gelesen: gleich geteilt durch oder kurz gleich durch oder auch gleich dividiert durch ).
Dabei heißen:mini Die Zahl , die geteilt wird, Dividend (lateinisch „die zu Teilende“ (nämlich: Zahl)), in der Bruchrechnung auch Zähler. Die Zahl , durch die geteilt wird, Teiler oder Divisor (lateinisch „der, der teilt“), in der Bruchrechnung auch Nenner. Der Term Quotient. Das Ergebnis der Division Wert des Quotienten oder Quotientenwert, häufig kurz auch Quotient.
Merkhilfen: Dividend durch Divisor gleich Wert des Quotienten. Dividend : Divisor = Wert des Quotienten (Eselsbrücke: Dividend kommt im Alphabet vor Divisor)
Die Bruchzahlen können also als Paare von ganzen Zahlen aufgefasst werden.
Beim Kürzen wird ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner eines Bruches entfernt, wobei sich der Wert des Bruches nicht ändert, z. B. ist . Kürzt man mit dem größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, entsteht ein Bruch, der nicht weiter kürzbar ist.L. Engelmann (Hrsg.): Kleiner Leitfaden Mathematik, Paetec, Berlin 1997, ISBN 3-89517-150-6, S. 51/2 Zum Beispiel ist , also
Ein Bruch mit Zähler und Nenner , bei dem ist, ist nicht weiter kürzbar. Er wird voll gekürztSchüler-Duden: Die Mathematik I. Dudenverlag, Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich 1990, ISBN 3-411-04205-2, S. 48. oder auch vollständig oder maximal gekürzter Bruch genannt. Die Komponenten des Paares werden eindeutig durch die zusätzliche Festlegung des Vorzeichens des Nenners, also insgesamt durch die Maßgaben: und , . Eine derartige Wahl von Zähler und Nenner wird als Standarddarstellung des Bruches angesehen.
Die Umkehrung des Kürzens ist das Erweitern der Bruchzahl, also die Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben von 0 verschiedenen ganzen Zahl. Dabei wird der Wert der Bruchzahl genauso wenig geändert wie beim Kürzen.
Eigenschaften Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Allerdings lässt sie sich auf die Multiplikation zurückführen, denn es gilt .
Es kann also von Vorteil sein, die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert zu schreiben,Sie ist der Schreibweise mit Bruchstrich insbesondere im nicht-kommutativen Fall vorzuziehen, weil sie eine eindeutige Reihenfolge der Operationen vorgibt. da die Multiplikation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist und somit ein leichteres und weniger fehleranfälliges Umformen erlaubt. Für die Division gilt allerdings mit der Addition und der Subtraktion das zweite Distributivgesetz, das heißt und .
Man spricht hier auch von der Rechtsdistributivität der Division. Das erste Distributivgesetz (Linksdistributivität) ist jedoch mit der Addition und der Subtraktion im Allgemeinen nicht erfüllt.
Eine arithmetische Division durch null ist nicht möglich Beispiel Beispiel aus einer Konditorei: Wenn man einen Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viel vom Kuchen bekommt dann jede Person?
Es ist nicht möglich, die Frage zu beantworten, da niemand da ist, der den Kuchen bekommen könnte. Übersetzt man diese Frage in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen, wird aus der anschaulichen Frage „Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze?“ das rein mathematische Problem „Wie dividiere ich durch 0?“.
Mathematischer Beweis Sei ein Ring mit Nullelement . Bei der „Division durch null“ ist der bekannte Faktor (Divisor) , also wird gefragt: Gibt es zu einem Element eine Lösung der Gleichung ? Ist der Nullring, besteht also aus dem einzigen Element 0, dann hat die Gleichung die Lösung , denn es ist, weil es nichts anderes gibt, , und damit , wie gefordert. Überdies ist die einzige Lösung.
Im Folgenden ist generell angenommen, dass mindestens 2 verschiedene Elemente hat, was bspw. bei einem Körper definitionsgemäß der Fall ist.
Gesucht sind zu einem Ringelement Lösungen der Gleichung . 1. Fall: : Für ein Ringelement ist die Gleichung nicht in und auch nicht in einem Erweiterungsring . Denn, wie im Artikel Ring (Algebra) gezeigt, folgt aus den Ringaxiomen, maßgeblich dem Distributivgesetz: Das neutrale Element der Addition eines Ringes ist Annullator mit für jedes Ringelement . 2. Fall: : Obwohl die obige Gleichung im Fall jedes Ringelement zur Lösung hat, würde die Festlegung auf ein spezielles unter ihnen (das „Eindeutigmachen“ der Division) zu Problemen führen. Bei der Setzung bspw. wähle man ein Ringelement . (Das ist möglich, denn hat mindestens 2 Elemente.) Das Assoziativgesetz der Multiplikation ergäbe: , was der Wahl widerspräche.
Das bedeutet im Ergebnis, dass Mengen , die bei vorhandener Addition und Multiplikation eine „Division durch null“ in irgendeiner Form (Unendlich, Undefiniert, NaN oder sonst was aus ) kennen, weder Ringe (geschweige denn Körper) sein können, weil die Ringeigenschaften nicht für die Quotienten mit Divisor null – und damit nicht für alle Elemente aus – gelten.
Bemerkungen Hat der Ring Nullteiler, wie z. B. der Ring der Restklassen modulo 6 die Reste , dann lässt sich die Gleichung nicht für jedes lösen. Beispiel: hat keine Lösung in , weil den Rest nicht enthält. kann eine Gleichung mit mehrere Lösungen haben. Beispiel: hat die drei Lösungen . In der wissenschaftlichen mathematischen Literatur wird die Division durch null nur dann erwähnt, wenn diese selbst das Thema des Kapitels ist.Eine echte Grenzwertbildung, etwa nach Art der Regel von de L’Hospital, ist nicht als Division durch null anzusehen.Der Artikel Erweiterte reelle Zahl bringt zwei topologische Erweiterungen der reellen Zahlen, geht aber auch auf arithmetische Probleme ein.
Division durch null im Computer mini|alternativtext=Der Screenshot zeigt den Windows Rechner mit der Ausgabe "Teilen durch 0 nicht möglich"|Resultat der Eingabe von 2/0 im Windows Rechner – Teilung durch 0 nicht möglich Insbesondere beim spontanen Gebrauch eines Rechengerätes kann es vorkommen, dass durch null dividiert wird – genauer: dass null als (rechter) Operand des Divisionszeichens eingetippt wird. Das Ziel der Implementierungen ist dann, den Benutzer/Programmierer auf das Ereignis aufmerksam zu machen und ein (Zwischen-)Ergebnis abzuliefern, mit dem das aussichtsreichste Weiterrechnen erwartet werden kann.
Festkomma Eine Division durch null mit Festkommazahlen löst auf praktisch allen elektronischen Rechensystemen einen Laufzeitfehler (eine Ausnahme) vom Typ Division durch null (engl. zero-divide-exception) aus. Eine zugehörige Behandlung dieser Ausnahme wird für gewöhnlich von der Laufzeitumgebung der verwendeten Programmiersprache vorgegeben und geleistet, kann aber auch durch den Benutzer zusätzlich, bspw. durch eine catch-Anweisung, näher spezifiziert werden. In einigen Laufzeitumgebungen löst eine Division durch null undefiniertes Verhalten aus.
Da der Kernel (in Zusammenarbeit mit der Laufzeitumgebung der Programmiersprache) die fehlerbehandelnde Laufzeitumgebung zur Verfügung stellt, kann eine Division durch null im Kernel selbst ggf. den gesamten Rechner zum Absturz bringen.
Gleitkomma Geschieht bei einer Gleitkommaoperation ein „Überlauf“, d. h., das Ergebnis ist betragsmäßig zu groß, um dargestellt zu werden, wird es auf eine betragsmäßig sehr große Gleitkommazahl mit der Bedeutung „Unendlich“ bzw. „Minus Unendlich“ gesetzt.
Auch eine Gleitkommadivision durch null wird vielfach derart behandelt, so z. B. von der sehr verbreiteten Norm IEEE 754. Dabei wird zusätzlich ein Flag gesetzt, sodass die Programmierung einer Ausnahmebehandlung möglich ist. (Der Artikel Permanenzprinzip erörtert verschiedene Konzepte, wie unter geringstmöglichem Verzicht auf Rechenregeln – bspw. auf Ringaxiome und Ordnungsrelationen – eine „Division durch null“ definiert werden könnte.)
Ist 1 : 0 = ∞? mini|Graph der Funktion Einige Menschen meinen, dass die Lösung der Division durch null unendlich sein müsse, da erfahrungsgemäß der einzelne immer mehr bekommt, je weniger da sind, mit denen er sich etwas teilen muss. Aber Durch die Einführung eines „Wertes“ wird die Ringstruktur und ihre Arithmetik – wie oben gezeigt – aufgegeben. Weiterreichende Konsequenzen sind die nunmehr auftauchenden unbestimmten Ausdrücke, (zu denen die Ausdrücke vom Typ eigentlich schon gehören und) die allesamt einer Spezialbehandlung bedürfen. Durch die Methode der Grenzwertbildung kommt ein neues (über die Arithmetik hinausgehendes, nämlich ein topologisches) mathematisches Konzept zum Tragen, mit dem in einigen Fällen ein sinnvolles Ergebnis für eine nicht direkt berechenbare Aufgabe ermittelt werden kann. Wendet man aber diese Methode auf das Beispiel an, so strebt das Ergebnis tatsächlich gegen unendlich, allerdings nur, wenn man sich der Null von der positiven Seite aus nähert, also
Nähert man sich der Null hingegen aus Richtung der negativen Zahlen an, so strebt der Wert der Funktion gegen , also
Die beiden einseitigen Grenzwerte der reellen Funktion bei sind also verschieden, und so hat diese keinen Grenzwert für (in der reellen Analysis unterscheidet man und ). Wie das Beispiel zeigt, kommen zusätzliche Probleme betreffend die bei den Strukturen und wichtige Ordnungsrelation hinzu. Wenn man der Division unbedingt immer (auch der Division durch null) einen Wert zuweisen möchte, dann muss dieser auch die bei der Division sonst übliche Eindeutigkeit besitzen, eine Festlegung auf einen solchen ist bei jeder Wahl unbefriedigend und die Zuweisung einer Lösungsmenge ebenso.Eric Weisstein: Division by zero. Wolfram MathWorld
Resümee