mini|Werner Heisenberg und die Unschärferelation in originaler Form auf einer deutschen Briefmarke
Die Heisenbergsche Unschärferelation (auch Unbestimmtheitsrelation, seltener Unschärfeprinzip oder Unbestimmtheitsprinzip) ist eine Aussage der Quantenphysik, nach der zwei komplementäre Eigenschaften eines Quantensystems nicht gleichzeitig scharf definierte Werte haben können. Das bekannteste Beispiel für ein Paar solcher Eigenschaften sind Ort und Impuls desselben Teilchens oder Körpers. Genauer sagt die Unschärferelation aus, dass es für das Produkt der Unschärfen beider Größen eine universelle untere Grenze gibt, die durch die Planck-Konstante gegeben ist.
Die Unschärferelation ist nicht die Folge technisch behebbarer Unzulänglichkeiten der entsprechenden Messinstrumente, sondern prinzipieller Natur. Für kein Quantensystem lässt sich im Formalismus der Quantenmechanik ein Zustand angeben, in dem zwei komplementäre Größen scharf definierte Werte haben.
Die Unschärferelation kann als Ausdruck des Wellencharakters der Materie betrachtet werden. Sie wurde 1927 von Werner Heisenberg entdeckt und gilt als eine der Grundlagen der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik.Vgl. 1) S. 55 unten: „Der Wellencharakter der Materie … drückt sich unter anderem dadurch aus, dass im Bereich der Mikrophysik ein unmittelbarer Zusammenhang zwischen einer Orts- und Impulsbestimmung besteht. Dies äußert sich darin, dass Ort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig scharf bestimmt werden können. Das Maß der Unschärfe wird durch die heisenbergsche Unschärferelation gegeben.“ 2) S. 56 (Fußnote): „Auf der Suche nach der richtigen Beschreibung der atomaren Phänomene formulierte Heisenberg im Juli 1925 sein positivistisches Prinzip, dass nur ‚prinzipiell beobachtbare‘ Größen herangezogen werden dürfen … In enger Zusammenarbeit mit N. Bohr gelang es Heisenberg, den tieferen … physikalischen Hintergrund des neuen Formalismus zu zeigen. Die heisenbergsche Unschärferelation von 1927 wurde Grundlage der Kopenhagener Deutung der Quantentheorie.“
Auch für Messungen von Energie und Zeit fand Heisenberg 1927 eine Unschärferelation in ähnlicher Form, aber anderer Bedeutung, weil die Zeit in der Quantenmechanik als Parameter auftritt und keine messbare Eigenschaft eines Zustands ist. Daher wird die Energie-Zeit-Unschärferelation in einem eigenen Artikel gesondert dargestellt.
Quantenmechanik und klassische Physik Die Quantenmechanik ist eine der fundamentalen Theorien für die physikalische Beschreibung unserer Welt. Der konzeptionelle Aufbau dieser Theorie unterscheidet sich tiefgreifend von dem der klassischen Physik. Die Aussagen der Quantenmechanik sind Aussagen über Ergebnisse von Messungen. Diese sind in den meisten Fällen selbst bei genauest möglicher Kenntnis des Zustands des beobachteten Systems nur Wahrscheinlichkeitsaussagen. Bei wiederholten Messungen an einem Ensemble von gleichartigen Systemen im gleichen Zustand sagt die Quantenmechanik eine mehr oder minder breite Häufigkeitsverteilung der Messwerte vorher. Dieses Verhalten steht im Gegensatz zu den in der klassischen Physik durchweg üblichen genauen Vorhersagen einzelner Messwerte. Es kann auf der Grundlage des Welle-Teilchen-Dualismus beschrieben werden. Hat aber ein System bei einer Messung einen bestimmten Messwert gezeigt, so muss bei einer unmittelbar anschließenden Wiederholung der Messung derselbe Wert erscheinen. Das heißt, die erste Messung hat den Zustand so verändert, dass er nun zu einer solchen Wahrscheinlichkeitsverteilung führt, dass alle anderen Messwerte die Wahrscheinlichkeit Null haben, also verboten sind. Auch dies steht im Gegensatz zur klassischen Physik, wo eine ideale Messung das beobachtete System unverändert lässt.
Außer diesem prinzipiellen Unterschied ist bei Messungen an Quantensystemen zu beachten, dass jede Messung eine Wechselwirkung zwischen dem beobachteten System und dem Messapparat voraussetzt, die notwendig die Zustände von System und Apparat verändert. In der klassischen Physik wird vorausgesetzt, dass die Veränderung des Systems durch Wahl eines geeigneten Messapparats vernachlässigbar gering bleibt. Quantensysteme sind aber oft so klein, dass ihre Veränderung durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat wegen der Quantennatur der Welt nicht vernachlässigt werden kann.
Ursprüngliche Formulierung In seiner 1927 veröffentlichten Arbeit Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik analysiert Heisenberg die gleichzeitige Messung von Ort und Impuls eines Teilchens. Er fand heraus, dass die genaue Bestimmung des Ortes eines Teilchens im Allgemeinen zu einer unkontrollierbaren Beeinflussung (Störung) des Impulses des Teilchens führen muss. Wenn zum Beispiel der momentane Ort eines Elektrons durch optische Beobachtung (im einfachsten Fall: Sehen) bestimmt werden soll, so muss es beleuchtet werden, damit mindestens eins der einfallenden Lichtquanten in das Messinstrument (Auge, Mikroskop) abgelenkt wird.
Einerseits hat dabei die Unschärfe der Ortsbestimmung die Größenordnung der Wellenlänge des verwendeten Lichtes. Andererseits wirkt die Ablenkung des Lichtquants wie ein Stoß (Comptonstreuung), wodurch der Impuls des Teilchens sich um ein gewisses ändert, also eine entsprechende Unbestimmtheit zeigt. Als prinzipielle Untergrenze für diese Unbestimmtheiten schätzte Heisenberg mit Hilfe der De-Broglie-Beziehung ab, dass das Produkt von und nicht kleiner sein kann als die für die ganze Quantenphysik charakteristische Planck-Konstante . Diese fundamentale Grenze der Messbarkeit formulierte Heisenberg in der (symbolischen) AussageWerner Heisenberg: Physikalische Prinzipien der Quantentheorie. S. Hirzel Verlag, Leipzig 1930.
Der zunächst qualitative Charakter dieser Abschätzung rührt daher, dass die Aussage nur an einem Beispiel gewonnen wurde und die verwendete Notation für die Unbestimmtheiten nicht genau definiert war. Schon wenige Monate später konnte Earle Hesse Kennard mithilfe des quantenmechanischen Formalismus eine mathematische Ungleichung
streng beweisen (siehe weiter unten). Darin sind die Standardabweichungen der Orts- und Impulswerte, die in einem beliebigen quantenmechanischen Zustand eines Teilchens bei Messungen gefunden werden können.
Unschärferelation und Alltagserfahrung Warum diese charakteristischen Unbestimmtheiten weder im Alltag noch in der Forschung früher bemerkt worden waren, kann man verstehen, wenn man sich die Kleinheit des Planckschen Wirkungsquantums gegenüber den typisch erreichbaren Messgenauigkeiten für Ort und Impuls vergegenwärtigt. Dazu die folgenden Beispiele: Radarkontrolle im Straßenverkehr Der Ort des Fahrzeugs sei bei der Radarkontrolle bis auf genau bestimmbar, d. h., . Die Unbestimmtheit der Geschwindigkeit wird angenommen mit und die Masse mit . Daraus ergibt sich eine Impulsunschärfe von . Damit resultiert für das Produkt: . Die Einschränkung durch die Unschärferelation würde sich daher erst bei Steigerung der Genauigkeit um je 18 Dezimalstellen bei Ort und Geschwindigkeit bemerkbar machen. Es ist offensichtlich, dass das Radarsignal das Fahrzeug bei der Messung praktisch nicht beeinflusst. Staubkorn Bei einem extrem genau mikroskopierten Staubkorn von einer Masse und geringer Unschärfe sowohl der Ortsangabe als auch der Geschwindigkeit resultiert für das Produkt: . Die Einschränkung durch die Unschärferelation würde sich hier erst bei Steigerung der Genauigkeit bei Ortsangabe und Geschwindigkeit um je vier Dezimalstellen bemerkbar machen. Elektron im Atom Ein Atom hat einen Durchmesser von etwa einem Ångström. Bei einer kinetischen Energie eines darin gebundenen Elektrons von etwa ergibt sich für das Elektron eine Impulsunschärfe von etwa . Eine Ortsbestimmung mit der Ungenauigkeit von etwa 10 Atomdurchmessern, , ergibt für das Produkt , was noch im Bereich des prinzipiell Möglichen liegt. Für eine Ortsgenauigkeit in der Größenordnung des Atomdurchmessers mit hingegen gilt: . Dies steht aber in Widerspruch zur Unschärferelation, eine solche Genauigkeit der Beschreibung ist somit prinzipiell unmöglich.
Aussagen Unter dem Begriff des Unschärfe- oder auch Unbestimmtheitsprinzips werden die folgenden Aussagen zusammengefasst, die zwar miteinander verwandt sind, jedoch physikalisch unterschiedliche Bedeutung haben. Sie sind hier beispielhaft für das Paar Ort und Impuls notiert. Es ist nicht möglich, ein Quantensystem in einem Zustand zu präparieren, bei dem der Ort und der Impuls beliebig genau definiert sind. Es ist prinzipiell unmöglich, den Ort und den Impuls eines Teilchens gleichzeitig beliebig genau zu messen. Die Messung des Impulses eines Teilchens ist zwangsläufig mit einer Störung seines Ortes verbunden, und umgekehrt. Jede dieser drei Aussagen lässt sich quantitativ durch die Unschärferelation ausdrücken, die eine untere Grenze für das Produkt der minimal erreichbaren Unschärfen angibt.
Auch zwischen Paaren anderer physikalischer Größen gelten Unschärferelationen, wenn der Kommutator der den Größen zugeordneten quantenmechanischen Operatoren nicht null ist. Beispielsweise wurde experimentell nachgewiesen, dass eine entsprechende Relation zwischen Winkelstellung und Drehimpuls gilt.Sonja Franke-Arnold et al.: Uncertainty Principle for angular position and angular momentum, in: New Journal of Physics Vol. 6 (2004) S. 103, .
Ungleichungen Bei der Formulierung von Unbestimmtheitsrelationen im Rahmen der Quantenmechanik gibt es verschiedene Vorgehensweisen, die sich auf jeweils unterschiedliche Arten von Messprozessen beziehen. Abhängig von dem jeweils zugrunde gelegten Messprozess ergeben sich dann entsprechende mathematische Aussagen.
Streuungsrelationen Bei der populärsten Variante von Unschärferelationen wird die Unschärfe des Ortes x und des Impulses p jeweils durch deren statistische Streuung, ausgedrückt durch die Standardabweichung σx und σp definiert. Die Unschärferelation besagt in diesem Fall
wobei gilt und die Kreiszahl ist.
Im Rahmen des Formalismus der Quantenmechanik ergeben sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Orts- und Impulsmessungen und damit die Standardabweichungen aus den zugehörigen Wellenfunktionen ψ(x) und φ(p). Die Streuungs-Ungleichung folgt dann aus dem Umstand, dass diese Wellenfunktionen bezüglich Ort und Impuls über eine Fourier-Transformation miteinander verknüpft sind. Die Fourier-Transformierte eines räumlich begrenzten Wellenpakets ist wieder ein Wellenpaket, wobei das Produkt der Paketbreiten einer Beziehung gehorcht, die der obigen Ungleichung entspricht.
Zustände minimaler Unschärfe werden dabei solche Wellenfunktionen ψ(x) und φ(p) genannt, für die sich das Gleichheitszeichen der Ungleichung ergibt. Heisenberg und Earle Hesse Kennard haben gezeigt, dass diese Eigenschaft für gaußförmige Wellenfunktionen erreicht wird. Man beachte dabei, dass die Standardabweichung einer gaußschen Wahrscheinlichkeitsdichte nicht unmittelbar ihre Gesamtbreite angibt, denn z. B. ist der Wertebereich, in dem sich ein Einzelwert mit 95 % Wahrscheinlichkeit befindet, schon etwa viermal so groß.
Simultane Messung und das Beispiel der Beugung am Einfachspalt mini|Schematische Darstellung der Beugung am Spalt. Die Genauigkeit Δx der Ortspräparation entspricht exakt der Breite des Spaltes.