mini|Darstellung des funktionalen Zusammenhangs zwischen der exzentrischen und der mittleren Anomalie als Maß für die Zeit gemäß der Kepler-Gleichung für verschiedene Werte der numerischen Exzentrizität .
Die Kepler-Gleichung beschreibt in der Astronomie den Zusammenhang zwischen der exzentrischen Anomalie und der mittleren Anomalie , die in der Gleichung die Zeit repräsentiert.
Johannes Kepler hat die Gleichung aus seinen beobachtungsbasierten keplerschen Gesetzen hergeleitet. Sie lautet für elliptischen Bahnen mit der numerischen Exzentrizität .
Die mittlere Anomalie ist dabei eine Winkelgröße, welche eine normalisierte Zeit repräsentiert und über die Gleichung
mit der Zeit (Passage der Periapsis bei ) und der Periodendauer eines Umlaufs verknüpft ist.T. P. Wihler und H. R. Schneebeli: Von den Keplergesetzen zur Keplergleichung und zum Planetenort, 2. Geometrie der Planetenbewegung: Keplergleichung. «… benutzte Kepler eine normalisierte Zeit, die mittlere Anomalie». Die exzentrische Anomalie ist eine Zwischengröße zur Berechnung der wahren Anomalie , die die Winkelkoordinate eines Himmelskörpers bezogen auf den Brennpunkt mit dem Zentralkörper und die Hauptachse der Bahnellipse ist.
Zwischen exzentrischer Anomalie und wahrer Anomalie besteht der ZusammenhangSiegfried Wetzel: Deutsche Gesellschaft für Chronometrie, Mitteilungen Nr. 111, Herbst 2007, Anhang 3.
.
mini|Geometrische Darstellung der Variablen aus der Kepler-Gleichung und ihrer Zusammenhänge. Die geometrische Bedeutung dieser beiden Winkelkoordinaten ist in der nebenstehenden Grafik dargestellt. Dabei ist: die Position des Himmelskörpers auf der elliptischen Umlaufbahn mit dem Perihel in um den Zentralkörper . die wahre Anomalie. Diese gibt den Winkel an, den der Himmelskörper aus Sicht des Zentralkörpers relativ zum Perihel einnimmt. die exzentrische Anomalie, von Kepler als Exzentrische bezeichnet. Sie bemisst den Winkel zwischen der Periapsislinie und der Radiuslinie des Umkreises, der die Projektion von auf den Umkreis parallel zur kleinen Ellipsenachse schneidet.
Geometrische Begründung der Kepler-Gleichung Zur Begründung der Kepler-Gleichung berechnet man die vom Fahrstrahl überstrichene Fläche und verwendet das zweite Keplersche Gesetz.
Die Fläche innerhalb des Winkels (wahre Anomalie) und der Ellipse ist die Differenz des Ellipsensektors und des Dreiecks mit den Eckpunkten S, Z und P.
Eine Ellipse mit den Halbachsen und kann man als einen gestauchten Umkreis auffassen (Affinität), bei dem die Strecken parallel zur kleinen Halbachse um den Faktor verkürzt sind. Flächen sind ebenfalls um diesen Faktor verkleinert. Der Kreissektor mit dem Winkel hat die Fläche . Gestaucht um den Faktor ergibt sich der Ellipsensektor. Das Dreieck mit den Eckpunkten S, Z und P' hat die Basislänge und die Höhe . Gestaucht um den Faktor ergibt sich das Dreieck mit den Eckpunkten S, Z und P und der Höhe .
Somit ist die Differenzfläche als Funktion von : .
Nach dem zweiten keplerschen Gesetz werden in gleichen Zeitabschnitten gleich große Flächen überstrichen. Dies lässt sich auch damit formulieren, dass die Fläche zur Zeit proportional ist und linear zunimmt ().
Die Differenzfläche , die mit der zur wahren Anomalie gehörenden Teilfläche der Ellipse identisch ist, lautet als Funktion der Zeit : . Dabei ist die volle Ellipsenfläche, die nach der Umlaufzeit überstrichen ist. Gleichsetzen von und liefert die Beziehung zwischen der exzentrischen Anomalie und der Zeit :
und nach Kürzen ergibt sich die Kepler-Gleichung ,
wobei man die linke Seite als mittlere Anomalie oder "normierte Zeit" bezeichnet.
Das zweite keplersche Gesetz, das newtonsche Gravitationsgesetz und die Drehimpulserhaltung
Die Keplergleichung beruht auf dem zweiten keplerschen Gesetz, welches von im gleichen Kontext (Zweikörperproblem) angewendeten newtonschen Gravitationsgesetz bestätigt wird: Die zwischen den beiden Körpern wirkende Gravitationskraft ist demnach zum gegenseitigen Abstand mit proportional.
Diese physikalische Aussage deckt sich also mit dem für eine elliptische Bahn (erstes keplersches Gesetz) durch Beobachtungen gefundenen Flächensatz (zweites keplersche Gesetz): Die von einem Fahrstrahl in gleichen Zeitdifferenzen überstrichenen Flächen sind gleich groß, wenn der zur Gravitationskraft proportionale, in einer dieser Zeitdifferenzen zurückgelegte Bahnbogen im umgekehren Verhältnis zum Quadrat des Abstandes steht.
Das zweite keplersche Gesetz war die erste Formulierung des Gesetzes, das wir heute als Drehimpulserhaltung kennen:Jens Eisert (Freie Universität Berlin): Drehimpuls, die keplerschen Gesetze und der Virialsatz, S. 10. Das zweite Keplersche Gesetz «… ist also nichts anderes als die Drehimpulserhaltung in einer besonderen Formulierung, …» Wenn keine äußeren Kräfte wirken, bleibt der Drehimpuls in einem physikalischen System unverändert, unabhängig von Änderungen der Wechselwirkung innerhalb. Wird nämlich der Abstand eines Planeten von seinem Zentralkörper und damit sein Trägheitsmoment größer/kleiner, so verkleinert/vergrößert sich entsprechend seine Umlaufgeschwindigkeit .
Lösungs-Methoden der Keplergleichung Die Kepler-Gleichung ist nicht in geschlossener Form nach der exzentrischen Anomalie auflösbar. Beispiele dafür, wie mit ihr aus der mittleren Anomalie ermittelt werden kann:
<li> ist eine ungerade, mit periodische Funktion in . Als solche lässt sie sich in eine Fourierreihe entwickeln, die für alle und konvergiert, und zwar ist
mit als Bessel-Funktion erster Gattung -ter Ordnung.J.-L. Lagrange, Sur le problème de Kepler, in Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin, vol. 25, 1771, Seiten 204–233
<li>Eine Nullstelle der Funktion
ist eine Lösung der Keplergleichung. Die Nullstelle kann etwa mit dem Newton-Verfahren wie folgt numerisch berechnet werden:
Für die meisten elliptischen Bahnen ist der Anfangswert geeignet. Für Exzentrizitäten kann genommen werden.
<li>Ein stabileres, aber langsamer konvergierendes Verfahren beruht auf dem banachschen Fixpunktsatz:§ II.6.67 Numerische Verfahren. Guthmann, S. 128 f.
<li>Für kleine Exzentrizität kann auch folgendermaßen approximiert werden:§ II.6.66 Reihenentwicklung der exzentrischen Anomalie. Guthmann, S. 125 ff.
Der Fehler ist hierbei von der Größenordnung . Bei der Erde und ihrer Exzentrizität liegt der Fehler für begrenzte Zeiträume hinter der 5. Kommastelle.
<li>Eine Auflösung für nach Art der Lagrangeschen Inversionsformel ist die Maclaurin-Reihe in
die für linear konvergiert. Ist also , dann konvergiert sie für linear.Die Koeffizienten der Zähler-Polynome in sind in der festgehalten.
Rechnen mit der Kepler-Gleichung
Mittlere Anomalie >>> wahre Anomalie
Für einen Himmelskörper auf einer Keplerbahn soll für den Zeitpunkt beziehungsweise für die zugehörige mittlere Anomalie der Ort beziehungsweise die wahre Anomalie ermittelt werden:
Mit Hilfe der Kepler-Gleichung wird aus der mittleren Anomalie zuerst die exzentrische Anomalie ermittelt (siehe oben). Aus Letzterer folgt die wahre Anomalie nach einer der folgenden Beziehungen:
oder
Hier ist die lineare Exzentrizität der Bahnellipse. Zum Auflösen nach ist jeweils eine Unterscheidung der Fälle und nötig.
Anmerkung: Der Nenner der zweiten Formel gibt gerade den Abstand des Himmelsobjekts zum Brennpunkt an:
Wahre Anomalie >>> mittlere Anomalie
Für einen Himmelskörper auf einer Keplerbahn mit der wahren Anomalie soll die mittlere Anomalie bzw. der zugehörende Zeitpunkt bestimmt werden. Es handelt sich um die zur obigen umgekehrte Rechenarbeit.
Ausgehend von ergibt sich zuerst die exzentrische Anomalie zu
Der Lageparameter-Index bei gibt denjenigen Wert des Arkustangens zurück, der diesem () am nächsten liegt (siehe Arkustangens mit Lageparameter).
Die Kepler-Gleichung liefert die zugehörige mittlere Anomalie
Aus der linearen Gleichung für folgt schließlich der Zeitpunkt :
Beispiel zu wahre Anomalie >>> Zeitpunkt Passagezeiten der vier Erdbahnellipsen-Scheitel: Die für die Erde gültigen Bahnelemente sind unter mittlere Kepler-Elemente angegeben. Die im Verweisartikel verwendete Zeit ist in Julianischen Jahrhunderten gerechnet. Hier wird in Tagen gemessen, sodass die linearen Koeffizienten der Zeit durch 36525 zu teilen sind, um und zu erhalten. Die sehr langsame Änderung der numerischen Exzentrizität wird allerdings vernachlässigt (). Der Nullpunkt der Zeit – und damit auch von – ist der 1. Januar 2000, 12:00 UT. Die wahre Anomalie bei Perihelpassage der Erde im Jahr 2000 ist gleich 360° (nicht null!), im Jahr 2001 gleich 720° usw.
+ Passagezeiten der vier Erdbahnellipsen-Scheitel Perihel 2000 Frühlings-Nebenscheitel Aphel Herbst-Nebenscheitel Perihel 2001Wahre Anomalie 360450540630720Zeit 2,51191,883185,140278,398367,770Zeitabstand 89,37293,25893,25889,372
Der Abstand zwischen den mittleren Perihelpassagen (anomalistisches Jahr) beträgt . Die so berechneten mittleren Perihelzeiten können sich um mehrere Tage vom realen (vor allem mondgestörten) Wert unterscheiden.
Wahre Anomalie >>> Bahnradius
Mit der wahren Anomalie wird die Richtung eines Himmelskörpers auf seiner Keplerbahn für den Zeitpunkt angegeben. Die zugehörende Entfernung – der Bahnradius – ist wie folgt berechenbar:
Wahre Anomalie >>> Bahngeschwindigkeit Die zeitliche Änderung der wahren Anomalie entspricht der Winkelgeschwindigkeit in Bezug auf das Gravizentrum. Die Normalkomponente der Geschwindigkeit folgt also direkt aus , wobei der Bahnradius ist.
Die Radialgeschwindigkeit ist die Änderung des Bahnradius mit der Zeit . Für die Bahngeschwindigkeit oder Orbitalgeschwindigkeit folgt dann
Einfacher lässt sich die Bahngeschwindigkeit über den Hodograph aus dem Flächensatz ableiten:§ II.5.58 Der Hodograph. Guthmann, S. 114 f.
spezifischer Drehimpuls als zentrale Kenngröße der Bewegung
Halbparameter als kennzeichnendes Bahnelement
große Halbachse kleine Halbachse mit Gravitationskonstante und Masse des Zentralkörpers
Daraus folgen die Minimal- und Maximalgeschwindigkeit im Apozentrum und Perizentrum einer Ellipsenbahn:
.
Weitere Zusammenhänge
Zwischen der wahren Anomalie der exzentrischen Anomalie und der mittleren Anomalie bestehen noch zahlreiche weitere Zusammenhänge,Aufgaben zu § II.5. Guthmann, S. 122 f. die in der langen Geschichte der Himmelsmechanik entwickelt wurden. Insbesondere lässt sich die wahre Anomalie – ohne Umweg über die Keplergleichung – direkt aus einer speziellen Differenzialgleichung in errechnen,10. und 11. Aufgabe zu § II.5. Guthmann, S. 123. was für numerische Näherungsverfahren von Interesse ist.
Insbesondere kann auch hier die wahre Anomalie durch die mittlere Anomalie für kleine Exzentrizitäten genähert werden, es ergibt sich die nützliche Näherung
Die Differenz − heißt Mittelpunktsgleichung.
Anwendung der Kepler-Gleichung bei der Zeitgleichung
Die Zeitgleichung wird im vorliegenden Artikel dennoch ausführlicher behandelt, weil ihre Berechnung mit der im Hauptartikel nicht in allen Teilen identisch, sondern eine Variante davon ist. Dort wird von den Bahnelementen der Sonne ausgegangen, die ab dem 1. Januar 2000 12:00 UTC auf den Tag der zu berechnenden Zeitgleichung hochzurechnen sind. Hier werden für den 1. Januar für bis zum Jahr 2025 vorausbestimmte sogenannte solare Basiswerte benutzt.Solare Basiswerte und hier verwendete Formelzeichen sind dem Sonnenuhren-Handbuch der Deutschen Gesellschaft für Chronometrie e. V., Fachkreis Sonnenuhren entnommen: 2006, S. 43–49. Die Hochrechnung bis zu einem Kalendertag im laufenden Jahr ist entsprechend kürzer. Hier wird direkt mit der Keplergleichung gearbeitet, dort mit der von dieser abgeleiteten Mittelpunktsgleichung, was die Rechnung dort verkürzt.