Unter einer Äquivalenzrelation versteht man in der Mathematik eine zweistellige Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Äquivalenzrelationen sind für die Mathematik und für die Logik von großer Bedeutung. Eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in disjunkte (elementfremde) Untermengen, Äquivalenzklassen genannt. Die Klassenbildung mit Hilfe des Äquivalenzbegriffes ist grundlegend für viele mathematische Begriffsbildungen.

Definitionen Äquivalenz In der Mathematik werden Objekte, die sich in einem bestimmten Zusammenhang gleichen, als gleichwertig bzw. äquivalent angesehen.

Ein solcher Zusammenhang lässt sich für alle Elemente einer Menge stets durch eine Funktion herstellen, indem man genau dann zwei Elemente als zueinander „äquivalent“ bezeichnet und diese Relation durch symbolisiert, wenn deren Bilder gleich sind: .

Diese Relation hat die folgenden drei Eigenschaften: Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent:   . Wenn äquivalent zu ist, dann ist auch äquivalent zu :   . Wenn äquivalent zu und äquivalent zu ist, dann ist auch äquivalent zu :   und .

Äquivalenzrelation mini|hochkant=2|Menge von acht Buchexemplaren mit eingezeichneter Äquivalenzrelation „ und besitzen dieselbe ISBN“ als Pfeildiagramm Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine zweistellige Relation , die folgende Bedingungen erfüllt:

Reflexivität für alle .

Symmetrie für alle .

Transitivität und für alle .

Wie bei zweistelligen Relationen üblich, schreibt man statt auch einfacher , dann nehmen diese Eigenschaften die oben genannte Form an.

Das geordnete Paar nennt man in diesem Fall auch Setoid oder E-set (englische Bezeichnung: extensional set, auch Bishop set).

Äquivalenzklassen mini|hochkant=2|Menge von acht Buchexemplaren mit eingezeichneter Äquivalenzrelation „ und besitzen dieselbe ISBN“ als Pfeildiagramm und den Äquivalenzklassen Ist eine Äquivalenzrelation auf einer Menge (Klasse) , so nennt man die Teilmenge (bzw. Teilklasse) , aller zu äquivalenten Elemente, die -Äquivalenzklasse von .

Ist aus dem Kontext klar, dass Äquivalenzklassen bezüglich gebildet werden, lässt man den Zusatz weg: , andere Schreibweisen sind sowie .

Repräsentantensysteme

Elemente einer Äquivalenzklasse werden ihre Vertreter oder Repräsentanten genannt. Jedes Element von ist in genau einer Äquivalenzklasse enthalten. Die Äquivalenzklassen zu je zwei Elementen sind entweder gleich oder disjunkt. Ersteres genau dann, wenn die Elemente äquivalent sind: .

Eine Teilmenge nennt man ein (vollständiges) Vertreter- oder Repräsentantensystem von , wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein gibt mit .

Für jede Äquivalenzrelation auf einer Menge lässt sich zu jedem Repräsentantensystem von eine Funktion definieren, indem man für alle setzt.

Quotientenmenge und Partition

Die Faktor- oder Quotientenmenge einer Äquivalenzrelation auf der Menge ist die Menge aller Äquivalenzklassen: . Sie bildet eine Zerlegung oder Partition von .

Ist umgekehrt eine Partition von , dann ist durch

eine Äquivalenzrelation gegeben.

Die Mächtigkeit (Kardinalität) wird manchmal auch als der Index der Äquivalenzrelation bezeichnet. Ein Spezialfall ist der Index einer Untergruppe.

Quotientenabbildung Die surjektive Funktion , die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet, heißt kanonische Abbildung oder Quotientenabbildung.

Diese Abbildung ist nur dann injektiv, wenn es sich bei der Äquivalenzrelation auf um die Identitätsrelation handelt.

Kern einer Funktion Man nennt die durch die Funktion gegebene Äquivalenzrelation auch den Kern von Man unterscheide den Begriff des Kerns einer Menge: Kern als Bild eines Kernoperators. . bezeichnet hier die Verkettung von Relationen. Insbesondere ist die Äquivalenzklasse von jedem das Urbild von dessen Bild : .

lässt sich dann wie folgt in eine surjektive, eine bijektive sowie eine injektive Funktion zerlegen:

mit und der Inklusionsabbildung .

Unabhängigkeit der drei Eigenschaften Tatsächlich sind die Eigenschaften der Reflexivität, der Symmetrie und der Transitivität vollständig unabhängig voneinander und müssen alle einzeln überprüft werden. So ist zum Beispiel eine reflexive und symmetrische Relation nicht etwa automatisch schon transitiv. Um das nachzuweisen, genügt es, für jeden der acht möglichen Fälle ein Beispiel anzugeben, was im Folgenden mit Relationen auf der Menge der natürlichen Zahlen geschieht.

Keine der drei Eigenschaften ist erfüllt Weder reflexiv noch symmetrisch noch transitiv:   ( ist um 1 größer als ).

Ein weiteres Beispiel hierfür ist die Beziehung „ist ein Bruder von“ auf der Menge aller Menschen. Sie ist weder reflexiv (weil niemand sein eigener Bruder ist) noch symmetrisch (weil die Schwester eines Mannes nicht sein Bruder ist, obwohl er ein Bruder von ihr ist) noch transitiv (weil ein Mann kein Bruder seiner selbst ist, obwohl er – wenn er einen Bruder hat – ein Bruder seines Bruders ist und dieser ein Bruder von ihm ist).

Genau eine der drei Eigenschaften ist erfüllt Reflexiv, aber weder symmetrisch noch transitiv:   ( ist höchstens um 1 größer als ).

Symmetrisch, aber weder reflexiv noch transitiv:   ( und sind benachbart).

Transitiv, aber weder reflexiv noch symmetrisch:   ( ist kleiner als ).

Genau zwei der drei Eigenschaften sind erfüllt Symmetrisch und transitiv (partielle Äquivalenzrelation), aber nicht reflexiv:   ( ist gleich und nicht 1).

Reflexiv und transitiv (Quasiordnung), aber nicht symmetrisch:   ( ist kleiner oder gleich ).

Reflexiv und symmetrisch (Toleranzrelation), aber nicht transitiv:   ( und sind gleich oder benachbart).

Alle drei Eigenschaften sind erfüllt Reflexiv, symmetrisch und transitiv: .

Beispiele Nutztiere in einem landwirtschaftlichen Betrieb Ein anschauliches Beispiel aus der Landwirtschaft soll die eingeführten Begriffe verdeutlichen. Betrachtet wird eine Menge von Nutztieren in einem landwirtschaftlichen Betrieb. Wir definieren die folgende zweistellige Relation auf : Für je zwei Nutztiere und aus soll genau dann gelten, wenn und Tiere derselben Art sind. Für die Kuh und den Ochsen gilt immer . Für das Huhn dagegen gilt dies aber nicht: . Die Relation erfüllt die drei Forderungen für Äquivalenzrelationen:

Reflexivität Jedes Tier ist von derselben Art wie es selbst (im Sinne von: Jedes Tier gehört einer Art an).

Symmetrie Ist ein Tier von derselben Art wie ein zweites, dann ist das zweite auch von derselben Art wie das erste.

Transitivität Wenn und Tiere derselben Art sind und ebenso und von derselben Art sind, dann sind auch und von derselben Art (nämlich von der Art, zu der dann jedes der drei Tiere gehört).

Eine Äquivalenzklasse besteht hier aus den Tieren einer Art. Die Rinder bilden eine und die Hühner eine andere Äquivalenzklasse. Die Quotientenmenge ist die Menge der Tierarten des landwirtschaftlichen Betriebes.

Identitätsrelation Auf einer beliebigen Menge seien zwei Elemente äquivalent, wenn sie gleich sind. Diese durch den Graphen der identischen Abbildung auf gegebene Äquivalenzrelation nennt man die Gleichheits- oder Identitätsrelation .

Es gilt: Die Äquivalenzklasse eines Elementes ist die einelementige Menge . Die Quotientenmenge ist die Menge der einelementigen Teilmengen von . Die Abbildung ist bijektiv. Für die Verkettung mit beliebigen Relationen auf gilt:   (neutrales Element).

Allrelation Auf einer Menge seien nun jeweils zwei beliebige Elemente äquivalent. Auch dadurch ist eine Äquivalenzrelation auf gegeben, die sogenannte All- oder Universalrelation .

Es gilt: Die Äquivalenzklasse jedes Elementes ist die ganze Menge . Die Quotientenmenge ist die einelementige Menge . Die Abbildung ist konstant. Für die Verkettung mit beliebigen reflexiven Relationen auf gilt:   (absorbierendes Element).

Ähnlichkeit und Kongruenz geometrischer Figuren Zwei geometrische Figuren und in der euklidischen Ebene sind genau dann einander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung ineinander überführt werden können. Durch die Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation und sind einander ähnlich auf der Menge aller Figuren der Ebene gegeben.

Darüber hinaus sind und genau dann kongruent, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung, also eine längentreue Ähnlichkeitsabbildung, ineinander überführt werden können. Auch durch und sind kongruent ist eine Äquivalenzrelation auf gegeben.

Partition einer endlichen Zahlenmenge Wir definieren zunächst sechs Mengen von natürlichen Zahlen von 1 bis 23: , , , , , . Sie haben die Eigenschaft, dass jede Zahl aus dem Bereich von 1 bis 23 in genau einer der sechs Mengen vorkommt, die damit eine Zerlegung oder Partition der Menge bilden. Wie jede Partition von sind sie die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation auf , nämlich .

Die Mengen wurden durch Würfeln ermittelt, also willkürlich aus den rund 44 Billiarden Partitionen – und damit ebenso vielen Äquivalenzrelationen – dieser 23-elementigen Menge ausgewählt. Äquivalente Zahlen nach dieser Relation weisen keine einfach beschreibbaren Gemeinsamkeiten auf. Äquivalenzklasse eines Elementes ist diejenige Menge , die enthält. Die Quotientenmenge ist die sechselementige Menge .

Rationale Zahlen Es sei die Menge der Paare ganzer Zahlen, deren zweiter Eintrag von Null verschieden ist. Für zwei Paare soll folgende Äquivalenz gelten: .

Die Äquivalenzklasse des Paares ist dann der Bruch oder (totale) Quotient . Mit der Quotientenmenge erhält man gerade die Menge der rationalen Zahlen .

Kommensurabilität reeller Zahlen Zwei reelle Zahlen und heißen kommensurabel, wenn sie ganzzahlige Vielfache einer geeigneten dritten reellen Zahl sind. Kommensurabilität ist eine Äquivalenzrelation, wenn man die Null gesondert betrachtet:

mit als der multiplikativen Gruppe von .

Äquivalenzklasse einer reellen Zahl ist die Menge der mit kommensurablen Zahlen, die für abzählbar unendlich ist. Die Quotientenmenge ist überabzählbar. Anders als bei anderen ähnlich einfachen Äquivalenzrelationen bietet sich hier jedoch kein Repräsentantensystem an. Die Multiplikation ist mit verträglich, denn ist und , dann folgt z. B. aus Die reelle Addition ist jedoch nicht mit verträglich, denn z. B. ist , aber also

Hilbertraum der L2-integrierbaren Funktionen Sei eine Sigma-Algebra auf einer Menge und ein vollständiges Maß. Es kann leicht gezeigt werden, dass für messbare Funktionen die Abbildung

eine positiv semidefinite Bilinearform darstellt, falls

gilt.

Der Grund dafür, dass im Allgemeinen keine strikte positive Definitheit gilt, liegt darin, dass für ein auch gelten kann, ohne dass die Nullfunktion ist – nämlich genau dann, wenn (d. h. wenn nur auf einer Menge ungleich 0 ist, welche eine darstellt).

Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung .

Dann ist zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein Skalarprodukt und damit eine Norm. Somit handelt es sich bei um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem Satz von Fischer-Riesz, dass dieser Raum vollständig ist, sodass er ein Banachraum und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt induziert wird) ein Hilbertraum ist. Dieser findet seine Anwendung z. B. in der Quantenmechanik, aber auch beim Erwartungswert.

Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer -Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich.

Topologische Äquivalenz von Metriken sei ein metrischer Raum und offen in die zu gehörende Topologie. Ist eine weitere Metrik auf und deren zugehörige Topologie, dann heißen und topologisch äquivalent, wenn und übereinstimmen: .

Erzeugung von Äquivalenzrelationen