Eine Lie-Gruppe (auch Lie’sche Gruppe), benannt nach Sophus Lie,Zuerst von dessen Doktoranden Arthur Tresse in seiner Dissertation 1893, Acta Mathematica ist eine mathematische Struktur. Formal handelt es sich bei einer Lie-Gruppe um eine Gruppe, die auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, sodass die Gruppenverknüpfung und Inversenbildung kompatibel mit der glatten Struktur sind, das bedeutet, und sind glatte Funktionen.
Lie-Gruppen werden zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien verwendet.Grob gesprochen ist eine Lie-Gruppe eine Gruppe, die ein Kontinuum bzw. ein stetig zusammenhängendes Ganzes bildet. Ein einfaches Beispiel für eine Lie-Gruppe ist die Gesamtheit aller Drehungen einer Ebene um einen fest ausgezeichneten Punkt, der in dieser Ebene liegt: Alle diese Drehungen bilden zusammen eine Gruppe, aber auch ein Kontinuum in dem Sinne, dass sich jede dieser Drehungen eindeutig durch einen Winkel zwischen 0° und 360° Grad bzw. ein Bogenmaß zwischen 0 und 2π beschreiben lässt, und in dem Sinne, dass Drehungen, die sich nur um kleine Winkel voneinander unterscheiden, kontinuierlich ineinander überführbar sind. Ein Kreis, der in der betrachteten Ebene liegt und den fest ausgezeichneten Punkt als seinen Mittelpunkt besitzt, ist dann aus Sicht dieser Lie-Gruppe als symmetrisch zu bezeichnen, da er unter jeder Drehung unverändert bleibt. Hingegen ist ein Rechteck, dessen Mittelpunkt mit dem festgelegten Punkt übereinstimmt, aus Sicht der vorliegenden Lie-Gruppe nicht symmetrisch. Mit der angegebenen Lie-Gruppe lassen sich also Figuren der Ebene beschreiben, die eine „Drehsymmetrie“ aufweisen.
Lie-Gruppen und Lie-Algebren wurden um 1870 von Sophus Lie in der Lie-Theorie zur Untersuchung von Symmetrien in Differentialgleichungen eingeführt. Unabhängig von Lie entwickelte Wilhelm Killing ähnliche Ideen zum Studium nichteuklidischer Geometrien. Die älteren Bezeichnungen stetige Gruppe oder kontinuierliche Gruppe für eine Lie-Gruppe beschreiben besser das, was man heute unter einer topologischen Gruppe versteht. Jede Lie-Gruppe ist auch eine topologische Gruppe.
Dieser Artikel behandelt (der üblichen Terminologie folgend) endlichdimensionale Lie-Gruppen. Es gibt auch eine Theorie unendlichdimensionaler Lie-Gruppen, beispielsweise Banach-Lie-Gruppen.
Lie-Gruppen sind in fast allen Teilen der heutigen Mathematik sowie in der theoretischen Physik, vor allem der Teilchenphysik, wichtige Werkzeuge.
Erste Beispiele mini|Der Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 1 in der komplexen Zahlenebene ist eine Lie-Gruppe mit komplexer Multiplikation.
Die Menge der komplexen Zahlen ungleich 0 bildet mit der gewöhnlichen Multiplikation eine Gruppe . Die Multiplikation ist eine differenzierbare Abbildung definiert durch . Auch die durch definierte Inversion ist differenzierbar. Die Gruppenstruktur der komplexen Ebene (bzgl. Multiplikation) ist also „mit der Differentialrechnung verträglich“. Dasselbe würde auch für die Gruppe mit der Addition als Verknüpfung gelten: Dort ist und .
Der Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene, d. h. die Menge der komplexen Zahlen vom Betrag 1, ist eine Untergruppe von , die sogenannte Kreisgruppe: Das Produkt zweier Zahlen vom Betrag 1 hat wieder Betrag 1, ebenso das Inverse. Auch hier hat man eine „mit der Differentialrechnung verträgliche Gruppenstruktur“, d. h. eine Lie-Gruppe.
Andererseits bildet die Menge
der Drehmatrizen (Drehungen im ) eine Gruppe; die Multiplikation ist definiert durch
und die Inversion durch .
Wenn man die Menge der -Matrizen auf naheliegende Weise mit dem identifiziert, dann ist eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit und man kann überprüfen, dass Multiplikation und Inversion differenzierbar sind, ist also eine Lie-Gruppe.
Es stellt sich heraus, dass es sich bei und um „dieselbe“ Lie-Gruppe handelt, d. h., dass die beiden Lie-Gruppen isomorph sind. Man kann nämlich eine Abbildung definieren, indem man auf die komplexe Zahl abbildet, welche auf dem Einheitskreis liegt. Dies ist ein Gruppen-Homomorphismus, denn
Man kann nachprüfen, dass dieser Gruppen-Homomorphismus und seine Umkehrabbildung differenzierbar sind. ist also ein Lie-Gruppen-Isomorphismus. Aus Sicht der Lie-Gruppen-Theorie sind die Gruppe der Drehmatrizen und der Einheitskreis dieselbe Gruppe.
Eine wichtige Motivation der Lie-Gruppen-Theorie besteht darin, dass man für Lie-Gruppen eine Lie-Algebra definieren kann und sich viele gruppentheoretische oder auch differentialgeometrische Probleme auf das entsprechende Problem in der Lie-Algebra zurückführen und dort lösen lassen („lineare Algebra ist einfacher als Gruppentheorie“). Zur Definition der Lie-Algebra benötigt man die Differenzierbarkeit und die Verträglichkeit der Gruppenoperationen mit dieser.
Für die ist die Lie-Algebra die imaginäre Achse mit der trivialen Lie-Klammer. Die Trivialität der Lie-Klammer rührt in diesem Fall daher, dass eine abelsche Lie-Gruppe ist. Die Lie-Algebra der ist
mit der trivialen Lie-Klammer und man sieht leicht, dass diese beiden Lie-Algebren isomorph sind. (Allgemein entsprechen isomorphen Lie-Gruppen stets isomorphe Lie-Algebren.)
Definitionen Lie-Gruppe Eine Lie-Gruppe ist eine glatte reelle Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung
und die Inversion
beliebig oft differenzierbar sind. Die Dimension der Lie-Gruppe ist die Dimension der unterliegenden Mannigfaltigkeit. Die unterliegende Mannigfaltigkeit einer Lie-Gruppe trägt sogar eine reell-analytische Struktur und die Gruppenmultiplikation und Inversion sind automatisch (reell-)analytische Funktionen.
Eine komplexe Lie-Gruppe ist eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion komplex differenzierbar sind.
Lie-Algebra der Lie-Gruppe Zu jeder Lie-Gruppe können wir eine Lie-Algebra assoziieren, diese besteht aus einem Vektorraum zusammen mit den Lie-Klammern . Als Vektorraum nehmen wir hierfür den Tangentialraum der Lie-Gruppe im neutralen Element . Um die Lie-Klammern zu definieren, brauchen wir zuerst die -Operation.
Adjungierte Darstellung und Herleitung der Lie-Klammern
Betrachte die Konjugation:
und die Gruppenaktion der Lie-Gruppe auf sich selber:
Sei nun der Differentialoperator an der Stelle . Die -Operation ist nun definiert als die Ableitung von an der Stelle :
Da das neutrale Element invariant unter ist, das bedeutet , ist eine Operation des Tangentialraumes des neutralen Elementes in sich selber:
Folglich erhalten wir die Darstellung definiert durch
Nun definieren wir die Ableitung von :
Die Lie-Klammern sind dann definiert durch
Weiteres Die Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit bilden mit der Lie-Klammer eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra. Die zu einer Lie-Gruppe gehörende Lie-Algebra besteht aus dem Unterraum der links-invarianten Vektorfelder auf . Dieser Vektorraum ist isomorph zum Tangentialraum am neutralen Element von . Insbesondere gilt also . Bezüglich der Lie-Klammer ist der Vektorraum abgeschlossen. Somit ist der Tangentialraum einer Lie-Gruppe am neutralen Element eine Lie-Algebra. Diese Lie-Algebra nennt man die Lie-Algebra der Lie-Gruppe .
Zu jeder Lie-Gruppe mit Lie-Algebra gibt es eine Exponentialabbildung . Diese Exponentialabbildung kann man definieren durch , wobei der Fluss des links-invarianten Vektorfelds und das neutrale Element ist. Falls eine abgeschlossene Untergruppe der oder ist, so ist die so definierte Exponentialabbildung identisch mit der Matrixexponentialfunktion.
Jedes Skalarprodukt auf definiert eine -links-invariante Riemannsche Metrik auf . Im Spezialfall, dass diese Metrik zusätzlich auch rechtsinvariant ist, stimmt die Exponentialabbildung der Riemannschen Mannigfaltigkeit am Punkt mit der Lie-Gruppen-Exponentialabbildung überein.
Den Zusammenhang zwischen der Multiplikation in der Lie-Gruppe und der Lie-Klammer in ihrer Lie-Algebra stellt die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel her:
Lie-Gruppen-Homomorphismus Ein Homomorphismus von Lie-Gruppen ist ein Gruppenhomomorphismus , der zugleich eine glatte Abbildung ist. Man kann zeigen, dass dies bereits dann der Fall ist, wenn stetig ist, und dass dann sogar analytisch sein muss.
Zu jedem Lie-Gruppen-Homomorphismus bekommt man durch Differentiation im neutralen Element einen Lie-Algebren-Homomorphismus . Es gilt
für alle . Falls und einfach zusammenhängend sind, entspricht jeder Lie-Algebren-Homomorphismus eindeutig einem Lie-Gruppen-Homomorphismus.
Ein Isomorphismus von Lie-Gruppen ist ein bijektiver Lie-Gruppen-Homomorphismus.
Lie-Untergruppe Sei eine Lie-Gruppe. Eine Lie-Untergruppe ist eine Untergruppe von zusammen mit einer Topologie und einer glatten Struktur, die diese Untergruppe wieder zu einer Lie-Gruppe macht.
Lie-Untergruppen sind also im Allgemeinen keine eingebetteten Untermannigfaltigkeiten, sondern nur injektiv immersierte Untermannigfaltigkeiten. Ist jedoch eine eingebettete topologische Untergruppe mit der Struktur einer eingebetteten Untermannigfaltigkeit, dann ist auch eine Lie-Gruppe.
Beispiele Typische Beispiele sind die allgemeine lineare Gruppe , also die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung, sowie deren abgeschlossene Untergruppen, zum Beispiel die Kreisgruppe oder die Gruppe SO(3) aller Drehungen im dreidimensionalen Raum. Weitere Beispiele für Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe sind die Orthogonale Gruppe und die spezielle orthogonale Gruppe , siehe dazu die Behandlung als Lie-Gruppe Allgemeine komplex-lineare Gruppe , die zur abgeschlossenen Untergruppe mit isomorph ist Unitäre Gruppe Spezielle unitäre Gruppe Spezielle lineare Gruppe bzw. Die Affine Gruppe und als Untergruppe die Euklidische Gruppe Poincaré-Gruppe Galilei-Gruppe Der Euklidische Raum mit der Vektoraddition als Gruppenoperation ist eine einigermaßen triviale reelle Lie-Gruppe ( als -dimensionale Mannigfaltigkeit im ).
Für abgeschlossene Untergruppen kann man die Lie-Algebra definieren als und dies ist äquivalent zu obiger Definition. Hierbei bezeichnet das Matrixexponential. In diesem Fall stimmt die Exponentialabbildung mit dem Matrixexponential überein.
Nicht jede Lie-Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer allgemeinen linearen Gruppe. Ein Beispiel hierfür ist die universelle Überlagerung von SL(2,R).
Frühgeschichte Gemäß den maßgebenden Quellen über die Frühgeschichte der Lie-GruppenHawkins, 2000, S. 1 betrachtete Sophus Lie selbst den Winter 1873–1874 als Geburtsdatum seiner Theorie der stetigen Gruppen. Hawkins schlägt jedoch vor, dass es „Lies erstaunliche Forschungsaktivität während der vierjährigen Periode von Herbst 1869 bis Herbst 1873“ war, die zur Schaffung jener Theorie führte. Viele von Lies frühen Ideen wurden in enger Zusammenarbeit mit Felix Klein entwickelt. Lie sah Klein von Oktober 1869 bis 1872 täglich: in Berlin von Ende Oktober 1869 bis Ende Februar 1870 und in Paris, Göttingen und Erlangen in den folgenden zwei Jahren.Hawkins, 2000, S. 2 Lie gibt an, dass alle Hauptresultate im Jahr 1884 erzielt worden seien. Jedoch wurden während der 1870er alle seine Abhandlungen (bis auf die allererste Mitteilung) in norwegischen Fachzeitschriften veröffentlicht, was eine Wahrnehmung im Rest Europas verhinderte.Hawkins, 2000, S. 76 Im Jahr 1884 arbeitete der junge deutsche Mathematiker Friedrich Engel zusammen mit Lie an einer systematischen Abhandlung über dessen Theorie der stetigen Gruppen. Aus diesen Bemühungen ging das dreibändige Werk Theorie der Transformationsgruppen hervor, dessen Bände in den Jahren 1888, 1890 und 1893 veröffentlicht wurden.