Die Quotientenregel ist eine grundlegende Ableitungsregel. Mit ihr wird die Ableitung eines Quotienten von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Kurzschreibweise lautet sie .

Aussage Sind die Funktionen und von einem Intervall in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle mit differenzierbar, dann ist auch die Funktion mit

an der Stelle differenzierbar und es gilt

.

Beispiele Die Funktion ist Quotient der Funktionen und , welche differenzierbar sind mit und . Für erhält man durch Anwendung der Quotientenregel . Die Ableitung des Tangens kann bestimmt werden, wenn die Ableitung von Sinus und Kosinus bekannt ist. Aus der Beziehung folgt für alle mit der Quotientenregel .

Herleitung Wenn um anwächst, ändert sich um und um . Die Änderung des Quotienten beträgt damit

, oder, indem man den Hauptnenner bildet,

Dividiert man noch durch , so erhält man den Differenzenquotienten von als

Bildet man nun den Grenzübergang , so erhält man schließlich die Ableitung

Beweise

Anhand des Differenzenquotienten Ist an differenzierbar, so ist dort insbesondere stetig. Unter der Voraussetzung gibt es deshalb eine Umgebung von , in der überall ist. In dieser Umgebung ist der Differenzenquotient

von wohldefiniert. Addition und Subtraktion des Terms im Zähler des rechts stehenden Bruchs und elementare Termumformungen liefern die äquivalente Darstellung

. Beim Grenzübergang strebt der Differenzenquotient von gegen , der Differenzenquotient von gegen und gegen .

Mithilfe der Produkt- und Kehrwertregel Für gilt nach der Produktregel . Mit der Kehrwertregel

folgt hieraus .

Siehe auch Kehrwertregel Produktregel Faktorregel Summenregel Kettenregel Umkehrregel

Literatur Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Einführungsbuch zur Differentialrechnung erläutert. Einige Beispiele sind:

Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 235–236. Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 129 Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 270–271 ()

Weblinks Quotientenregel auf Wikibooks

Einzelnachweise

Kategorie:Analysis