mini|hochkant=1.7|Lagrange-Punkte L1 bis L5 in einem System aus Zentralgestirn (gelb) und Planet (blau): L4 läuft dem Planeten voraus, L5 hinterher. mini|hochkant=1.7|Äquipotentiallinien des Schwerefeldes im mitrotierenden Bezugssystem als Gummimatten-Modell in violett eingezeichnet. Schnitt in der Umlaufebene, Massenverhältnis 1:10, damit sich L1 und L2 deutlich absetzen.Z. F. Seidov: The Roche Problem: Some Analytics. In: The Astrophysical Journal. 603:283-284, 1. März 2004.
Die Lagrange-Punkte oder Librationspunkte (von „Waage“ und librare „das Gleichgewicht halten“) sind fünf Punkte im System zweier Himmelskörper (beispielsweise eines Sterns und eines ihn umkreisenden Planeten), an denen ein leichter Körper (etwa ein Asteroid oder eine Raumsonde) antriebslos den massereicheren Himmelskörper umkreisen kann, wobei er dieselbe Umlaufzeit wie der masseärmere Himmelskörper hat und sich seine Position relativ zu diesen beiden nicht ändert. Im Falle eines künstlichen Körpers ist dieser dann ein Satellit um den massereicheren Himmelskörper, aber kein Satellit um den masseärmeren Himmelskörper.
Mathematisch betrachtet sind die Lagrange-Punkte die Gleichgewichtspunkte des eingeschränkten Dreikörperproblems (zwei der Körper auf Kreisbahnen, vernachlässigbare Masse des dritten). Das allgemeine Dreikörperproblem der Himmelsmechanik ist nur numerisch näherungsweise lösbar, nicht aber analytisch. Für das eingeschränkte Problem fanden Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange analytisch fünf stationäre Lösungen: In den nach Lagrange L1 bis L5 (auch L1 bis L5) genannten Punkten können dritte Körper kräftefrei ruhen. Es handelt sich um Nullstellen des Schwerefeldes in jenem rotierenden Bezugssystem, in dem auch die beiden schweren Himmelskörper (z. B. Sonne und Planet) ruhen. Das heißt, die Gravitationskräfte der beiden Körper auf den Probekörper werden gerade von der Zentrifugalkraft (die durch die Rotation des Bezugssystems entsteht) aufgehoben. In einem nichtrotierenden Bezugssystem laufen die Lagrange-Punkte synchron mit den beiden Himmelskörpern auf Kreisbahnen um den gemeinsamen Schwerpunkt.
Die Punkte L1 bis L3 sind in Tangentialrichtung stabil und in Radialrichtung instabil und damit insgesamt instabil. L4 und L5 sind dagegen Ljapunow-stabil: Befindet sich der Probekörper in einer Umgebung um den Lagrange-Punkt, so bleibt er auf einer geschlossenen Bahn in dieser Umgebung. Entscheidendes Element ist die außerhalb dieser Umgebung vernachlässigbare Corioliskraft.
Schreibweise In Lehrbüchern und den meisten wissenschaftlichen Artikeln wird die Schreibweise verwendet, da es sich um Lösungen mathematischer Gleichungen handelt. In der Raumfahrtliteratur, in astronomischen Datenbanken und in populärwissenschaftlichen Darstellungen wird hingegen die vereinfachte Schreibweise verwendet. Auch neuere wissenschaftliche Artikel verwenden teils die vereinfachte Schreibweise.
Lage der Lagrange-Punkte Alle fünf Lagrange-Punkte liegen in der Bahnebene der beiden schweren Körper. Drei liegen auf der Verbindungslinie der beiden Körper, der vierte und der fünfte bilden (bis auf relativistische Korrekturen) mit den beiden Körpern jeweils die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks.
Der innere Lagrange-Punkt L1 befindet sich zwischen den beiden betrachteten Körpern auf ihrer Verbindungslinie.
Der äußere Lagrange-Punkt L2 befindet sich hinter dem kleineren der beiden großen Körper auf ihrer Verbindungslinie.
Der Lagrange-Punkt L3 befindet sich (von dem kleineren Körper aus gesehen) hinter dem größeren Körper auf ihrer Verbindungslinie etwas außerhalb der Umlaufbahn des kleineren der beiden Körper.
Die Lagrange-Punkte L4 und L5 befinden sich jeweils am dritten Punkt zweier gleichseitiger Dreiecke, die die Verbindungslinie der Schwerpunkte der beiden großen Körper als gemeinsame Seite haben. L4 befindet sich in Umlaufrichtung des kleineren der beiden Körper vor ihm, L5 hinter ihm.
Lagrange-Punkte des Sonnensystems L1 des Systems Sonne-Erde Der innere Lagrange-Punkt L1 des Sonne-Erde-Systems befindet sich ca. 1,5 Mio. km von der Erde entfernt in Richtung Sonne. Das entspricht etwa dem vierfachen Abstand Erde–Mond und 1 % des Abstands Erde–Sonne. Ein Blick von L1 zur Erde zeigt permanent auf die Tagseite, während L1 sich, von der Erde aus gesehen, vor der Sonnenscheibe befindet.
Ein Körper, der die Sonne innerhalb der Erdbahn umkreist, hätte normalerweise eine höhere Bahngeschwindigkeit als die Erde. Durch die Anziehungskraft der Erde wird jedoch die Anziehungskraft der Sonne auf den Körper teilweise ausgeglichen (denn die beiden Kräfte wirken entgegengesetzt), wodurch in L1 die dem Erdumlauf synchrone Umlaufgeschwindigkeit für das Kräftegleichgewicht ausreicht.
Der Lagrange-Punkt L1 im System Sonne-Erde dient vor allem als „Basis“ zur Sonnenbeobachtung. Ein Signal zu einem Raumfahrzeug an diesem Punkt benötigt ungefähr 10 Sekunden hin und zurück. Verschiedene Sonnenobservatorien und andere Raumsonden wurden in Umlaufbahnen um L1 stationiert:
Schon 1978 brach die Sonde ISEE-3 zum L1 auf, um ihn bis 1982 zu umkreisen. Sie war die erste Sonde, die einen Lagrangepunkt umkreiste. Seit 1995 beobachtet SOHO aus einer L1-Umlaufbahn mit zwölf Messinstrumenten die Sonne. Dies ist eines der langlebigsten Projekte von ESA und NASA. Der Advanced Composition Explorer (ACE) der NASA zur Erforschung von Partikeln aus allen möglichen Quellen im Universum (u. a. der Sonne) umkreist L1 seit Anfang 1998. Die Raumsonde Genesis mit Instrumenten zur Erforschung des Sonnenwinds und zum Einfangen seiner Partikel war dort von 2001 bis 2004 positioniert. Seit 2015 befindet sich das Deep Space Climate Observatory der NASA in einem Lissajous-Orbit um den Lagrange-Punkt L1. Die Technologieerprobungssonde LISA Pathfinder war in einem Lissajous-Orbit um den Lagrange-Punkt L1. Aditya-L1, eine Sonnenbeobachtungssonde der ISRO, befindet sich seit Anfang 2024 in einem Orbit um L1 und kann die Funktionen von SOHO und ACE übernehmen.
L1 des Systems Erde-Mond mini|zentriert|788px|L1 und L2 im System Erde-Mond, maßstabsgetreu
Der innere Lagrange-Punkt L1 des Systems Erde-Mond ist im Mittel ungefähr 58.000 km vom Massemittelpunkt des Mondes in der Richtung zur Erde hin entfernt, von der Erde aus gesehen etwa bei 6/7 der Entfernung zwischen beiden Himmelskörpern.Jerome Pearson, Eugene Levin, John Oldson, Harry Wykes: The Lunar Space Elevator. (PDF; 365 kB), STAR Inc., Mount Pleasant, SC USA, 55th International Astronautical Congress, Vancouver, Canada, 4-8 October 2004..
Nutzung durch Raumfahrzeuge: Die THEMIS-Missionen der NASA und deren Verlängerung ARTEMIS führten unter anderem zum Lagrange-Punkt L1 von Erde und Mond.Mark A. Woodard, David C. Folta, Dennis W. Woodfork: . International Symposium on Space Flight Dynamics, Januar 2009.
L2 des Systems Sonne-Erde mini|hochkant=1.7|Position von L2 von Sonne und Erde
Der äußere Lagrange-Punkt L2 des Sonne-Erde-Systems befindet sich in einer Entfernung von ca. 1,5 Mio. km außerhalb der Erdbahn. Ein Blick von L2 zur Erde zeigt permanent die Nachtseite der Erde, umgeben von einem schmalen Sonnenring. Ein Signal zu einem Raumfahrzeug an L2 und wieder zurück benötigt ungefähr 10 Sekunden.
Normalerweise wäre außerhalb der Erdbahn die Umlaufdauer länger als die der Erde. Die zusätzliche Anziehung der Erde (Kräfte von Sonne und Erde auf den Körper sind gleichgerichtet) bewirkt jedoch eine kürzere Umlaufdauer, die im L2 wiederum gleich der Umlaufdauer der Erde ist.
Ein Orbit um den L2-Punkt des Systems Sonne-Erde bietet Vorteile für Weltraumteleskope, da die störende Strahlung von Sonne, Erde und Mond aus der gleichen Richtung auf die Teleskope trifft und somit bestmöglich abgeschirmt werden kann. Bei solar betriebenen Satelliten ist erforderlich, dass der Orbit um L2 außerhalb des Erdschattens liegt.. In: jwst-docs.stsci.edu. Space Telescope Science Institute. Ein weiterer Vorteil eines Orbits um L2 ist die konstante Orientierung in Bezug zur Erde.
Folgende Weltraumteleskope wurden in Umlaufbahnen um L2 stationiert: Die WMAP-Raumsonde (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), die die kosmische Hintergrundstrahlung des Urknalls untersuchte, befand sich 2001–2010 in einer Umlaufbahn um den L2-Punkt des Systems Sonne-Erde. Die ESA stationierte dort im September 2009 das Infrarot-Teleskop Herschel (bis April 2013) und das Teleskop Planck (bis August 2013) zur Untersuchung der Hintergrundstrahlung. Von Januar 2014 bis März 2025 umkreiste das Astrometrie-Teleskop Gaia der ESA den L2. Seit Oktober 2019 ist das Röntgenteleskop eROSITA am L2 stationiert. Seit dem 24. Januar 2022 ist das James-Webb-Weltraumteleskop in einem Halo-Orbit um L2. Im Juli 2023 stationierte die ESA das Teleskop Euclid in einem Orbit um diesen L2-Punkt. Das Nancy Grace Roman Space Telescope soll dort stationiert werden.
L2 des Systems Erde-Mond Der äußere Lagrange-Punkt des Systems Erde-Mond ist im Mittel ungefähr 64.500 km vom Massemittelpunkt des Mondes in Richtung von der Erde weg entfernt.
Nutzung durch Raumfahrzeuge: Die ARTEMIS-Missionen der NASA führten 2011 unter anderem zum Lagrange-Punkt L2 von Erde und Mond. 2018 nahm Queqiao, ein Relais-Satellit der chinesischen Chang’e-4-Mission, einen Halo-Orbit um L2 ein.
L3 des Systems Sonne-Erde Im Fall Sonne-Erde liegt der dritte Lagrange-Punkt auf der uns gegenüberliegenden Seite der Sonne, knapp 190 km weiter entfernt von der Sonne als die Umlaufbahn der Erde. In diesem Punkt bewirken die (gleichgerichteten) kombinierten Anziehungskräfte von Erde und Sonne wieder eine Umlaufdauer, die gleich der der Erde ist.
Ein Raumfahrzeug am L3 des Systems Sonne-Erde befindet sich hinter der Sonne und Radiosignale von und zu diesem Punkt werden von der Sonne blockiert und durch Radiowellen der Sonne gestört. Eine genaue Positionsbestimmung ist von der Erde aus nicht möglich. Raumfahrzeuge auf erdähnlichen Umlaufbahnen in der Nähe dieses Punkts müssen ihre Daten speichern, bis sie ihre Position bei L3 verlassen haben und eine Kommunikation wieder möglich ist. Der L3-Punkt ist also der ungünstigste Aufenthaltsbereich für Raummissionen.
Der L3-Punkt war in Science-Fiction-Büchern und Comics ein beliebter Ort für eine hypothetische (für uns aufgrund der Sonne nicht sichtbare) „Gegenerde“. Da die Masse einer gleichschweren „Gegenerde“ in dem System jedoch nicht mehr zu vernachlässigen wäre, handelte es sich hier um ein etwas anders gelagertes Dreikörperproblem und L3 läge aus Symmetriegründen exakt auf der Umlaufbahn der Erde.
Objekte an L4- und L5-Punkten Im Gegensatz zu L1, L2 und L3 sind L4 und L5 stabil, d. h., in ihrer Nähe können sich Körper auch ohne Bahnkorrektur dauerhaft aufhalten. Daher können an diesen Punkten natürliche Objekte erwartet werden. Ist der Punkt L4 bzw. L5 nicht genau getroffen, so beschreibt das entsprechende Objekt eine Umlaufbahn um den Lagrangepunkt. Tatsächlich befinden sich in der Nähe von L4- und L5-Punkten eine Vielzahl von Staubwolken und Kleinkörpern, insbesondere auf den Umlaufbahnen der großen Planeten. Asteroiden oder Monde, die sich im näheren Umkreis dieser Punkte befinden, werden von Astronomen auch Trojaner oder Trojanermonde genannt. In einer Umlaufbahn um L4 der Erde befindet sich der 2010 entdeckte Asteroid (706765) 2010 TK7 sowie der 2020 entdeckte (614689) 2020 XL5.T. Santana-Ros, M. Micheli, L. Faggioli et al.: Orbital stability analysis and photometric characterization of the second Earth Trojan asteroid 2020 XL5. Nat Commun 13, 447 (2022). doi:10.1038/s41467-022-27988-4. Letzterer hat einen mittleren Durchmesser von 1 km und ist damit etwa zweieinhalb Mal so groß wie der 2010 entdeckte Trojaner.
Beispiele