Das Kapitalgutpreismodell oder Preismodell für Kapitalgüter, englisch (CAPM) ist in der Kapitalmarkttheorie ein Gleichgewichtsmodell, das unter (sehr restriktiven) Annahmen die Preisbildung risikobehafteter Finanzinstrumente und Finanzprodukte erklärt und Erkenntnisse über die Beziehung von erwarteter Rendite und Finanzrisiko von Wertpapieren ermöglicht.

Das Capital Asset Pricing Modell (CAPM) wurde von William F. Sharpe, John Lintner und Jan Mossin in den 1960er Jahren unabhängig voneinander entwickelt und baut auf der Portfoliotheorie von Harry M. Markowitz auf. Obwohl das CAPM häufig kritisiert wird, ist es ein zentraler Baustein der modernen Kapitalmarkttheorie und formt die Basis vieler weiterer Modelle. Die Bedeutung des Modelles kommt auch dadurch zum Ausdruck, dass Harry M. Markowitz und William F. Sharpe 1990 den Alfred-Nobel-Gedächtnispreis für Wirtschaftswissenschaften (Wirtschaftsnobelpreis) erhielten. Jan Mossin und John Lintner konnten den Preis nicht bekommen, da er posthum nicht verliehen wird.

Annahmen des CAPM Alle Investoren:

versuchen ihren ökonomischen Nutzen zu maximieren (Die Anzahl der Assets ist vorgegeben und fix). sind rational und risikoavers. sind über eine Reihe von Anlagen breit diversifiziert. sind Preisnehmer, d. h. sie können die Preise nicht beeinflussen. können unbegrenzte Beträge zum risikofreien Zinssatz verleihen und ausleihen. handeln ohne Transaktionskosten und Steuern. handeln mit Wertpapieren, die in beliebig kleine Pakete unterteilt werden können (alle Vermögenswerte sind perfekt teilbar und liquide). haben homogene Erwartungen. gehen davon aus, dass alle Informationen allen Anlegern gleichzeitig zur Verfügung stehen.

Herleitung der Fundamentalgleichung des CAPM

Beim CAPM wird angenommen, dass sich Anleger so verhalten, wie es in der Portfoliotheorie von Harry M. Markowitz beschrieben worden ist. Die Portfoliotheorie geht dabei von zwei Grundüberlegungen aus. Zum einen ist jede Anlageentscheidung mit Risiko (genauer mit der Unsicherheit über zukünftige Erträge) verbunden: Anleger bewerten deshalb jede Anlage anhand ihrer erwarteten Rendite und des zur Erlangung der Rendite bestehenden Risikos. Darüber hinaus trägt die Portfoliotheorie der Tatsache Rechnung, dass Anleger in mehr als eine Anlage investieren, also Portfolios halten: Erwartete Rendite und Risiko müssen deshalb im Portfoliokontext gemessen werden. Als Risikomaß einer Anlage oder eines Portfolios wird die Standardabweichung (oder äquivalent dazu die Varianz) betrachtet.

Zur Vereinfachung der Darstellung soll das Portfolio aus zwei Anlagen bestehen. Für die Rendite des Portfolios gilt dann

Für den Erwartungswert und die Varianz der Renditen des Portfolios gilt dann:

und

,

Hierbei ist:

die Rendite des gesamten Portfolios die Rendite aus Anlage i der Anteil der Anlage 1 am Portfolio : der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson

mini|hochkant=1.6|Parameterdarstellung (als Funktion der Gewichtungen ) der erwarteten Rendite und des erwarteten Risikos bei unterschiedlichen Korrelationen der Anlagen. Der effiziente Rand ist der obere Teil der jeweiligen Kurven. Für (vollständige Korrelation) ist das gesamte Risiko (gemessen an der Standardabweichung ) ein mit den Anteilen gewichteter Durchschnitt der Risiken der Einzelanlagen. Falls die Renditen aber nicht vollständig korreliert sind (was sie in der Realität natürlich auch nicht sind), kann das Risiko durch Aufteilung gemindert werden. In der nebenstehenden Abbildung sind zwei Anlagen mit ihrem Erwartungswert und ihrer Varianz eingezeichnet.

Für (nicht vollständige Korrelation) ergeben sich durch Diversifikation neue Möglichkeiten der Kombination aus erwarteter Rendite () und Risiko (), die alle den gewichteten Durchschnitt (Verbindungslinie –) dominieren, da sie bei gleichem Risiko eine höhere Rendite oder bei gleicher Rendite ein geringeres Risiko oder beides (geringeres Risiko und höhere Rendite) haben. Je weniger die Renditen korreliert sind, desto mehr kann das Risiko eliminiert werden.

Als effizienten Rand () bezeichnet man dann die Menge der nicht dominierten Portfolios, für die bei gegebenem Risiko die maximale Rendite bzw. bei gegebener Rendite das minimale Risiko erzielt werden kann. Im μ - σ-Raum ist der effiziente Rand (oder die effiziente Grenze) eine Hyperbel (im Schaubild sind Beispiele eingezeichnet).

Es stellt sich die Frage, inwieweit sich das Risiko durch Portfoliobildung eliminieren lässt. Das Portfolio bestehe nun aus Anlagen. Es hat dann das Risiko:

Die naive Diversifikationsstrategie sei nun, dass das Portfolio gleichgewichtet ist, jede Anlage also im Verhältnis gehalten wird. Für das Risiko folgt dann:

bzw.

. mini|hochkant=1.6|Effekte der Diversifizierung Der erste Summand wird als firmenspezifisches Risiko bezeichnet. Es zeigt sich, dass mit zunehmender Aufnahme von Anlagen in das Portfolio das firmenspezifische (vom Markt unabhängige) Risiko ausgeschaltet werden kann (der Term konvergiert gegen null). Das Risiko konvergiert mit zunehmender Anzahl der Anlagen also gegen die durchschnittliche Kovarianz des Portfolios.

Empirische Untersuchungen zeigen regelmäßig, dass die durchschnittliche Kovarianz positiv ist, das gesamte Risiko also nicht eliminiert werden kann. Dieses nach der Diversifikation verbleibende Risiko wird deshalb auch als Marktrisiko (oder systematisches Risiko) bezeichnet. Das firmenspezifische Risiko wird auch unsystematisches, diversifizierbares Risiko genannt. Empirisch ist gezeigt worden, dass schon ab ca. 10 bis 15 Anlagen in einem Portfolio das firmenspezifische Risiko kaum mehr signifikant verringert werden kann.

Welche Kombination gewählt wird, hängt von der jeweiligen Risikopräferenz eines Anlegers ab. Es wird angenommen, dass der Anleger sich nach dem Bernoulli-Prinzip verhält, d. h. die Zielgröße, hier die Rendite des Portfolios, kann in einer (subjektiven) Nutzenfunktion abgebildet werden, und es wird das Portfolio mit dem maximalen Erwartungsnutzen ausgewählt (max. ).

Dabei ist das Bernoulli-Prinzip nur ein Entscheidungsprinzip. Es wird erst zur Entscheidungsregel, wenn die Nutzenfunktion genau festgelegt wird. Es wird angenommen, dass der Anleger seine Investmententscheidung ausschließlich auf Basis der beiden Parameter und trifft. Dazu ist erforderlich, dass die Nutzenfunktion nur von den ersten beiden Momenten der Renditeverteilung abhängt. Dies kann bei einer quadratischen Nutzenfunktion in Bezug auf die Rendite oder bei einer Normalverteilung der Renditen gerechtfertigt werden.

Eine Auswahl auf dem effizienten Rand setzt ebenfalls voraus, dass der Grenznutzen für die Rendite positiv ist und mit steigender Rendite abnimmt. In der Terminologie der Risikonutzentheorie bestehen dann Nichtsättigung und strikte Risikoaversion. Die zweite Bedingung impliziert auch, dass die Vergrößerung der Varianz der Rendite ceteris paribus nicht präferiert wird. Damit sind die Indifferenzkurven im μ-σ-Diagramm streng monoton steigend und von unten konvex (je weiter „nordöstlich“ sich die Indifferenzkurve befindet, desto größer ist der Nutzen).

Problematisch ist jedoch, dass die Präferenzen kaum zu bestimmen sind und die Preisbildung auf Kapitalmärkten aufgrund der Vielzahl unterschiedlicher Präferenzen deshalb nicht ermittelt werden kann. James Tobin hat jedoch gezeigt, dass die Auswahl eines optimalen Portfolios von den individuellen Präferenzen separiert werden kann. Wird eine risikofreie Anlage () in die Analyse eingeführt, vereinfacht sich das Auswahlproblem entscheidend. Wie der nebenstehenden Abbildung zu entnehmen ist, liegen alle effizienten Portfolios im μ-σ-Diagramm auf der durch und liegenden Geraden. Die Existenz einer risikofreien Anlage kann durch die Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes gerechtfertigt werden, d. h. der Anleger kann beliebige Summen zum gleichen Zinssatz leihen und verleihen. mini|hochkant=1.6|Kapitalmarktlinie Der Anleger wird dann eine Kombination aus und wählen, da er dann seinen Erwartungsnutzen maximieren kann (er wird auf jeden Fall eine Indifferenzkurve erreichen, die weiter „nordöstlich“ liegt). Die Struktur des riskanten Portfolios ist dann unabhängig von seiner Risikoneigung der Anleger. Diese Eigenschaft bezeichnet man als individuelle Separation (Tobin-Separation).

Das CAPM nimmt an, dass sich alle Anleger so verhalten, wie es in der Portfoliotheorie beschrieben worden ist. Wenn alle Anleger derartig homogene Erwartungen haben, es keine Steuern und Transaktionskosten gibt und keiner von ihnen durch Aktionen die Marktpreise beeinflussen kann, werden alle Anleger dann eine Kombination aus und dem gleichen Portfolio halten ( nennt man dann das Marktportfolio). Das CAPM baut die individuelle Separation also zu einer universellen Separation aus. Es wird von allen das gleiche Portfolio gehalten, dessen Struktur festliegt. Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht diesen Zusammenhang.

Diese Aufspaltung der Portfoliorendite in von Präferenzen unabhängige Wert- und Risikokomponenten ermöglicht die einfache Definition eines Risikomaßes am Kapitalmarkt und darauf aufbauend die Ermittlung eines Gleichgewichtspreises für eine bzw. mehrere Einheiten dieses Maßes. Die Gerade, auf der sich alle optimalen Portfolios befinden, hat die Gleichung:

.

Sie wird als Kapitalmarktlinie () bezeichnet. Die Steigung E(RM-RF)/σM wird als Marktpreis für das Risiko bezeichnet, weil sie die erwartete Marktrisikoprämie für eine Einheit des Marktrisikos ' darstellt. Aus dem Marktpreis für eine Einheit des Risikos kann auch der Preis eines einzelnen Wertpapiers in Abhängigkeit vom Risiko abgeleitet werden.

Ein Portfolio bestehe aus dem Marktportfolio und aus einem Wertpapier . Für den Erwartungswert der Rendite und das Risiko gilt dann:

.

Die Abhängigkeit von Erwartungswert und Standardabweichung von marginalen Änderungen im Anteil des Wertpapiers am Portfolio kann durch Bildung der ersten Ableitung nach ermittelt werden:

.

Im Marktgleichgewicht ist das Wertpapier i in einem bestimmten Anteil im Marktportfolio vertreten. Veränderungen des Anteils dieses Wertpapiers bewirken eine Gleichgewichtsstörung durch Nachfrage- oder Angebotsüberschuss. Da im Kapitalmarktgleichgewicht jedoch keine Überschüsse existieren, ist für diese Situation α = 0 anzusetzen. Für die Ableitungen im Gleichgewicht gilt somit:

.

Für das marginale Risiko-Rendite-Austauschverhältnis (Grenzrate der Substitution zwischen Risiko und Renditeerwartung) im Marktgleichgewicht folgt dann:

.

Dieses marginale Risiko-Rendite-Austauschverhältnis entspricht im Tangentialpunkt sowohl der Steigung des effizienten Randes (Grenzrate der Transformation zwischen Risiko und Rendite) als auch der Steigung der Kapitalmarktlinie. Bei Auflösung nach der Renditeerwartung des Wertpapiers i ergibt sich die sogenannte Wertpapierlinie (): mini|hochkant=1.6|Wertpapierlinie

.

Dies ist die Fundamentalgleichung des CAPM. Verbal lautet die Aussage: Die Renditeerwartung für eine risikobehaftete Kapitalanlage i entspricht im Kapitalmarktgleichgewicht der risikolosen Renditerate zuzüglich einer Risikoprämie, die sich aus Marktpreis für das Risiko multipliziert mit der Risikohöhe ergibt.

Die Risikohöhe σiM/σM2 wird im CAPM als Beta β bzw. Betafaktor bezeichnet. βi misst nur den Beitrag des systematischen Risikos eines Wertpapiers (= σi,M) zum Gesamtrisiko des Portfolios (= σM2). Falls alle Anleger sehr gut diversifizierte Portfolios halten (was sie annahmegemäß tun – sie halten das Marktportfolio), tendiert das unsystematische Risiko gegen Null. Das Beta β ist dann das einzig relevante Maß für das Risiko eines Wertpapiers. Unsystematisches Risiko wird nicht bewertet. Unter Verwendung von β = σiM/σM2 erhält das CAPM folgende Gestalt:

.