Die Wahrscheinlichkeitstheorie, auch Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Probabilistik, ist ein Teilgebiet der Mathematik, das aus der Formalisierung, der Modellierung und der Untersuchung von Zufallsgeschehen hervorgegangen ist. Gemeinsam mit der mathematischen Statistik, die anhand von Beobachtungen zufälliger Vorgänge Aussagen über das zugrunde liegende Modell trifft, bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik.
Die zentralen Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind zufällige Ereignisse, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse.
Axiomatischer Aufbau Wie jedes Teilgebiet der modernen Mathematik wird auch die Wahrscheinlichkeitstheorie mengentheoretisch formuliert und auf axiomatischen Vorgaben aufgebaut. Ausgangspunkt der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse, die als Mengen aufgefasst werden und denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet sind; Wahrscheinlichkeiten sind reelle Zahlen zwischen 0 und 1; die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen muss gewissen Mindestanforderungen genügen.
Diese Definitionen geben keinen Hinweis darauf, wie man die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse ermitteln kann; sie sagen auch nichts darüber aus, was Zufall und was Wahrscheinlichkeit eigentlich sind. Die mathematische Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist somit für verschiedene Interpretationen offen, ihre Ergebnisse sind dennoch exakt und vom jeweiligen Verständnis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs unabhängig.
Definitionen Konzeptionell wird als Grundlage der mathematischen Betrachtung von einem Zufallsvorgang oder Zufallsexperiment ausgegangen. Alle möglichen Ergebnisse dieses Zufallsvorgangs fasst man in der Ergebnismenge zusammen. Häufig interessiert man sich jedoch gar nicht für das genaue Ergebnis , sondern nur dafür, ob es in einer bestimmten Teilmenge der Ergebnismenge liegt, was so interpretiert werden kann, dass ein Ereignis eingetreten ist oder nicht. Ein Ereignis ist also als eine Teilmenge von definiert. Enthält das Ereignis genau ein Element der Ergebnismenge, handelt es sich um ein Elementarereignis. Zusammengesetzte Ereignisse enthalten mehrere Ergebnisse. Das Ergebnis ist also ein Element der Ergebnismenge, das Ereignis jedoch eine Teilmenge.
Damit man den Ereignissen in sinnvoller Weise Wahrscheinlichkeiten zuordnen kann, werden sie in einem Mengensystem aufgeführt, der Ereignisalgebra oder dem Ereignissystem über , einer Menge von Teilmengen von , für die gilt: Sie enthält und ist ein σ-Körper, d. h., sie ist gegenüber den Mengenoperationen der Vereinigung und der Komplementbildung (relativ bzgl. ) abgeschlossen genauso wie gegenüber der unendlichen Vereinigung abzählbar vieler Mengen. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann Bilder einer gewissen Abbildung des Ereignisraums in das Intervall [0,1]. Solch eine Abbildung heißt Wahrscheinlichkeitsmaß. Das Tripel wird als Wahrscheinlichkeitsraum bezeichnet.
Axiome von Kolmogorow Die axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde in den 1930er Jahren von Andrei Kolmogorow entwickelt und 1933 publiziert. Seine ursprünglich aus sechs Axiomen bestehende Axiomatik wird manchmal in folgender verkürzter Form dargestellt. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß muss folgende drei Axiome erfüllen:
Beispiel: Im Rahmen einer physikalischen Modellbildung wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß zur Quantifizierung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen eines Münzwurfes angesetzt; die möglichen Ergebnisse mögen Zahl und Kopf lauten. Dann ist die Ergebnismenge mit zwei möglichen Ergebnissen. Als Ereignisraum kann die Potenzmenge gewählt werden, also mit vier Ereignissen. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß weist den Ereignissen Wahrscheinlichkeiten (Zahlen im Intervall ) zu. Dabei gilt aufgrund der Axiome:
Zusätzliche physikalische Annahmen über die Beschaffenheit der Münze können zur Wahl führen.
Folgerungen Aus den Axiomen ergeben sich unmittelbar einige Folgerungen:
1. Aus der Additivität der Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse folgt, dass komplementäre Ereignisse (Gegenereignisse) komplementäre Wahrscheinlichkeiten (Gegenwahrscheinlichkeiten) haben: .
Beweis: Es ist sowie . Folglich nach Axiom (3): und dann nach Axiom (2): . Umgestellt ergibt sich: .
2. Daraus folgt, dass das unmögliche Ereignis, die leere Menge, die Wahrscheinlichkeit null hat: .
Beweis: Es ist und , also nach Axiom (3): . Hieraus folgt .
3. Für die Vereinigung nicht notwendig disjunkter Ereignisse folgt: .
center Beweis: Die für den Beweis erforderlichen Mengen sind im obigen Bild dargestellt. Die Menge kann danach als Vereinigung von drei disjunkten Mengen dargestellt werden: Datei:Stochastikmengen2.PNG Hieraus folgt nach (3): . Andererseits ist nach (3) sowohl als auch . Addition liefert: . Umstellen ergibt .
Die Siebformel von Poincaré-Sylvester verallgemeinert diese Behauptung im Falle n verschiedener (nicht notwendig disjunkter) Teilmengen.
Im Weiteren ist zwischen abzählbaren und überabzählbaren Ergebnismengen zu unterscheiden.
Abzählbare Ergebnismenge mini|410px|Beispiel: Ein Glücksrad mit Ergebnismenge , Ereignisraum (hier die Potenzmenge von ) und Wahrscheinlichkeitsmaß .
Bei einer abzählbaren Ergebnismenge kann jedem Elementarereignis eine positive Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. Wenn endlich oder abzählbar unendlich ist, kann man für die σ-Algebra die Potenzmenge von wählen. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse aus ist hier 1.
Überabzählbare Ergebnismenge mini|Die Wahrscheinlichkeit, mit einer (als punktförmig angenommenen) Dartspitze einen bestimmten (flächenlosen) Punkt auf der Scheibe zu treffen, ist null. Eine sinnvolle mathematische Theorie für Dartwürfe kann nur auf der Wahrscheinlichkeit aufbauen, bestimmte Teilflächen zu treffen. Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich durch das Oberflächenintegral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Dartwürfe über die jeweilige Teilfläche beschreiben.
Ein Prototyp einer überabzählbaren Ergebnismenge ist die Menge der reellen Zahlen. In vielen Modellen ist es nicht möglich, allen Teilmengen der reellen Zahlen sinnvoll eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Als Ereignissystem wählt man statt der Potenzmenge der reellen Zahlen hier meist die Borelsche σ-Algebra, das ist die kleinste σ-Algebra, die alle Intervalle von reellen Zahlen als Elemente enthält. Die Elemente dieser σ-Algebra nennt man Borelsche Mengen oder auch (Borel-)messbar. Wenn die Wahrscheinlichkeit jeder Borelschen Menge als Integral
über eine Wahrscheinlichkeitsdichte geschrieben werden kann, wird absolut stetig genannt. In diesem Fall (aber nicht nur in diesem) haben alle Elementarereignisse {x} die Wahrscheinlichkeit 0. Die Wahrscheinlichkeitsdichte eines absolut stetigen Wahrscheinlichkeitsmaßes ist nur fast überall eindeutig bestimmt, d. h., sie kann auf einer beliebigen Lebesgue-Nullmenge, also einer Menge vom Lebesgue-Maß 0, abgeändert werden, ohne dass verändert wird. Wenn die erste Ableitung der Verteilungsfunktion von existiert, so ist sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte von P. Die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichte werden jedoch nicht als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
Spezielle Eigenschaften im Fall diskreter Wahrscheinlichkeitsräume Laplace-Experimente Wenn man annimmt, dass nur endlich viele Elementarereignisse möglich und alle gleichberechtigt sind, d. h. mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten (wie zum Beispiel beim Werfen einer idealen Münze, wobei {Zahl} und {Kopf} jeweils die Wahrscheinlichkeit 0,5 besitzen), so spricht man von einem Laplace-Experiment. Dann lassen sich Wahrscheinlichkeiten einfach berechnen: Wir nehmen eine endliche Ergebnismenge an, die die Mächtigkeit besitzt, d. h., sie hat Elemente. Dann ist die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses einfach .
Beweis: Wenn ist, dann gibt es Elementarereignisse . Es ist dann einerseits und andererseits sind je zwei Elementarereignisse disjunkt (inkompatibel: wenn das eine eintritt, kann das andere nicht eintreten). Also sind die Voraussetzungen für Axiom (3) erfüllt, und es gilt:
Da nun andererseits sein soll, ist und daher umgestellt: , wie behauptet.
Als Konsequenz folgt, dass für Ereignisse, die sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzen, die entsprechend vielfache Wahrscheinlichkeit gilt. Ist ein Ereignis der Mächtigkeit , so ist die Vereinigung von Elementarereignissen. Jedes davon hat die Wahrscheinlichkeit , also ist . Man erhält somit den einfachen Zusammenhang
Bei Laplace-Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses also gleich der Zahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse, dividiert durch die Zahl der insgesamt möglichen Ergebnisse.
Nachstehend ein Beispiel beim Würfeln mit einem idealen Würfel.
⚀,⚁,⚂,⚃,⚄,⚅ ⚄,⚅
Das Ereignis = Hohe Augenzahl (5 oder 6) hat die Wahrscheinlichkeit 1/3.
Ein typischer Laplace-Versuch ist auch das Ziehen einer Karte aus einem Spiel mit Karten oder das Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit Kugeln. Hier hat jedes Elementarereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit. Um die Anzahl der Elementarereignisse bei Laplace-Versuchen zu bestimmen, werden häufig Methoden der Kombinatorik verwendet.
Das Konzept der Laplace-Experimente lässt sich auf den Fall einer stetigen Gleichverteilung verallgemeinern.
Bedingte Wahrscheinlichkeit Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses unter der Voraussetzung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses bereits bekannt ist. Natürlich muss eintreten können, es darf also nicht das unmögliche Ereignis sein. Man schreibt dann oder seltener für „Wahrscheinlichkeit von unter der Voraussetzung “, kurz „ von , vorausgesetzt “.
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatblatt eine Herz-Karte zu ziehen (Ereignis ), beträgt 1/4, denn es gibt 32 Karten und darunter 8 Herz-Karten. Dann ist . Das Gegenereignis ist dann Karo, Pik oder Kreuz und hat deshalb die Wahrscheinlichkeit .
center Ergebnismenge beim Ziehen einer Karte aus einem Skatspiel
Wenn nun aber bereits das Ereignis „Die Karte ist rot“ eingetreten ist (es wurde eine Herz- oder Karo-Karte gezogen, es ist aber nicht bekannt, welche der beiden Farben), man also nur noch die Auswahl unter den 16 roten Karten hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dann um das Herz-Blatt handelt.
Diese Überlegung galt für einen Laplaceversuch. Für den allgemeinen Fall definiert man die bedingte Wahrscheinlichkeit von „, vorausgesetzt “ als
Dass diese Definition sinnvoll ist, zeigt sich daran, dass die so definierte Wahrscheinlichkeit den Axiomen von Kolmogorow genügt, wenn man sich auf als neue Ergebnismenge beschränkt; d. h., dass gilt:
Wenn paarweise disjunkt sind, so ist Beweis: ist Quotient zweier Wahrscheinlichkeiten, für welche nach Axiom (1) gilt und . Da nicht das unmögliche Ereignis sein soll, ist sogar . Also gilt auch für den Quotienten . Ferner sind und disjunkt, und ihre Vereinigung ist . Also ist nach Axiom (3): .Da ist, folgt und daher . Es ist Des Weiteren ergibt sich:
Dies war zu zeigen.
Beispiel: Es sei wie oben das Ereignis „Ziehen einer Herz-Karte“ und das Ereignis „Es ist eine rote Karte“. Dann ist:
und
Folglich gilt:
Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergeben sich folgende Konsequenzen:
Verbundwahrscheinlichkeit (Schnittmengen von Ereignissen) Das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse und entspricht mengentheoretisch dem Eintreten des Verbund-Ereignisses . Die Wahrscheinlichkeit hiervon berechnet sich zur gemeinsamen Wahrscheinlichkeit oder Verbundwahrscheinlichkeit
Beweis: Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist einerseits
und andererseits auch
Umstellen nach liefert dann sofort die Behauptung.