mini|Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren: Ein Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w addiert (rot, unten). Oben wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet wird. Vektorräume bilden den zentralen Untersuchungsgegenstand der linearen Algebra. Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren (Zahlen) multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Entstanden ist der Begriff, indem diese Eigenschaften ausgehend von (geometrischen) Vektoren des euklidischen Raumes abstrahiert wurden, so dass sie dann auf abstraktere Objekte wie Funktionen oder Matrizen übertragbar sind.

Die Skalare, mit denen man einen Vektor multiplizieren kann, stammen aus einem Körper. Deswegen ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum über einem bestimmten Körper. Sehr oft handelt es sich dabei um den Körper der reellen Zahlen oder den Körper der komplexen Zahlen. Man spricht dann von einem reellen Vektorraum bzw. einem komplexen Vektorraum.

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die es erlaubt, jeden Vektor durch eindeutige Koordinaten darzustellen. Die Anzahl der Basisvektoren in einer Basis wird Dimension des Vektorraums genannt. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis und kann auch unendlich sein. Die strukturellen Eigenschaften eines Vektorraums sind eindeutig durch den Körper, über dem er definiert ist, und seine Dimension bestimmt.

Eine Basis ermöglicht es, Rechnungen mit Vektoren über deren Koordinaten statt mit den Vektoren selbst auszuführen, was manche Anwendungen erleichtert.

Definition

Es seien eine Menge, ein Körper, eine innere zweistellige Verknüpfung, genannt Vektoraddition, und eine äußere zweistellige Verknüpfung, genannt Skalarmultiplikation. Man nennt dann einen Vektorraum über dem Körper oder kurz -Vektorraum, wenn für alle und die folgenden Eigenschaften gelten:

Vektoraddition: V1: (Assoziativgesetz) V2: Existenz eines neutralen Elements mit V3: Existenz eines zu inversen Elements mit V4: (Kommutativgesetz)

Skalarmultiplikation: S1: S2: S3: S4: für das Einselement des Skalarkörpers

Anmerkungen Die Axiome V1, V2 und V3 der Vektoraddition besagen, dass eine Gruppe bildet, und Axiom V4, dass diese abelsch ist. Ihr neutrales Element heißt Nullvektor. Ein Körper ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element (Nullelement) und einer zweiten inneren zweistelligen Verknüpfung sodass auch eine abelsche Gruppe ist und die Distributivgesetze gelten. Wichtige Beispiele für Körper sind die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen . Die Axiome S1 und S2 der Skalarmultiplikation werden ebenfalls als Distributivgesetze bezeichnet, Axiom S3 auch als Assoziativgesetz.H. Grauert, H. C. Grunert: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. ISBN 3-486-24739-5.H.-J. Kowalski, G. O. Michler: Lineare Algebra. Dabei ist jedoch zu beachten, dass bei Axiom S2 die Pluszeichen zwei verschiedene Additionen (links die in und rechts jene in ) bezeichnen und dass bei Axiom S3 die Skalarmultiplikation assoziativ mit der Multiplikation in ist. Die Axiome S1 und S2 garantieren für die Skalarmultiplikation die Linksverträglichkeit mit der Vektoraddition und die Rechtsverträglichkeit mit der Körper- und der Vektoraddition. Axiome S3 und S4 stellen zudem sicher, dass die multiplikative Gruppe des Körpers auf operiert. In diesem Artikel werden im Folgenden, wie in der Mathematik üblich, sowohl die Addition im Körper als auch die Addition im Vektorraum mit demselben Zeichen bezeichnet, obwohl es sich um unterschiedliche Verknüpfungen handelt. Für wird geschrieben. Genauso werden sowohl die Multiplikation im Körper als auch die skalare Multiplikation zwischen Körperelement und Vektorraumelement mit bezeichnet. Bei beiden Multiplikationen ist es auch üblich, den Malpunkt wegzulassen. Dadurch, dass in Vektorräumen die oben genannten Axiome gelten, besteht in der Praxis keine Gefahr, die beiden Additionen oder die beiden Multiplikationen zu verwechseln. Darüber hinaus kann man an den zu addierenden bzw. zu multiplizierenden Elementen die Verknüpfung unterscheiden. Die Verwendung der gleichen Symbole macht die Vektorraumaxiome besonders suggestiv. Zum Beispiel schreibt sich Axiom S1 als und Axiom S3 als . Mit den beiden Trägermengen und sind Vektorräume Beispiele für heterogene Algebren.R. Hartwig, WS 2009/2011, S. 11.

Erste Eigenschaften

Für alle und gelten folgende Aussagen: . . Die Gleichung ist für alle eindeutig lösbar; die Lösung ist .

Beispiele Euklidische Ebene

Ein anschaulicher Vektorraum ist die zweidimensionale euklidische Ebene (in rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystemen) mit den Pfeilklassen (Verschiebungen oder Translationen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren. ist die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben, die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung, und zwar diejenige Verschiebung, die man erhält, indem man die beiden Verschiebungen nacheinander ausführt: , d. h. die Verschiebung um 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.

Der Nullvektor entspricht der Verschiebung, die alle Punkte an ihrem Platz belässt, d. h. der identischen Abbildung.

Durch die Streckung der Verschiebung mit einem Skalar aus der Menge der reellen Zahlen erhalten wir das Dreifache der Verschiebung: .

Alles zu diesem Beispiel Gesagte gilt auch in der reellen affinen Ebene.

Koordinatenraum

Ist ein Körper und eine natürliche Zahl, so bildet das -fache kartesische Produkt

die Menge aller -Tupel mit Einträgen in , einen Vektorraum über . Die Addition und die skalare Multiplikation werden komponentenweise definiert; für , setzt man

und

Häufig werden die -Tupel auch als Spaltenvektoren notiert, das heißt, ihre Einträge werden untereinander geschrieben. Die Vektorräume bilden gewissermaßen die Standardbeispiele für endlichdimensionale Vektorräume. Jeder -dimensionale -Vektorraum ist isomorph zum Vektorraum . Mit Hilfe einer Basis kann jedes Element eines Vektorraums eindeutig durch ein Element des als Koordinatentupel dargestellt werden.

Funktionenräume Grundsätzliches und Definition

mini|Beispiel der Addition bei Funktionen: Die Summe der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion ist mit Ist ein Körper, ein -Vektorraum und eine beliebige Menge, so kann auf der Menge aller Funktionen eine Addition und eine skalare Multiplikation punktweise definiert werden: Für und sind die Funktionen und definiert durch für alle und für alle . Mit dieser Addition und dieser skalaren Multiplikation ist ein -Vektorraum. Insbesondere gilt dies für , wenn also als Zielraum der Körper selbst gewählt wird. Weitere Beispiele für Vektorräume erhält man als Untervektorräume dieser Funktionenräume.

In vielen Anwendungen ist , der Körper der reellen Zahlen, oder , der Körper der komplexen Zahlen, und ist eine Teilmenge von , , oder . Beispiele sind etwa der Vektorraum aller Funktionen von nach und die Unterräume aller stetigen Funktionen und aller -mal stetig differenzierbaren Funktionen von nach .

Raum der linearen Funktionen

Ein einfaches Beispiel für einen Funktionenraum ist der zweidimensionale Raum der reellen linearen Funktionen, das heißt der Funktionen der Form

mit reellen Zahlen und . Dies sind diejenigen Funktionen, deren Graph eine Gerade ist. Die Menge dieser Funktionen ist ein Untervektorraum des Raums aller reellen Funktionen, denn die Summe zweier linearer Funktionen ist wieder linear, und ein Vielfaches einer linearen Funktion ist auch eine lineare Funktion.

Zum Beispiel ist die Summe der beiden linearen Funktionen und mit , die Funktion mit . Das 3-Fache der linearen Funktion ist die lineare Funktion mit .

Polynomräume

Die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper bildet mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation mit einem Körperelement einen unendlichdimensionalen Vektorraum. Die Menge der Monome ist eine Basis dieses Vektorraums. Die Menge der Polynome, deren Grad durch ein nach oben beschränkt ist, bildet einen Untervektorraum der Dimension . Beispielsweise bildet die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4, also aller Polynome der Form , einen 5-dimensionalen Vektorraum mit der Basis .

Bei unendlichen Körpern kann man die (abstrakten) Polynome mit den zugehörigen Polynomfunktionen identifizieren. Bei dieser Betrachtungsweise entsprechen die Polynomräume Unterräumen des Raums aller Funktionen von nach . Zum Beispiel entspricht der Raum aller reellen Polynome vom Grad dem Raum der linearen Funktionen.

Körpererweiterungen

Ist ein Oberkörper von , so ist mit seiner Addition und der eingeschränkten Multiplikation als skalare Multiplikation ein -Vektorraum. Die nachzuweisenden Regeln ergeben sich unmittelbar aus den Körperaxiomen für . Diese Beobachtung spielt eine wichtige Rolle in der Körpertheorie.

Beispielsweise ist auf diese Weise ein zweidimensionaler -Vektorraum; eine Basis ist . Ebenso ist ein unendlichdimensionaler -Vektorraum, bei dem eine Basis jedoch nicht konkret angegeben werden kann.

Lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen sind die Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, die die Struktur des Vektorraums erhalten. Sie sind die Homomorphismen zwischen Vektorräumen im Sinne der universellen Algebra. Eine Funktion zwischen zwei Vektorräumen und über demselben Körper heißt genau dann linear, wenn für alle und alle

erfüllt sind. Das heißt, ist kompatibel mit den Strukturen, die den Vektorraum konstituieren: der Addition und der Skalarmultiplikation. Zwei Vektorräume heißen isomorph, wenn es eine lineare Abbildung zwischen ihnen gibt, die bijektiv ist, also eine Umkehrfunktion besitzt. Diese Umkehrfunktion ist dann automatisch ebenfalls linear. Isomorphe Vektorräume unterscheiden sich nicht bezüglich ihrer Struktur als Vektorraum.

Basis eines Vektorraums

Für endlich viele und bezeichnet man die Summe

als Linearkombination der Vektoren . Dabei ist selbst wieder ein Vektor aus dem Vektorraum .

Ist eine Teilmenge von , so wird die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus die lineare Hülle von genannt. Sie ist ein Untervektorraum von , und zwar der kleinste Untervektorraum, der enthält.

Eine Teilmenge eines Vektorraums heißt linear abhängig, wenn sich der Nullvektor auf nicht-triviale Weise als eine Linearkombination von Vektoren ausdrücken lässt. „Nicht-trivial“ bedeutet, dass mindestens ein Skalar (ein Koeffizient der Linearkombination) von null verschieden ist. Andernfalls heißt linear unabhängig.

Eine Teilmenge eines Vektorraums ist eine Basis von , wenn linear unabhängig ist und die lineare Hülle von der ganze Vektorraum ist.