mini|hochkant=0.5|Bings Kreiswinkel Als Bings Kreiswinkel oder Bingschen Kreiswinkel bezeichnet man eine Schablone in Form eines rechtwinkligen Dreiecks, bei dem die beiden Katheten im Verhaltnis 44:23 stehen. Eine solche Schablone ermöglicht eine einfache näherungsweise Quadratur des Kreises und sie lässt sich auch für einige verwandte geometrische Probleme verwenden.
Quadratur des Kreises mini|hochkant=1.2|Quadratur des Kreises mit dem Bings Kreiswinkel Man wählt einen beliebigen Punkt auf dem Rand eines gegebenen Kreises und legt den Bingschen Kreiswinkel so an, dass die Ecke an seinem kleinsten Winkel () mit P übereinstimmt und seine Hypotenuse durch den Mittelpunkt des Kreises geht, das heißt die Hypotenuse liegt auf einem Durchmesser des Kreises. Nun schneidet die am Punkt P anliegende Kathete des Bingschen Kreiswinkels den Kreis in einem zweiten Punkt . Die Strecke ist dann die Seite eines Quadrates, dessen Fläche näherungsweise der des gegebenen Kreises entspricht.Mieczysław Szyszkowicz: Approximate quadrature of the circle using a set square. In: The Mathematical Gazette, Band 101, Nr. 551 (Juli 2017), S. 301–302 (JSTOR) Der Fehler beträgt dabei Flächeneinheiten.Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik - Band 9. De Gruyter, 1880, S. 810 (Digitalisat (Google Books))
Herleitung Man überlegt sich zunächst, wie groß der Winkel sein muss, damit die Fläche des Quadrates mit der Seitenlänge der des Kreises entspricht. Wegen der gewünschten Flächengleichheit gilt . Aufgrund des Satzes von Thales ist das Dreieck rechtwinklig und es gilt . Eingesetzt in die vorherige Gleichung erhält man und damit . Dies liefert
Zur Konstruktion des Bingschen Kreiswinkels benötigt man jedoch den Winkel selbst nicht, sondern man muss nur das Seitenverhältnis der beiden Katheten kennen. Dieses ist durch gegeben. liefert zusammen mit dem trigonometrischen Pythagoras . Dadurch erhält man und . Approximiert man diesen Wert durch einen Kettenbruch, so erhält man [0;1,1,10,1,1,126,3,45]. Die Entwicklung dieses Kettenbruchs entspricht den Brüchen und . Der Bruch liefert bereits eine recht genaue Näherung für .
Geschichte Die Schablone ist nach ihrem Erfinder Edward Bing, dem damaligen technischen Direktor einer Wagenfabrik in Riga, benannt. 1876 wurde sie im Londoner Science Museum ausgestellt.David Baxandall: Construction for an Approximate Quadrature of the Circle, Nature 101, 304 (1918),https://doi.org/10.1038/101304e0 Bing veröffentlichte 1877 in der Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure einen Artikel zu ihr unter dem Titel Der Kreiswinkel.Edward Bing: Der Kreiswinkel. In: Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure, VDI Verlag, Band 21, 1877, S. 276–279 (Digitalisat (Google Books)) In Deutschland wurde die Schablone gegen Ende des 19. Jahrhunderts aus Hartgummi von der Firma Karl Schleicher und Schüll aus Düren in vier Größen hergestellt.H.von den Heyden: Zu den Lehrmitteln: Bings Kreiswinkel. In: Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, Band 29, B. G. Teubner, 1898, S. 180–181 (Digitalisat (Google Books))
Die Idee, den Winkel zur Kreisquadratur zu bestimmen und gegebenenfalls eine entsprechende Schablone zu konstruieren, wurde in der Literatur mehrmals unabhängig voneinander publiziert, so erschienen zum Beispiel 1914 und 1918 entsprechende Beiträge in der Zeitschrift Nature sowie 1961 in der Mathematical Gazette.
Literatur H.von den Heyden: Zu den Lehrmitteln: Bings Kreiswinkel. In: Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, Band 29, B. G. Teubner, 1898, S. 180–181 (Digitalisat (Google Books)) Edward Bing: Der Kreiswinkel. In: Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure, VDI Verlag, Band 21, 1877, S. 276–279 (Digitalisat (Google Books)) Mieczysław Szyszkowicz: Approximate quadrature of the circle using a set square. In: The Mathematical Gazette, Band 101, Nr. 551 (Juli 2017), S. 301–302 (JSTOR) David Baxandall: Construction for an Approximate Quadrature of the Circle, Nature 101, 304 (1918),https://doi.org/10.1038/101304e0
Weblinks Bings Kreiswinkel – interaktive Illustration
Einzelnachweise
Kategorie:Kreisgeometrie Kategorie:Vierecksgeometrie