Die Ligon-Schaaf-Regularisierung ist in der mathematischen Physik eine Methode zur Beschreibung der Singularitäten von Kollisionen im Kepler-Problem mithilfe der Ligon-Schaaf-Abbildung. Beide sind nach Thomas Ligon und Manfred Schaaf benannt, die diese im Jahr 1976 einführten. (Thomas Ligon schrieb seine Diplomarbeit, nun Masterarbeit, darüber unter der Aufsicht von Manfred Ligon.) Die Ligon-Schaaf-Regularisierung hat im Vergleich zu anderen Methoden der Regularisierung besondere Eigenschaften, etwa keine Transformation der Zeit oder die Transformation aller negativen Energieniveaus zusammen. (Die verwandte Moser-Regularisierung benötigt eine feste Energie.)
Ligon-Schaaf-Abbildung Sei die Hamilton-Funktion (Energie) des Kepler-Problems. Seien zudem:Frauenfelder & van Koert 2018, S. 53–54
Die Ligon-Schaaf-Abbildung ist dann gegeben durch:
Eigenschaften
und sind orthonormal, also , und .Ligon 2018, Gl. (30) - (32)Frauenfelder & van Koert 2018, Lemma 4.3.1 Daher bildet die Ligon-Schaaf-Abbildung wirklich auf die Teilmenge ab und ist dadurch wohldefiniert.
Die Ligon-Schaaf-Abbildung ist ein Symplektomorphismus.Frauenfelder & van Koert 2018, Lemma 4.3.2 Mit der Delaunay-Hamilton-Funktion ist:Ligon 2018, Gl. (40)
Mit dem Kreuzprodukt , dem Runge-Lenz-Vektor und dem Drehimpuls ist:Ligon 2018, Gl. (38) - (39)
Siehe auch
Levi-Civita-Regularisierung, basierend auf der reellen Hopf-Faserung Kustaanheimo-Stiefel-Regularisierung, basierend auf der komplexen Hopf-Faserung Moser-Regularisierung
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Himmelsmechanik Kategorie:Klassische Mechanik