Die Sätze von Wall sind im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie vier Resultate, welche die glatte Struktur, Auto-Diffeomorphismen und die Schnittform einer glatten 4-Mannigfaltigkeit mit h-Kobordismen, stabilen Diffeomorphismen und induzierten Formautomorphismen verbinden. Benannt sind die Sätze nach C. T. C. Wall, der diese im Jahr 1964 bewiesen hat.
Satz von Wall über h-Kobordismen Der Satz von Wall über h-Kobordismen besagt, dass einfach zusammenhängende geschlossene glatte 4-Mannigfaltigkeiten mit isomorpher Schnittform sogar h-kobordant sind.Wall 1964 (On simply-connected 4-manifolds), Thrm. 2Scorpan 05, S. 155
Satz von Wall über Stabilisierung Der Satz von Wall über Stabilisierung besagt, dass für h-kobordante einfach zusammenhängende geschlossene glatte 4-Mannigfaltigkeiten und eine natürliche Zahl und ein Diffeomorphismus existieren.Wall 1964 (On simply-connected 4-manifolds), Thrm. 3Scorpan 05, S. 149 Durch verbundene Summen mit diffeomorph zu werden wird auch stabil diffeomorph genannt. Durch die Kombination mit dem Satz von Wall über h-Kobordismen ergibt sich insbesondere, dass einfach zusammenhängende glatte 4-Mannigfaltigkeiten mit isomorpher Schnittform sogar stabil diffeomorph sind.
Da sowohl die Klassifikation von glatten Strukturen auf 4-Mannigfaltigkeiten als auch die Existenz von exotischen 4-Sphären wichtige offene Probleme der Differentialtopologie sind, scheint aktuell eine Verbindung über die verbundene Summe mit exotischen 4-Sphären bestehen zu können. Ist eine exotische 4-Sphäre, dann gibt es nach dem Satz von Wall zur Stabilisierung eine natürliche Zahl und einen Diffeomorphismus:
weshalb also die verbundene Summe mit keine Auswirkung auf die glatte Struktur hat.
Satz von Wall über Automorphismen Der Satz von Wall über Automorphismen besagt, dass für eine symmetrische unimodular Bilinearform mit und zwei Elemente mit gleicher Teilbarkeit, Selbstschnitt und Typ ein Automorphismus existiert mit .Scorpan 05, S. 152
Teilbarkeit ist die größte ganze Zahl, welche das Element teilt. Typ ist, ob das Element charakteristisch oder nicht ist. ist immer gerade, daher schließt die obige Bedingung lediglich definite Formen mit aus sowie fast-definite Formen mit . Nach der Klassifikation von Serre schließt das die hyperbolische Form sowie und .
Satz von Wall über Diffeomorphismen Der Satz von Wall über Diffeomorphismen besagt, dass für eine einfach zusammenhängende glatte 4-Mannigfaltigkeit mit indefiniter Schnittform jeder Automorphismus von (mit der hyperbolischen Form ) von einem Selbstdiffeomorphismus auf induziert wird.Scorpan 05, S. 153 Das zeigt einen entscheidenden Unterschied zwischen glatten und topologischen 4-Mannigfaltigkeiten auf, da für letztere keine Stabilisierung notwendig ist. Für eine einfach zusammenhängende topologische 4-Mannigfaltigkeit mit indefiniter Schnittform kommt jeder Automorphismus von von einem Selbsthomöomorphismus auf .
Literatur
Weblinks
Wall theorems auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialtopologie