Die Zahl (in Worten: sechshundertfünfunddreißig Millionen dreihundertachtzehntausendsechshundertsiebenundfünfzig) ist die kleinste natürliche Zahl, die mindestens zwei verschiedene Darstellungen als Summe zweier ganzzahliger Biquadrate besitzt. Es ist nämlich . Dass diese Gleichungen korrekt sind, hat schon Leonhard Euler schon im Jahre 1778 gezeigt, während die Minimalität der Zahl im Jahre 1957 von John Leech (1926–1992) nachgewiesen wurde.
Hintergrund und Einordnung I Nach der Darstellung von David Wells im Lexikon der Zahlen geht das Problem, natürliche Zahl zu finden, welche auf zwei verschiedene Weisen als Summe zweier vierter Potenzen darstellbar seien, auf eine Aufgabenstellung Eulers aus dem Jahre 1772 zurück.
Die Minimallösungen zu dem entsprechenden Problem für zweigliedrige Potenzsummen mit kleineren Exponenten sind die folgenden:
Erwähnenswert ist hier, dass die Frage nach der dreifachen Darstellung von natürlichen Zahlen als zweigliedrige Summen von Quadratzahlen ebenfalls eine Minimallösung hat. Es ist –vgl. David Wells: Das Lexikon der Zahlen, Fischer Taschenbuch Verlag, S. 171.– die Zahl . .1729 ist die bekannte Hardy-Ramanujan-Zahl.
II Unbekannt ist, ob es die entsprechende Minimallösung für fünfte Potenzen gibt. Unklar ist sogar, ob überhaupt natürliche Zahlen existieren, die sich auf mehrfache Weise als Summe zweier natürlichzahliger fünfter Potenzen darstellen lassen.
Bekannt ist indes, dass das letztgenannte Problem für dreigliedrige Summen fünfter Potenzen zumindest eine Lösung hat. Es gilt nämlich: .David Wells verweist hinsichtlich dieser Identitäten auf R. Alter.
Überdies kennt man sogar die entsprechende Minimallösung für dreigliedrige Summen sechster Potenzen. Hier ist nämlich
die kleinste natürliche Zahl dieser Art.
III G. H. Hardy erwähnte in seiner bekannten Anekdote über die Zahl , dass Srinivasa Ramanujan diese sofort als kleinste natürliche Zahl mit mindestens zwei verschiedenen Darstellungen als Summe zweier positiver Kuben identifiziert hat. Ramanujan habe indes die entsprechende kleinste Zahl für Biquadrate, also die Zahl , nicht nennen können, sondern nur gesagt, dass die fragliche Zahl sehr groß sein müsse.
Literatur
Einzelnachweise
Erläuterungen
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