Ein Iteriertes Produkt ist eine iterierte binäre Operation der Multiplikation einer Folge von Elementen, deren Ergebnis ein Produkt ist. Wenn die Elemente nacheinander von links nach rechts multipliziert werden, nennt man die Zwischenergebnisse partielle Produkte. Die zu multiplizierenden Elemente (Faktoren) können ganze Zahlen, reelle Zahlen oder komplexe Zahlen sein. Neben Zahlen kann das iterierte Produkt auch auf andere mathematische Objekte angewendet werden, etwa Matrizen, Polynome, Funktionen oder allgemeiner Elemente eines Monoids mit Multiplikation. Für endliche Folgen ist das iterierte Produkt stets wohldefiniert.
Die Ausführung eines iterierten Produkts über unendliche Folgen ist nicht immer möglich; wenn ein Wert definiert werden kann, umfasst er zusätzlich den Begriff des Grenzwerts. Die Multiplikation unendlicher Folgen führt zur Konstruktion eines unendlichen Produkts.
Man unterscheidet zwei Arten von Produkten: endliches Produkt und unendliches Produkt.
Notation Großes Π In der mathematischen Notation wird zur kompakten Darstellung iterierter Produkte das Symbol verwendet. Es repräsentiert die wiederholte Anwendung einer binären Operation:
wobei der Produktindex ist, die Faktoren bezeichnet, die untere Grenze und die obere Grenze ist, mit .
Beispiel:
.
Allgemeinere Schreibweisen:
Auch mehrere Produktsymbole sind möglich:
Sonderfälle Ein einzelner Faktor ergibt diesen selbst. Das leere Produkt ist (neutrales Element der Multiplikation).
Identitäten Für endliche Produkte gelten u. a.:
Einzelnachweise
Kategorie:Multiplikation