Der Satz von Dvoretzky-Erdős-Kakutani ist ein Resultat aus der Stochastik, welches das Schnittverhalten zweier unabhängiger Brownscher Bewegungen in beschreibt. Zwei unabhängige Brownsche Bewegungen schneiden sich in Dimension mit positiver Wahrscheinlichkeit, während sie sich in Dimension mit Wahrscheinlichkeit schneiden, es kommt zu einem Phasenübergang.
Das Resultat wurde 1950 in einer gemeinsamen Arbeit von Aryeh Dvoretzky, Paul Erdős und Shizuo Kakutani gezeigt. Der Satz ist nicht zu verwechseln mit einem weiteren berühmten Satz, der ebenfalls als Satz von Dvoretzky-Erdős-Kakutani bezeichnet wird, der besagt, dass die Brownsche Bewegung fast sicher auf keinem Intervall monoton ist.Dvoretzky, A.; Erdős, P.; Kakutani, S.: Nonincrease everywhere of the Brownian motion process. Proc. 4th Berkeley Sympos. Math. Statist. and Prob., Vol. II, pp. 103–116, University of California Press, Berkeley, 1960
Satz von Dvoretzky-Erdős-Kakutani Nachdem Norbert Wiener 1923 die Existenz der Brownschen Bewegung gezeigt hatte, bewies Paul Lévy 1940, dass die zweidimensionale Brownsche Bewegung fast sicher unendlich viele Selbstschnittpunkte besitzt. 1944 bewies Shizuo Kakutani, dass für sich zwei unabhängige -dimensionale Brownsche Bewegungen fast sicher nicht schneiden, das heißt
tritt fast sicher ein.
1950 schließlich charakterisierten Aryeh Dvoretzky, Paul Erdős und Shizuo Kakutani in einer gemeinsamen Arbeit das Schnittverhalten zweier unabhängiger Brownscher Bewegungen vollständig: Für zwei unabhängige Brownsche Bewegungen in gilt
während für die beiden Pfade fast sicher keinen Schnittpunkt besitzen.
Notation Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, und eine -dimensionale Brownsche Bewegung, welche in beginnt, das heißt geschieht -fast sicher. Dann definieren wir den Spann als die Menge
und den topologischen Abschluss dieser Mengen
Aussage Sei ein Produktraum und seien und zwei unabhängige -dimensionale Brownsche Bewegungen bezüglich dieses Wahrscheinlichkeitsraumes, die bei verschiedenen Punkten starten, das heißt geschieht -fast sicher und geschieht -fast sicher und .
Für das Produktmaß gilt nun:
Einzelnachweise
Dvoretzky-Erdos-Kakutani, Satz von