Ein simpliziales Objekt ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie eine Folge an Objekten mit speziellen Morphismen zwischen ihnen in einer Kategorie, welches eine kombinatorische Beschreibung ermöglicht. Ein kosimpliziales Objekt ist der dazu duale Begriff, jedoch eher von untergeordnetem Interesse.
Definition Für eine Kategorie ist mit der Simplexkategorie ein kontravarianter Funktor (oder alternativ ein kovarianter Funktor ) ein simpliziales Objekt und ein kovarianter Funktor ein kosimpliziales Objekt. Sowohl simpliziale als auch kosimpliziale Objekte bilden selbst Kategorien, nämlich Funktorkategorien, welche als:
bezeichnet werden.
Ein simpliziales Objekt besteht aus einer Folge von Objekten sowie stetigen Abbildungen (englisch degeneracy map)Cisinski 19, Notation 1.2.5 und (englisch face map) für alle und alle , sodass die simplizialen Identitäten erfüllt sind:Cisinski 19, Proposition 1.2.3
Beispiele Ein simpliziales Objekt in:
, der Kategorie der Mengen, ist eine simpliziale Menge. , der Kategorie der simplizialen Mengen, ist eine bisimpliziale Menge , der Kategorie der Gruppen, ist eine simpliziale Gruppe. , der Kategorie der topologischen Räume, ist ein simplizialer topologischer Raum.
Literatur
Weblinks
simplicial object auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie