Eine simpliziale Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie ein simpliziales Objekt in der Kategorie der Gruppen. Simpliziale Gruppen werden vor allem für die Verbindung zur Algebra verwendet, etwa in der Algebraischen Topologie für die Definition der singulären Homologie.
Definition Eine simpliziale Gruppe ist ein kontravarianter Funktor oder alternativ ein kovarianter Funktor aus der (dualen) Simplexkategorie in die Kategorie der Gruppen. Eine simpliziale Gruppe besteht also aus einer Folge von Gruppen sowie Gruppenhomomorphismen (englisch degeneracy map)Cisinski 19, Notation 1.2.5 und (englisch face map) für alle und alle , sodass die simplizialen Identitäten erfüllt sind:Cisinski 19, Proposition 1.2.3
Eigenschaften
Die zugrundeliegende simpliziale Menge einer simplizialen Gruppe ist ein Kan-Komplex.
Anwendung Eine wichtige Rolle spielen simpliziale abelsche Gruppen bei der Definition der singulären Homologie. Zentral ist dabei die Dold-Kan-Korrespondenz, welche zwar allgemein für abelsche Kategorien definiert ist, aber häufig für die Kategorie der simplizialen abelschen Gruppen verwendet wird. Singuläre Homologie in einem festen Grad kann dabei dargestellt werden als Komposition:
Dabei sind:
der singuläre Funktor, welcher rechtsadjungiert zur geometrischen Realisierung ist. die freie simpliziale abelsche Gruppe, welche sich durch Nachkomposition mit der freien abelschen Gruppe ergibt. Da der hintere Funktor linksadjungiert zum Vergissfunktor ist, ist der vordere Funktor entsprechend linksadjungiert zu dem durch Nachkomposition mit diesem resultierenden Vergissfunktor . (Nach einem der obigen Eigenschaften faktorisiert dieser Funktor über .) die Normalisierung, welche rechtsadjungiert zum Simplizierungsfunktor ist. Das ist genau die Dold-Kan-Korrespondenz.
Kategorie der simplizialen Gruppen Die Kategorie der simplizialen Gruppen wird als (siehe Funktorkategorie) bezeichnet. Der kanonische Vergissfunktor induziert durch Nachkomposition einen kanonischen Funktor . Nach einem der obigen Eigenschaften faktorisiert dieser Funktor über .
Modellstrukturen Modellstrukturen auf der Kategorie der Gruppen können über die injektive und projektive Modellstruktur auf die Kategorie der simplizialen Gruppen übertragen werden.
Siehe auch
Simpliziale Menge Bisimpliziale Menge Simplizialer topologischer Raum
Literatur
Weblinks
simplicial group, simplicial abelian group und free simplicial abelian group auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie