Ein simplizialer topologischer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie ein simpliziales Objekt in der Kategorie der topologischen Räume. Simpliziale topologische Räume dienen einer verallgemeinerten Betrachtung der Modellierung von CW-Komplexen durch simpliziale Mengen mithilfe der geometrischen Realisierung, welche zur Berücksichtigung vorab gewählter Topologien angepasst werden kann und dann hilfreichere Eigenschaften hat.
Definition Ein simplizaler topologischer Raum ist ein kontravarianter Funktor oder alternativ ein kovarianter Funktor aus der (dualen) Simplexkategorie in die Kategorie der topologischen Räume. (Häufig werden für bessere Eigenschaften lieber Unterkategorien wie die Kategorie der kompakt generierten topologischen Räume oder die Kategorie der kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume benutzt.) Ein simplizialer topologischer Raum besteht also aus einer Folge von topologischen Räumen sowie stetigen Abbildungen (englisch degeneracy map)Cisinski 19, Notation 1.2.5 und (englisch face map) für alle und alle , sodass die simplizialen Identitäten erfüllt sind:Cisinski 19, Proposition 1.2.3
Kategorie der simplizialen topologischen Räume Die Kategorie der simplizialen Gruppen wird als (siehe Funktorkategorie) bezeichnet. (Entsprechend sind und .) Der kanonische Vergissfunktor induziert durch Nachkomposition einen kanonischen Funktor .
Modellstrukturen Modellstrukturen auf der Kategorie der topologischen Räume können über die injektive und projektive Modellstruktur auf die Kategorie der simplizialen topologischen Räume übertragen werden.
Siehe auch
Simpliziale Menge Bisimpliziale Menge Simpliziale Gruppe
Literatur
Weblinks
simplicial topological space auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie