Der Begriff der algebraischen Struktur (oder universellen Algebra, allgemeinen Algebra oder nur Algebra) ist ein Grundbegriff und zentraler Untersuchungsgegenstand des mathematischen Teilgebietes der universellen Algebra. Eine algebraische Struktur ist gewöhnlich eine Menge, versehen mit Verknüpfungen auf dieser Menge. Eine Vielzahl der in der abstrakten Algebra untersuchten Strukturen wie Gruppen, Ringe oder Körper sind spezielle algebraische Strukturen.
Teilweise werden auch weitere Arten der Verknüpfungen zugelassen, sodass partielle Algebren, heterogene Algebren oder unendlichstellige Algebren untersucht werden.
Definition Eine algebraische Struktur oder allgemeine Algebra ist ein geordnetes Paar
bestehend aus einer Menge der Grundmenge oder Trägermenge der Algebra, und einer Familie von inneren (endlichstelligen) Verknüpfungen, auch Grundoperationen oder fundamentale Operationen genannt, auf
Eine innere -stellige Verknüpfung auf ist eine Funktion die Elemente aus immer auf ein Element aus abbildet. Eine nullstellige Verknüpfung auf kann als ein eindeutig bestimmtes, ausgezeichnetes Element in eine Konstante, interpretiert werden.
Notationen Konstanten werden meist mit einem speziellen Symbol (z. B. einem Buchstaben oder einem Zahlzeichen wie ) bezeichnet. Eine innere einstellige Verknüpfung ist eine Funktion von nach die oft durch ein Symbol bezeichnet wird, das unmittelbar (d. h. ohne zusätzliche Klammern oder Trennzeichen) vor, hinter, über etc. das Element (Argument) geschrieben wird.
Beispiele:
Beim Bild einer zweistelligen Verknüpfung wird in der Regel das Verknüpfungssymbol zur Vereinfachung zwischen die beiden Argumente geschrieben.
Beispiele: an Stelle von
Meistens hat eine Algebra nur endlich viele fundamentale Operationen man schreibt dann für die Algebra einfach nur
Der (Ähnlichkeits-) Typ (auch Signatur) einer Algebra ordnet jedem Index die jeweilige Stelligkeit der fundamentalen Operation zu, d. h., er ist eine Funktion für Der Typ kann ebenso als Familie geschrieben werden: Man kann die Indexmenge verstehen als ein Alphabet von Bezeichnern der Funktionen. Als Signatur wird dann gelegentlich das Paar bezeichnet.
So wird zum Beispiel eine Gruppe meist als Struktur aufgefasst, wobei die Trägermenge ist, eine zweistellige Verknüpfung von nach eine Konstante in und eine einstellige Verknüpfung von nach Eine Gruppe ist damit eine Algebra vom Typ
Bemerkungen Jede Menge lässt sich zu einer trivialen Algebra machen mit der identischen Abbildung Alternativ kann man auch eine leere Indexmenge zulassen, sodass als eine triviale Algebra mit einer leeren Familie von Verknüpfungen aufgefasst werden kann.
Arten algebraischer Strukturen Die jeweiligen Verknüpfungen von Algebren des gleichen Typs besitzen oft noch gemeinsame Eigenschaften, sodass man Algebren nach ihrem Typ und nach den Eigenschaften ihrer Verknüpfungen in verschiedene Klassen einteilen kann. Die Eigenschaften der konkret gegebenen Verknüpfungen einer Algebra spezifiziert man näher durch Axiome, die in der abstrakten Algebra (einem Teilgebiet der Mathematik) meist in Form von Gleichungen geschrieben werden und die Art der Algebra festlegen.
Ein Beispiel ist das Assoziativgesetz für eine innere zweistellige Verknüpfung auf einer Menge für alle Elemente aus Erfüllt nun die zweistellige Operation einer Algebra dieses Axiom (ersetze durch und durch ), dann gehört die Algebra zur Klasse der Halbgruppen, das heißt, sie ist eine Halbgruppe.
Beispiele Die meisten Strukturen, die in der Algebra betrachtet werden, sind algebraische Strukturen. Durch diese Fülle an Beispielen kann auch vom „Zoo“ der algebraischen Strukturen gesprochen werden.
Beispiel: Gruppen Als Beispiel für die Definition einer algebraischen Struktur betrachten wir eine Gruppe. Üblicherweise ist eine Gruppe definiert als ein Paar bestehend aus einer Menge und einer zweistelligen Verknüpfung sodass für alle in die folgenden drei Axiome erfüllt sind: (Assoziativität). Es gibt ein in , sodass (Existenz eines neutralen Elementes). Zu jedem gibt es ein in , sodass (Existenz inverser Elemente).
Manchmal findet man noch die Forderung der „Abgeschlossenheit“, dass wieder in liegen soll, aber aus der Sicht eines Algebraikers beinhaltet der Begriff der „zweistelligen Verknüpfung“ diese Eigenschaft bereits.
Diese Definition hat aber die Eigenschaft, dass die Axiome nicht allein durch Gleichungen ausgedrückt werden, sondern auch den Existenzquantor in Form der Existenz eines neutralen Elementes und der Existenz inverser Elemente enthalten. Dadurch haben Gruppen in dieser Schreibweise Unterstrukturen, die keine Gruppen sind und bilden keine Varietät. In der allgemeinen Algebra versucht man deshalb, solche Axiome mittels Quantorenelimination zu vermeiden. Durch Ändern der Signatur lässt sich eine Gruppe auch ohne Existenzquantoren definieren: Wir definieren eine Gruppe als ein Quadrupel mit einer Menge einer zweistelligen Verknüpfung einer Konstanten und einer einstelligen Verknüpfung , die den folgenden Axiomen genügen:
Es ist nun wichtig zu prüfen, ob damit auch die Definition einer Gruppe erreicht wurde. Tatsächlich sind die beiden Definitionen einer Gruppe gleichwertig.
Beispiel: Ringe und Körper Algebraische Axiome der Gruppe Ring kommutativerRing Schiefkörper(Divisionsring) Körper Kommutativgesetz bzgl. der Addition(additiv-kommutative Gruppe) Ja Ja Ja Ja Distributivgesetz Ja Ja Ja Ja Kommutativgesetz bzgl. der Multiplikation(multiplikativ-kommutative Gruppe) Nein Ja Nein Ja Multiplikativ Inverses existiertfür jedes Element außer 0. Nein Nein Ja Ja Jede der Strukturen (nicht-kommutative) Ringe, kommutative Ringe, Schiefkörper (auch: Divisionsring, Körper) und Körper lässt sich als algebraische Struktur beschreiben. Dabei sind und zweistellige Funktionen, ist eine einstellige Funktion, und sind Konstanten. Diese vier Klassen von Strukturen unterscheiden sich lediglich in den Axiomen, die eine Struktur erfüllen muss.
Weitere Beispiele von algebraischen Strukturen mini|Hierarchie algebraischer Strukturen (obere erfüllen weniger, untere mehr Gesetze)
In der folgenden Liste werden alle (zweistelligen) Verknüpfungen, neutrale Elemente (= nullstellige Verknüpfungen), Inversenabbildungen (= einstellige Verknüpfungen) und Operatorbereiche angegeben.
Im normalen Gebrauch gibt man dagegen für algebraische Strukturen nur die mehrstelligen Verknüpfungen und die Operatorbereiche an (manchmal noch die neutralen Elemente), für alle anderen gibt es meist Standardnotationen.
Eine nicht vollständige Liste verschiedener algebraischer Strukturen: Gruppoid oder Magma, auch Binar oder Operativ eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung Halbgruppe ein assoziatives Gruppoid. Halbverband eine kommutative Halbgruppe, in der jedes Element idempotent ist. Monoid eine Halbgruppe mit einem neutralen Element Gruppe ein Monoid mit einem inversen Element zu jedem Element Abelsche Gruppe eine kommutative Gruppe. Abelsche Gruppen werden bevorzugt additiv geschrieben und dann „Moduln“ genannt, das Inverse eines Elements bezeichnet man nun als das Entgegengesetzte Halbring eine Menge mit zwei Verknüpfungen (Addition) und (Multiplikation), mit denen und Halbgruppen sind und die Distributivgesetze erfüllt werden. Oft soll aber auch noch kommutativ sein und/oder ein neutrales Element 0, das Nullelement des Halbringes, besitzen: Die Definitionen sind hier nicht einheitlich! Verband eine Menge mit zwei Verknüpfungen (Vereinigung) und (Durchschnitt), sodass und kommutative Halbgruppen sind und die Absorptionsgesetze erfüllt werden. und sind dann Halbverbände. Boolescher Verband oder Boolesche Algebra und sind kommutative Monoide, ist ein Halbring und zu jedem Element gibt es ein Komplement Ring ist eine abelsche Gruppe und ist ein Halbring. Modul über einem Ring eine abelsche Gruppe mit Funktionen für jedes Ringelement , die für die skalare Multiplikation mit stehen, und Gleichungen, die die Modulaxiome widerspiegeln. Vektorraum: ist ein Modul über einem Körper. Die Klasse aller Strukturen der genannten Beispiele bildet jeweils auch eine Varietät.
Homomorphismen Strukturtreue Abbildungen, sogenannte Homomorphismen, zwischen je zwei algebraischen Strukturen und von derselben Art (sie haben also Verknüpfungen von jeweils gleichen Stelligkeiten und gleichen gegebenen spezifischen Eigenschaften) sind Abbildungen, die mit den Verknüpfungen der beiden algebraischen Strukturen verträglich sind. Jede algebraische Struktur hat deshalb ihren eigenen Homomorphismus-Begriff und definiert daher eine Kategorie.
Ein Homomorphismus von einer Struktur in eine Struktur ist also eine Abbildung , sodass für alle und alle wobei die Stelligkeit von und sei, die Gleichung gilt.
Notationen Einander entsprechende Verknüpfungen in und werden meist mit dem gleichen Symbol bezeichnet. So wird etwa in jeder betrachteten Gruppe die Gruppenoperation einheitlich z. B. geschrieben. Müssen im Einzelfall die beiden Verknüpfungen auseinandergehalten werden, werden in der Regel die Symbole ihrer Grundmengen oder ähnliches als Indizes beigefügt, also z. B. und . Ein Homomorphismus ist eine Funktion, die für jede Verknüpfung (mit der Stelligkeit ) die folgende Bedingung erfüllt:
Die besonderen Schreibweisen der null-, ein- und zweistelligen Verknüpfungen werden berücksichtigt: Sind jeweils die Konstanten nullstelliger Verknüpfungen, dann ist Ist jeweils eine einstellige Verknüpfung, dann ist Eine einstellige Verknüpfung kann auch als Exponent, Index usw. geschrieben werden: Mit und ergibt sich z. B. Für zweistellige Verknüpfungen ist
Besondere Homomorphismen Ein surjektiver Homomorphismus wird Epimorphismus genannt, ein injektiver Monomorphismus. Ein Homomorphismus von in sich (also falls gilt) heißt Endomorphismus. Ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrfunktion ebenfalls ein Homomorphismus ist, heißt Isomorphismus. Ist der Isomorphismus zugleich Endomorphismus, so heißt er Automorphismus.
Unterstrukturen (Unteralgebren) Ist die Grundmenge einer algebraischen Struktur, so kann man mit Hilfe der Verknüpfungen von auf einer Teilmenge eine neue algebraische Struktur des gleichen Typs definieren, falls die Menge so gewählt ist, dass die Verknüpfungen der ursprünglichen Struktur nicht aus der Menge herausführen. Das bedeutet, wenn man die Verknüpfungen der ursprünglichen algebraischen Struktur auf die Elemente von anwendet, dürfen keine Elemente entstehen, die nicht in sind – insbesondere müssen die Konstanten bereits in enthalten sein. In der konkreten Anwendung sind z. B. Untergruppen die Unterstrukturen einer Gruppe.
Bilder Ist ein Homomorphismus zwischen algebraischen Strukturen desselben Typs und denselben zu erfüllenden Gleichungen, so ist die Bildmenge eine Unterstruktur von .
Ist nämlich eine -stellige Funktion und sind , so gibt es mit und aus der Homomorphieeigenschaft folgt . Also ist unter allen abgeschlossen. Da die Gleichungen erst recht in Teilmengen erfüllt sind, ist eine Unterstruktur.
Produkte Bildet man das mengentheoretische direkte Produkt der Grundmengen mehrerer allgemeiner Algebren des gleichen Typs, so kann man wiederum eine neue Algebra gleichen Typs auf dieser Produktmenge erhalten, indem man die neuen Verknüpfungen dieser Algebra komponentenweise durch die Verknüpfungen der ursprünglichen Algebren definiert. Diese kann allerdings andere Eigenschaften haben, als die ursprüngliche Algebra; z. B. muss das Produkt von Körpern nicht mehr ein Körper sein.
Für eine Verallgemeinerung des direkten Produktes von Algebren siehe: Subdirektes Produkt. Dort wird auch der Darstellungssatz von Birkhoff vorgestellt, nach dem jede Algebra subdirektes Produkt subdirekt irreduzibler Algebren ist.
Kongruenzrelationen