Surreale Zahl

mini|Visualisierung einiger surrealer Zahlen Die surrealen Zahlen (von frz. surréalisme „über der Wirklichkeit“), auch Conway-Zahlen genannt, bilden eine Klasse von Zahlen, die alle reellen Zahlen umfasst, sowie „unendlich große“ Zahlen, die größer sind als jede reelle Zahl. Dabei ist jede reelle Zahl von surrealen Zahlen umgeben, die ihr näher sind als jede andere reelle Zahl, insbesondere gibt es „infinitesimale“ Zahlen, die näher bei Null liegen als jede positive reelle Zahl. Darin stimmen sie mit den hyperreellen Zahlen überein, aber sie werden auf eine substanziell andere Weise konstruiert und enthalten die hyperreellen Zahlen als Teilmenge.

Surreale Zahlen wurden zuerst von John Conway vorgestellt und 1974 im Detail beschrieben in Donald E. Knuths mathematischem Roman Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. In seinem Buch, das in Dialogform gehalten ist, prägte Knuth den Begriff surreale Zahlen für das, was Conway ursprünglich nur Zahlen nannte. Conway gefiel der neue Name, sodass er ihn später übernahm. Er beschrieb die surrealen Zahlen und nutzte sie zur Analyse von Spielen (unter anderem Go) in seinem Mathematikbuch On Numbers and Games (1976).

Motivation

Surreale Zahlen sind aus mehreren Gründen interessante Strukturen: Zum einen entstehen sie durch zwei einfache Regeln „aus dem Nichts“ und haben trotzdem ähnliche Eigenschaften wie die reellen Zahlen. Wir sind gezwungen, jede Aussage zu beweisen, die wir bei den reellen Zahlen für selbstverständlich erachten, z. B. dass gilt oder dass aus stets folgt. Die surrealen Zahlen sind daher eine gute Möglichkeit, Methoden der abstrakten Algebra zu üben. Von Conway wurden einige Anwendungen in der Spieltheorie präsentiert (siehe unten den Abschnitt zur Spieltheorie). Schließlich bilden die surrealen Zahlen wie die hyperreellen Zahlen ein Modell der Nichtstandardanalysis, in der z. B. infinitesimale Zahlen existieren.

Konstruktion

Die Grundidee hinter der Konstruktion der surrealen Zahlen ist ähnlich den Dedekind-Schnitten. Wir erzeugen eine neue Zahl, indem wir zwei Mengen und von Zahlen angeben, die die neue Zahl annähern. Die Menge besteht aus Zahlen, die kleiner sind als die neue Zahl, und ist eine Menge von Zahlen, die größer sind als die neue Zahl. Wir schreiben eine solche Darstellung als . An die Mengen und stellen wir nur die Bedingung, dass jedes Element von kleiner sein soll als jedes Element von . Zum Beispiel ist eine gültige („wohlgeformte“) Konstruktion einer bestimmten Zahl zwischen und . (Welche das ist, wird später erklärt.) Es ist ausdrücklich erlaubt, dass die Mengen leer sind. Die Interpretation der Darstellung ist „eine Zahl, die größer ist als jede Zahl in “, und ist „eine Zahl, die kleiner ist als jede Zahl in “. Das Konstruktionsprinzip der surrealen Zahlen ist allerdings hochrekursiv; neben einer Konstruktionsregel brauchen wir auch eine Vergleichsregel für die rekursiv erklärte Ordnungsrelation (kleinergleich), die für die Anwendung der Konstruktionsregel benutzt werden muss.

Konstruktions- und Vergleichsregel

Konstruktionsregel Sind und zwei Mengen von surrealen Zahlen und kein Element von ist kleiner oder gleich einem Element von , dann ist eine surreale Zahl. Jede surreale Zahl lässt sich auf diese Art beschreiben.

Ist eine surreale Zahl gegeben, dann nennen wir die linke Menge und die rechte Menge von .

Vergleichsregel Für zwei surreale Zahlen und gilt , falls kleinergleich keinem Element von ist und kein Element von kleinergleich ist.

Zur Vereinfachung der Notation lassen wir die Mengenklammern und die leere Menge bei linker und rechter Menge weg, wo keine Missverständnisse zu befürchten sind, d. h. wir schreiben z. B. für bzw. für . Ein Objekt , das die Kleiner-Gleich-Bedingung erfüllt, nennt man auch wohlgeformt, um es von später betrachteten Objekten ohne diese Bedingung zu unterscheiden (den sogenannten Games).

Diese beiden Regeln sind rekursiv, also brauchen wir eine Form von Induktion, um mit ihnen zu arbeiten. Ein Kandidat wäre die vollständige Induktion, aber wie wir später sehen werden, macht erst die transfinite Induktion die Sache richtig interessant, d. h., wenn man diese Regeln „mehr als endlich oft“ anwendet.

Relationen

Damit die erzeugten Objekte sinnvollerweise Zahlen genannt werden können, sollten sie eine totale Ordnung haben. Die Relation ist jedoch nur eine totale Quasiordnung, d. h. sie ist reflexiv und transitiv, aber nicht antisymmetrisch (aus und folgt nicht notwendig, dass ). Um dem abzuhelfen, definieren wir eine Relation auf den surrealen Zahlen:

Es gelte genau dann, wenn und

Dies ist eine Äquivalenzrelation, und die Äquivalenzklassen sind total geordnet. Liegen und in derselben Äquivalenzklasse, dann stellen sie dieselbe surreale Zahl dar. Die Äquivalenzklasse von schreiben wir als , wobei ein Repräsentant der Klasse ist. Es ist also gleichwertig zu . Dieses Vorgehen entspricht der Konstruktion der rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen von Brüchen ganzer Zahlen, der Konstruktion der reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen oder der Konstruktion der hyperreellen Zahlen als Äquivalenzklassen von reellen Folgen.

Beispiele

Betrachten wir nun einige Beispiele von surrealen Zahlen. Da wir noch keine surrealen Zahlen kennen, ist die einzige Menge, die wir für und nehmen können, die leere Menge. Unsere erste Zahl ist also

Diese Zahl erfüllt die Konstruktionsregel, da die leere Menge kein Element enthält, das irgendeine Bedingung verletzen könnte. Wir nennen sie und ihre Äquivalenzklasse schreiben wir als . Nach der Vergleichsregel gilt .

Durch Anwendung der Konstruktionsregel erhalten wir die Zahlen und

Die letzte Zahl ist jedoch wegen keine wohlgeformte surreale Zahl. Die bisher gefundenen Zahlen lassen sich so ordnen:

Dabei bedeutet , dass nicht gilt. Wir nennen die neuen Zahlen und und ihre Äquivalenzklassen und . Da die Äquivalenzklassen bisher nur je ein Element enthalten, können wir diese Anordnung auch schreiben als

.

Wenden wir die Konstruktionsregel noch ein Mal auf jede mögliche Weise an, erhalten wir neben einigen ungültigen Zahlen auch die wohlgeformten surrealen Zahlen

Wir machen drei Beobachtungen: Wir haben vier neue Äquivalenzklassen, , , und . Alle Äquivalenzklassen enthalten jetzt mehr als ein Element. Der Wert einer surrealen Zahl hängt nur vom größten Element ihrer linken Menge und vom kleinsten Element ihrer rechten Menge ab.

Die erste Beobachtung führt uns auf die Frage, wie diese neuen Äquivalenzklassen zu interpretieren sind. Da kleiner ist als , nennen wir sie und ihre Äquivalenzklasse . Die Zahl nennen wir , liegt zwischen und und wir nennen sie , und nennen wir . Die Äquivalenzklassen schreiben wir als , , und . Eine weitere Begründung für diese Bezeichnungen erhalten wir, wenn wir die Addition und Multiplikation definiert haben.

Die zweite Beobachtung führt uns zur Frage, ob wir immer noch eine surreale Zahl mit ihrer Äquivalenzklasse identifizieren können. Die Antwort ist positiv, denn man kann zeigen:

Wenn und , dann .

Dabei ist die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von . So können wir die Auflistung von oben umschreiben zu

oder kürzer

.

Die dritte Beobachtung lässt sich auf beliebige surreale Zahlen mit endlichen linken und rechten Mengen verallgemeinern. Die oben angesprochene Zahl ist also gleich und wird später noch genauer angegeben. Unendliche Mengen müssen kein größtes Element enthalten, daher gilt für Zahlen mit unendlichen Mengen nur eine abgewandelte Aussage.

Rechnen mit surrealen Zahlen

Die Addition und Multiplikation surrealer Zahlen wird über die folgenden drei Regeln definiert:

Addition

Negation

Multiplikation .

Hierbei benutzen wir die mengentheoretische Erweiterung der Operatoren , d. h. es bedeuten beispielsweise ,

und .

Diese Verknüpfungen sind wohldefiniert in dem Sinne, dass die Verknüpfung von wohlgeformten surrealen Zahlen wieder eine wohlgeformte surreale Zahl ist, d. h. eine Zahl, deren linke Menge „kleiner“ als die rechte Menge ist.

Mit diesen Rechenvorschriften können wir nun feststellen, dass die bisher vergebenen Namen passen, denn es gilt zum Beispiel , , und . (Man beachte die Unterscheidung zwischen der Gleichheit „“ und der Äquivalenz „“!)

Die Verknüpfungen lassen sich auf die Äquivalenzklassen übertragen, denn wegen

Aus und folgt und und .

sind sie auch wohldefinierte Verknüpfungen der Äquivalenzklassen. Schließlich kann man zeigen, dass die Verknüpfungen der Äquivalenzklassen schöne algebraische Eigenschaften haben:

Die Äquivalenzklassen zusammen mit der Ordnung und den algebraischen Verknüpfungen erfüllen alle Eigenschaften eines geordneten Körpers, sie sind allerdings keine Menge, sondern eine echte Klasse und deshalb im Sinne seiner Definition kein geordneter Körper.

Wir unterscheiden im Folgenden nicht mehr zwischen einer surrealen Zahl und ihrer Äquivalenzklasse, nennen also die Äquivalenzklasse selbst eine surreale Zahl.

Erzeugung durch vollständige (endliche) Induktion

Bisher haben wir nicht systematisch danach geschaut, welche Zahlen wir durch die Konstruktionsregel erhalten und welche nicht. Wir beginnen mit den Zahlen, die wir in endlich vielen Schritten erreichen können. Das tun wir induktiv, indem wir Mengen für jede natürliche Zahl wie folgt definieren:

ist die Menge zusammen mit allen surrealen Zahlen, die in einem Konstruktionsschritt aus Teilmengen von erzeugt werden.

Die Menge aller surrealen Zahlen, die in irgendeinem liegen, nennen wir . Die ersten Mengen von surrealen Zahlen sind

Wir beobachten zwei Dinge: In jedem Schritt steigt das Maximum um und sinkt das Minimum um . In jedem Schritt finden wir zwischen zwei benachbarten Zahlen eine neue Zahl.

Eine Folgerung davon ist, dass wir auf diese Weise genau alle dyadischen Brüche erzeugen können, d. h. jede rationale Zahl der Form

mit einer ganzen Zahl und einer natürlichen Zahl liegt in . Jedoch werden wir andere Brüche wie , , , in keinem finden, solange eine natürliche Zahl ist. Was man stattdessen für nehmen könnte, dazu kommen wir im nächsten Abschnitt.

„Ins Unendliche und darüber hinaus“

Da wir nun eine weitere Menge von surrealen Zahlen haben, hindert uns nichts daran, die Konstruktionsregel auf sie anzuwenden und Mengen , usw. zu konstruieren. Die Mengen auf der linken und rechten Seite von surrealen Zahlen können jetzt unendlich groß werden.

Tatsächlich können wir mittels transfiniter Rekursion für jede Ordinalzahl eine Menge von surrealen Zahlen definieren.

Die kleinste Ordinalzahl , so dass eine surreale Zahl in der Menge enthalten ist, nennen wir den Geburtstag von . Zum Beispiel ist der Geburtstag von und ist der Geburtstag von .

Man kann zeigen, dass durch den Ausdruck für surreale Zahlen die „älteste“ surreale Zahl zwischen und dargestellt wird. Die oben angesprochene Zahl ist gleich und die älteste Zahl zwischen und ist die , also .

Schon in finden wir die Brüche, die uns in noch fehlten. Zum Beispiel ist . Die Korrektheit dieser Definition folgt aus der Äquivalenz . Der Geburtstag von ist .

In sind bereits alle reellen Zahlen enthalten. Man veranschauliche sich das mit der Tatsache, dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl definiert und jede reelle Zahl durch Intervallschachtelungen darstellbar ist. Nun sind alle Zahlen mit der Darstellung ( beliebige ganze Zahlen) bereits in enthalten. Zudem kann man mit diesen Zahlen als Grenzen bereits für alle reellen Zahlen Intervallschachtelungen finden. Jetzt nehme man die unteren Grenzen dieser Intervallschachtelung in die linke Menge und die oberen Grenzen der Intervallschachtelung in die rechte Menge und schon hat man die gewünschte reelle Zahl als Bestandteil von .

Eine andere Zahl, die in liegt, ist .