mini|300px|Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung für ; (blau), (grün) und (rot) mini|300px|Binomialverteilungen für mit und wie im Pascalschen DreieckDie Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel in einem Galtonbrett mit acht Ebenen () ins mittlere Fach fällt (), ist . Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben („Erfolg“ oder „Misserfolg“). Solche Versuchsserien werden auch Bernoulli-Prozesse genannt. Im Urnenmodell wird ein solcher Versuch als Ziehen mit Zurücklegen bezeichnet.
Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch und die Anzahl der Versuche, dann bezeichnet man mit (auch , , Peter Kissel: MAC08 Stochastik (Teil 2). Studiengemeinschaft Darmstadt 2014, S. 12. oder Bigalke, Köhler: Mathematik 13.2 Grund- und Leistungskurs. Cornelsen, Berlin 2000, S. 130.) die Wahrscheinlichkeit, genau Erfolge zu erzielen (siehe Abschnitt Definition).
Die Binomialverteilung und der Bernoulli-Versuch können mit Hilfe des Galtonbretts veranschaulicht werden. Dabei handelt es sich um eine mechanische Apparatur, in die von oben Kugeln geworfen werden. Diese fallen dann zufällig in eines von mehreren Fächern, wobei die Aufteilung der Binomialverteilung entspricht. Je nach Konstruktion sind unterschiedliche Parameter und möglich.
Die Binomialverteilung wurde von Jakob Bernoulli in seinem Werk Ars Conjectandi (1713) eingeführt. Der Begriff fand erstmals 1895 durch Karl Pearson Eingang in der Fachliteratur.
Definition Wahrscheinlichkeitsfunktion, Verteilungsfunktion, Eigenschaften Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
heißt die Binomialverteilung zu den Parametern (Anzahl der Versuche) und (der Erfolgs- oder Trefferwahrscheinlichkeit). Bei dieser Formel wird die Konvention angewendet (siehe dazu null hoch null). ist der Binomialkoeffizient.
Eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Binomialverteilung ist, heißt binomialverteilt. Die Binomialverteilung mit den Parametern und wird mit oder bezeichnet. Wenn eine Zufallsvariable die Binomialverteilung besitzt, so wird dies notiert.
Die obige Formel kann so verstanden werden: Wir brauchen bei insgesamt Versuchen genau Erfolge der Wahrscheinlichkeit und haben demzufolge genau Fehlschläge der Wahrscheinlichkeit . Allerdings kann jeder der Erfolge bei jedem der Versuche auftreten, sodass wir noch mit der Anzahl der Teilmengen einer Menge multiplizieren müssen. Denn genau so viele Möglichkeiten gibt es, aus allen Versuchen die erfolgreichen auszuwählen.
Die zur Erfolgswahrscheinlichkeit komplementäre Ausfallwahrscheinlichkeit wird häufig mit abgekürzt.
Wie für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung notwendig, müssen sich die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte zu 1 summieren. Dies ergibt sich aus dem binomischen Lehrsatz wie folgt:
Eine mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion verteilte Zufallsgröße heißt dementsprechend binomialverteilt mit den Parametern und sowie der Verteilungsfunktion
,
wobei die Minimumsfunktion und die Abrundungsfunktion bezeichnet.Bei der letzten Summe kann der obere Index nur dann durch ersetzt werden, falls oder ist (andernfalls würden Potenzen von mit negativen Exponenten auftreten).
Weitere gebräuchliche Schreibweisen der kumulierten Binomialverteilung sind , Peter Kissel: MAC08 Stochastik. Teil 2. Studiengemeinschaft Darmstadt 2014, S. 23. und .Bigalke, Köhler: Mathematik 13.2 Grund- und Leistungskurs. Cornelsen, Berlin 2000, S. 144 ff.
Herleitung als Laplace-Wahrscheinlichkeit Versuchsschema: Eine Urne enthält Bälle, davon sind schwarz und weiß. Die Wahrscheinlichkeit , einen schwarzen Ball zu ziehen, ist also . Es werden nacheinander zufällig Bälle entnommen, ihre Farbe bestimmt und wieder zurückgelegt.
Wir berechnen die Anzahl der Möglichkeiten, in denen man schwarze Bälle findet, und daraus die sogenannte Laplace-Wahrscheinlichkeit („Anzahl der für das Ereignis günstigen Möglichkeiten, geteilt durch die Gesamtanzahl der (gleichwahrscheinlichen) Möglichkeiten“).
Bei jeder der Ziehungen gibt es Möglichkeiten, insgesamt also Möglichkeiten für die Auswahl der Bälle. Damit genau dieser Bälle schwarz sind, müssen genau der Ziehungen einen schwarzen Ball aufweisen. Für jeden schwarzen Ball gibt es Möglichkeiten, und für jeden weißen Ball Möglichkeiten. Die schwarzen Bälle können noch auf mögliche Weisen über die Ziehungen verteilt sein, also gibt es
Fälle, bei denen genau schwarze Bälle ausgewählt worden sind. Die Wahrscheinlichkeit , unter Bällen genau schwarze zu finden, ist also
Beispiele
Spielwürfel Die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen Spielwürfel eine 6 zu würfeln, beträgt . Die Wahrscheinlichkeit , dass dies nicht der Fall ist, beträgt . Angenommen, man würfelt 10-mal (), dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass kein einziges Mal eine 6 gewürfelt wird, . Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2-mal eine 6 gewürfelt wird, beträgt . Allgemein wird die Wahrscheinlichkeit, dass man -mal eine solche Zahl würfelt , durch die Binomialverteilung beschrieben.
Häufig wird der durch die Binomialverteilung beschriebene Prozess auch durch ein sogenanntes Urnenmodell illustriert. In einer Urne seien z. B. 6 Kugeln, 1 davon weiß, die anderen schwarz. Man greife nun 10-mal in die Urne, hole eine Kugel heraus, notiere deren Farbe und lege die Kugel wieder zurück. In einer speziellen Deutung dieses Prozesses wird das Ziehen einer weißen Kugel als positives Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit verstanden, das Ziehen einer nicht-weißen Kugel als negatives Ereignis. Die Wahrscheinlichkeiten sind genauso verteilt wie im Beispiel mit dem Spielwürfel.
Münzwurf Eine Münze wird 7-mal geworfen. Wenn die diskrete Zufallsvariable die Anzahl der Würfe zählt, mit denen „Zahl“ geworfen wird, ergibt sich für eine Binomialverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten lassen sich in folgender Tabelle zusammenfassen:
Der Erwartungswert der Zufallsvariablen ist
.
Die Varianz der Zufallsvariablen ist demnach gegeben durch
Mit dem Verschiebungssatz erhält man ebenfalls den gleichen Wert für die Varianz:
.
Für die Standardabweichung ergibt sich damit:
.
Eigenschaften
Symmetrie Die Binomialverteilung ist in den Spezialfällen , und symmetrisch und ansonsten asymmetrisch. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung besitzt die Eigenschaft .
Erwartungswert Eine binomialverteilte Zufallsvariable besitzt den Erwartungswert .
Beweis
Den Erwartungswert errechnet man direkt aus der Definition und der Formel für die Einzelwahrscheinlichkeiten zu
Alternativ kann man verwenden, dass eine -verteilte Zufallsvariable als eine Summe von unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen mit geschrieben werden kann. Mit der Linearität des Erwartungswertes folgt dann
Alternativ kann man ebenfalls mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes folgenden Beweis geben: Differenziert man bei der Gleichung
beide Seiten nach , ergibt sich , also .
Mit und folgt das gewünschte Ergebnis.
Varianz Eine binomialverteilte Zufallsvariable besitzt die Varianz .
Beweis
Es sei eine -verteilte Zufallsvariable. Die Varianz bestimmt sich direkt aus dem Verschiebungssatz zu
oder alternativ aus der Gleichung von Bienaymé, angewendet auf die Varianz unabhängiger Zufallsvariablen, wenn man berücksichtigt, dass die identisch verteilten Zufallsvariablen der Bernoulli-Verteilung mit genügen, zu
Die zweite Gleichheit gilt, weil die Einzelexperimente unabhängig sind, sodass die Einzelvariablen unkorreliert sind.
Variationskoeffizient Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten
Schiefe Die Schiefe ergibt sich für zu
Insbesondere ist die Binomialverteilung rechtsschief für und linksschief für .
Wölbung Die Wölbung lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als
Damit ist der Exzess
Modus Der Modus, also der Wert mit der maximalen Wahrscheinlichkeit, ist für gleich und für gleich . Falls eine natürliche Zahl ist, ist ebenfalls ein Modus. Falls der Erwartungswert eine natürliche Zahl ist, ist der Erwartungswert gleich dem Modus.
Beweis
Sei ohne Einschränkung . Wir betrachten den Quotienten
.
Nun gilt , falls und , falls . Also:
Und nur im Fall hat der Quotient den Wert 1, d. h. .
Median Es ist nicht möglich, eine allgemeine Formel für den Median der Binomialverteilung anzugeben. Daher sind verschiedene Fälle zu betrachten, die einen geeigneten Median liefern:
Ist eine natürliche Zahl, dann stimmen Erwartungswert, Median und Modus überein und sind gleich .Lord, Nick. (July 2010). Binomial averages when the mean is an integer, The Mathematical Gazette 94, 331–332. Ein Median liegt im Intervall . Hierbei bezeichnen die Abrundungsfunktion und die Aufrundungsfunktion. Ein Median kann nicht zu stark vom Erwartungswert abweichen: . Der Median ist eindeutig und stimmt mit round überein, wenn entweder oder oder (außer wenn und gerade ist). Ist und ungerade, so ist jede Zahl im Intervall ein Median der Binomialverteilung mit Parametern und . Ist und gerade, so ist der eindeutige Median.
Kumulanten Analog zur Bernoulli-Verteilung ist die kumulantenerzeugende Funktion . Damit sind die ersten Kumulanten und es gilt die Rekursionsgleichung
Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion hat die Form
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion der Binomialverteilung lautet
Summe binomialverteilter Zufallsgrößen Für die Summe zweier unabhängiger binomialverteilter Zufallsgrößen und mit den Parametern , und , erhält man die Einzelwahrscheinlichkeiten durch Anwendung der Vandermondeschen Identität
also wieder eine binomialverteilte Zufallsgröße, jedoch mit den Parametern und . Somit gilt für die Faltung
Die Binomialverteilung ist also reproduktiv für festes bzw. bildet eine Faltungshalbgruppe.
Wenn die Summe bekannt ist, folgt jede der Zufallsvariablen und unter dieser Bedingung einer hypergeometrischen Verteilung. Dazu berechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit:
Dies stellt eine hypergeometrische Verteilung dar.
Allgemein gilt: Wenn die Zufallsvariablen stochastisch unabhängig sind und den Binomialverteilungen genügen, dann ist auch die Summe binomialverteilt, jedoch mit den Parametern und . Addiert man binomialverteilte Zufallsvariablen mit , dann erhält man eine verallgemeinerte Binomialverteilung.
Beziehung zu anderen Verteilungen Beziehung zur Bernoulli-Verteilung Ein Spezialfall der Binomialverteilung für ist die Bernoulli-Verteilung. Die Summe von unabhängigen und identischen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt demnach der Binomialverteilung.
Beziehung zur verallgemeinerten Binomialverteilung Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der verallgemeinerten Binomialverteilung mit für alle . Genauer ist sie für festen Erwartungswert und feste Ordnung diejenige verallgemeinerte Binomialverteilung mit maximaler Entropie.
Übergang zur Normalverteilung Nach dem Satz von Moivre-Laplace konvergiert die Binomialverteilung im Grenzfall gegen eine Normalverteilung, d. h., die Normalverteilung kann als brauchbare Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und der Anteil der gesuchten Ausprägung nicht zu klein ist. Mit dem Galtonbrett kann man die Annäherung an die Normalverteilung experimentell nachempfinden.
Es gilt und Durch Einsetzen in die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung folgt