Die Poisson-Verteilung (benannt nach dem Mathematiker Siméon Denis Poisson) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit der die Anzahl von Ereignissen modelliert werden kann, die bei konstanter mittlerer Rate unabhängig voneinander in einem festen Zeitintervall oder räumlichen Gebiet eintreten. Sie ist eine univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die einen häufig vorkommenden Grenzwert der Binomialverteilung für unendlich viele Versuche darstellt. Sie lässt sich aber auch aus grundlegenden Prozesseigenschaften axiomatisch herleiten.
Eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Poisson-Verteilung ist, heißt Poisson-verteilt. Die Zuwächse eines Poisson-Prozesses sind Poisson-verteilte Zufallsvariablen. Erweiterungen der Poisson-Verteilung wie die verallgemeinerte Poisson-Verteilung und die gemischte Poisson-Verteilung werden vor allem im Bereich der Versicherungsmathematik angewendet.
Die Poisson-Verteilung spielt eine wichtige Rolle bei diskret-stabilen Verteilungen.
Definition Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird durch einen reellen Parameter bestimmt, der den Erwartungswert und gleichzeitig die Varianz der Verteilung beschreibt. Sie ordnet den natürlichen Zahlen die Wahrscheinlichkeiten
zu, wobei die Eulersche Zahl und die Fakultät von bezeichnet. Der Parameter beschreibt anschaulich die bei einer Beobachtung erwartete Ereignishäufigkeit. Die Poisson-Verteilung gibt dann die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Ereignisanzahl im Einzelfall an, wenn die mittlere Ereignisrate bekannt ist.
Beispiele
Radioaktivität An einer radioaktiven Probe aus Uran werden pro Sekunde im Mittel Zerfälle gemessen. Da die Zerfallsereignisse approximativ unabhängig voneinander sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Zeitintervall von 1 Sekunde Zerfallsereignisse gemessen werden, etwa durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Poisson-Verteilung gegeben:
Die Werte sind für in folgender Tabelle aufgelistet: k 0 0,011109 1 0,049990 2 0,112479 3 0,168718 4 0,189808 5 0,170827 6 0,128120 7 0,082363 8 0,046329 9 0,023165 10 0,010424 11 0,004264 12 0,001599 13 0,000554 14 0,000178 15 0,000053 16 0,000015 17 0,000004 18 0,000001 19 0,000000 20 0,000000 Summe 1,000000
Ergebnisse beim Fußball Die Fußballmannschaft von SK Rapid Wien erzielt im Mittel 1,39 Tore pro Spiel. Die Fußballmannschaft von SK Sturm Graz hat eine Torquote von 1,61 pro Spiel. Es sollen die Wahrscheinlichkeiten berechnet werden, dass bei einem Match zwischen SK Rapid Wien und SK Sturm Graz bestimmte Ergebnisse erzielt werden. Es wird vereinfacht angenommen, dass die Anzahlen der Tore der zwei Mannschaften stochastisch unabhängig sind. Für das Endergebnis ergibt sich das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der zwei Poisson-Verteilungen und mit und , also
Die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse 0:0, 0:1, 0:2, 0:3, 1:0, 1:1, 1:2, 1:3, 2:0, 2:1, 2:2, 2:3, 3:0, 3:1, 3:2, 3:3 zeigt die folgende Tabelle: k1:k2012300,04980,08020,06450,034610,06920,11140,08970,048120,04810,07740,06230,033530,02230,03590,02890,0155 Das Ergebnis 1:1 hat mit die größte Wahrscheinlichkeit.Georg Berschneider, René L. Schilling, Technische Universität Dresden: Die Poisson-Verteilung, Fußballtore und das Gesetz der kleinen ZahlenAlexander Kager: Ist Fußball (un)berechenbar - wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtungen in der Sekundarstufe II
Eigenschaften Rekursionsformel Es gilt die Rekursionsformel
für mit .
Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion der Poisson-Verteilung ist
und gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, höchstens Ereignisse zu finden, wo man im Mittel erwartet. Dabei bezeichnet die regularisierte Gammafunktion der unteren Grenze.
Erwartungswert, Varianz, Moment Ist die Zufallsvariable Poisson-verteilt, also , so ist zugleich Erwartungswert und Varianz, denn es gilt
sowie
Nach dem Verschiebungssatz folgt hiermit
Auch für das dritte zentrierte Moment gilt .
Median Es liegt die Vermutung nahe, dass der Median nahe bei liegt. Eine exakte Formel existiert jedoch nicht, die genauestmögliche Abschätzung istAdell, Jodra: The median of the poisson distribution. In: Metrika, 61, 2005, S. 337–346, doi:10.1007/s001840400350.
Variationskoeffizient Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten .
Schiefe und Wölbung Die Schiefe ergibt sich zu . Die Wölbung lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als . und der Exzess als .
Höhere Momente Das -te Moment lässt sich als Polynom von Grad in angeben und ist das -te vollständige Bell-Polynom , ausgewertet an den Stellen :A. Papoulis: Poisson Process and Shot Noise. In: Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. 2. Aufl. McGraw-Hill, New York 1984, S. 554–576. .
Kumulanten Die kumulantenerzeugende Funktion der Poisson-Verteilung ist .
Damit sind alle Kumulanten gleich .
Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion hat die Form .
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man .
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion der Poisson-Verteilung ist
Reproduktivität Die Poisson-Verteilung ist reproduktiv, d. h., die Summe stochastisch unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsvariablen mit den Parametern ist wieder Poisson-verteilt mit dem Parameter . Für die Faltung gilt also
Somit bilden die Poisson-Verteilungen eine Faltungshalbgruppe. Dieses Ergebnis folgt unmittelbar aus der charakteristischen Funktion der Poisson-Verteilung und der Tatsache, dass die charakteristische Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der charakteristischen Funktionen ist.
Die Poisson-Verteilung ist also auch unendlich teilbar. Nach einem Satz des sowjetischen Mathematikers Dmitri Abramowitsch Raikow gilt auch die Umkehrung: Ist eine Poisson-verteilte Zufallsvariable die Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen und , dann sind die Summanden und ebenfalls Poisson-verteilt. Eine Poisson-verteilte Zufallsvariable lässt sich also nur in Poisson-verteilte unabhängige Summanden zerlegen. Dieser Satz ist ein Analogon zu dem Satz von Cramér für die Normalverteilung.
Ausdünnung Häufig kommen stochastische Experimente vor, bei denen die Ereignisse eigentlich Poisson-verteilt sind, aber die Zählung nur erfolgt, wenn noch eine zusätzliche Bedingung erfüllt ist. Beispielsweise könnte die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, Poisson-verteilt sein, aber aus jedem Ei schlüpft nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eine Larve. Ein Beobachter dieser Poisson-verteilten Zufallsvariable mit Parameter zählt jedes Ereignis also nur mit einer Wahrscheinlichkeit (unabhängig voneinander).
Alternativ könnte aber auch ein Fehler bei der Zählung dazu führen, dass das Ereignis nicht registriert wird. Wenn also ursprünglich Ereignisse vorliegen, werden entsprechend der Binomial-Verteilung nur Ereignisse gezählt. In diesem Fall ist der wahre Wert unbekannt und variiert zwischen dem gemessenen Wert (alle vorhandenen Ereignisse gesehen) und unendlich (es gab mehr Ereignisse, als gesehen wurden). Die Wahrscheinlichkeit eines Messwertes findet man dann mittels des Produktes der Wahrscheinlichkeit einer erfolgreichen Messung und der ursprünglichen Poisson-Verteilung , summiert über alle möglichen Werte : . Die gefundenen Werte bei Nachweiswahrscheinlichkeit sind also wieder Poisson-verteilt. Die Nachweiswahrscheinlichkeit reduziert den Parameter der ursprünglichen Poisson-Verteilung zu . Dies bezeichnet man auch als Ausdünnung der Poisson-Verteilung.
Berechnung Die Berechnung von kann folgendermaßen rekursiv erfolgen. Zuerst bestimmt man , dann ergeben sich nacheinander . Mit wachsendem werden dabei die Wahrscheinlichkeiten größer, solange ist. Wird , schrumpfen sie. Der Modus, also der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit, beträgt , wenn nicht ganzzahlig ist, anderenfalls gibt es zwei benachbarte (siehe Diagramm rechts oben).
Falls die Berechnung von wegen zu großer Werte von und Probleme bereitet, dann kann folgende mit der Stirlingformel erhaltene Näherung weiterhelfen:
Poisson-verteilte Zufallszahlen werden üblicherweise mit Hilfe der Inversionsmethode erzeugt.
Parameterschätzung Maximum-Likelihood-Schätzer Aus einer Stichprobe von Beobachtungen für soll der Parameter der Poisson-verteilten Grundgesamtheit geschätzt werden. Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist gegeben durch das arithmetische Mittel
.
Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist ein erwartungstreuer, effizienter und suffizienter Schätzer für den Parameter .
Konfidenzintervall Das Konfidenzintervall für erhält man aus der Beziehung zwischen Poisson- und Chi-Quadrat-Verteilung. Liegt ein Stichprobenwert vor, dann ist ein Konfidenzintervall für zum Konfidenzniveau gegeben durch
,
wobei die Quantilfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden bezeichnet.
Prognoseintervall Das Prognoseintervall hat die Aufgabe, vor dem Ziehen einer Stichprobe einen Bereich vorherzusagen, in dem man die Realisierung einer Schätzfunktion mit hoher Wahrscheinlichkeit findet. Die Anzahl Poisson-verteilter Ereignisse, die mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird, lässt sich aus der Inversion der Verteilungsfunktion berechnen:
Dabei lässt sich wieder durch die regularisierte Gammafunktion ausdrücken. Eine elementare Form der Inversion der Verteilungsfunktion oder der Gammafunktion ist nicht bekannt. Gute Dienste leistet in diesem Fall eine zweispaltige Wertetabelle, die leicht mit der oben im Abschnitt Verteilungsfunktion angegebenen Summe berechenbar ist und zeigt, welche Wahrscheinlichkeiten bestimmten Werten von zugeordnet sind.
Beziehung zu anderen Verteilungen Beziehung zur Binomialverteilung
Ebenso wie die Binomialverteilung sagt die Poisson-Verteilung das zu erwartende Ergebnis einer Serie von Bernoulli-Experimenten voraus. Letzteres sind Zufallsexperimente, die nur zwei mögliche Ergebnisse kennen (zum Beispiel „Erfolg“ und „Misserfolg“), also einen dichotomen Ereignisraum besitzen. Wird das zeitliche oder räumliche Beobachtungsintervall immer weiter unterteilt, erhöht sich damit die Zahl der Versuche . Die fortschreitende Unterteilung bedingt eine Abnahme der Erfolgswahrscheinlichkeit derart, dass das Produkt gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. Dementsprechend nähert sich die binomiale Wahrscheinlichkeitsverteilung der mathematisch etwas einfacheren Poisson-Verteilung an.
Die Poisson-Verteilung lässt sich aus der Binomialverteilung herleiten. Sie ist die Grenzverteilung der Binomialverteilung bei sehr kleinen Anteilen der interessierenden Merkmale und sehr großem Stichprobenumfang: und unter der Nebenbedingung, dass das Produkt einen Wert annimmt, der weder null noch unendlich ist. ist dann für alle in der Grenzwertbildung betrachteten Binomialverteilungen wie auch für die resultierende Poisson-Verteilung der Erwartungswert.
Aus der Poisson-Approximation folgt, dass der Wert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable an der Stelle der Grenzwert einer Binomialverteilung mit an der Stelle ist:
Sowohl die Poisson-Verteilung als auch die Binomialverteilung sind Spezialfälle der Panjer-Verteilung.
Beziehung zur verallgemeinerten Binomialverteilung Auch die verallgemeinerte Binomialverteilung kann für große Stichproben und kleine Erfolgswahrscheinlichkeiten mittels der Poisson-Approximation angenähert werden.
Beziehung zur Normalverteilung mini|Die Poisson-Wahrscheinlichkeiten für λ = 30 werden durch eine Normalverteilungsdichte angenähert Die Poisson-Verteilung hat für kleine Werte von eine stark asymmetrische Gestalt. Für größer werdendes wird symmetrischer und ähnelt ab etwa einer gaußschen Normalverteilung mit und :
Beziehung zur Erlang-Verteilung