Ein Modul [] (Maskulinum, Plural: Moduln [], die Deklination ist ähnlich wie die von Konsul; von lateinisch modulus, Verkleinerungsform von modus, „Maß“, „Einheit“) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt.

Ähnlich wie bei Ringen wird je nach Teilgebiet und Lehrbuch unter einem Modul etwas Unterschiedliches verstanden. Ebenfalls leicht abweichend sind dann die Definitionen von Morphismen sowie Unter- und Oberstrukturen. Mathematisch ausgedrückt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Modulbegriffen um unterschiedliche Kategorien.

Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement

Ein Modul über einem kommutativen Ring oder kurz -Modul ist eine additive abelsche Gruppe zusammen mit einer Abbildung           (genannt Multiplikation mit Skalaren, Skalarmultiplikationnicht zu verwechseln mit Skalarprodukt), so dass gilt:

Fordert man zusätzlich noch für ein Einselement mit , so nennt man den -Modul unitär (englisch: unital). Manche Autoren verlangen für Ringe grundsätzlich die Existenz eines Einselements, und dann ebenfalls für Moduln über Ringen. Ist ein Körper, bildet also zusätzlich eine abelsche Gruppe, so sind die unitären Moduln über gerade die Vektorräume über .

Das Studium von Moduln über kommutativen Ringen ist Gegenstand der kommutativen Algebra.

Abelsche Gruppen

Jede additive abelsche Gruppe ist auf eindeutige Weise ein unitärer -Modul, d. h. ein unitärer Modul über dem kommutativen Ring der ganzen Zahlen. Sei . Wegen

muss für mit gelten:

und analog:  Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben. Da diese einzig mögliche Verknüpfung aber die Modulaxiome erfüllt, folgt die Behauptung.Ein solcher -Modul muss keine Basis haben, nämlich bei Moduln mit Torsionselementen. Folgende Zahlenbereiche sind additive Gruppen und damit -Moduln: die ganzen Zahlen selbst die rationalen Zahlen die reellen Zahlen die algebraischen Zahlen bzw. die komplexen Zahlen

Oberringe als Moduln Ist ein Oberring von , so ist definitionsgemäß eine abelsche Gruppe.

Schränkt man die Ringmultiplikation von auf die Menge ein, so definiert dies die nötige Skalarmultiplikation, um in natürlicher Weise als Modul über zu betrachten. Besitzen und dasselbe Einselement, so ist der Modul unitär.

Sind und sogar Körper, so spricht man in dieser Situation von einer Körpererweiterung. Die Modulstruktur wird dann, wie oben beschrieben, zu einer Vektorraumstruktur. Die Betrachtung dieser Vektorraumstruktur ist ein unverzichtbares Hilfsmittel bei der Untersuchung von Körpererweiterungen.

Bemerkung: Die im vorherigen Kapitel genannten Zahlbereiche sind alle Oberringe von , was ebenfalls zeigt, dass sie in natürlicher Weise -Moduln sind.

Vektorräume mit einer linearen Abbildung in sich selbst

Sei der Polynomring über einem Körper . Dann entsprechen die -Moduln eins-zu-eins den Paaren bestehend aus einem -Vektorraum und einem Endomorphismus auf : Sei ein -Modul. Wir stellen fest, dass auch ein -Vektorraum ist, da in eingebettet ist. Sei dieser Vektorraum. Das zu gehörige Paar ist nun , wobei durch

gegeben ist. Zu einem Paar definieren wir eine -Modulstruktur durch

und setzen das -linear auf fort, d. h., für alle

setzen wir .

Ringideale

Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation. Die Untermoduln entsprechen dann genau den Idealen von (da in diesem Abschnitt kommutativ ist, brauchen wir nicht zwischen Links- und Rechtsidealen zu unterscheiden).

Moduln über einem beliebigen Ring

Es sei ein Ring. Ist dieser Ring nicht (unbedingt) kommutativ, so muss man zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden.

Ein -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einem Ring und einer Abbildung

die in beiden Argumenten additiv ist, d. h. für alle gilt und

und für die für alle gilt.

Wird vorausgesetzt, dass ein unitärer Ring mit einem Einselement ist, so fordert man meist auch, dass der -Linksmodul unitär (englisch: unital) ist, d. h. für alle . Manche Autoren verlangen für Ringe und Moduln grundsätzlich die Existenz eines Einselements.

Ein Rechtsmodul wird ähnlich definiert, außer dass die Skalare des Rings von rechts auf die Elemente von wirken: Ein -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einer in beiden Argumenten additiven Abbildung

so dass für alle Ein Rechtsmodul über einem unitären Ring mit Einselement ist unitär, wenn für alle gilt.

Ist kommutativ, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von -Moduln. Üblicherweise wird die obige Notation für Linksmoduln verwendet.

Alternative Definitionen

Ein -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus

Dabei ist der Ring der Endomorphismen von mit der Verkettung als Produkt: für Ein -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus

Dabei sei der Gegenring des Endomorphismenrings, das heißt der Ring der Endomorphismen von mit der Rechtsverkettung als Produkt: für

Bimoduln

Es seien und Ringe. Dann ist ein --Bimodul eine abelsche Gruppe zusammen mit einer -Linksmodul- und einer -Rechtsmodulstruktur, so dass für gilt.

Für unitäre Ringe und lässt sich ein unitärer --Bimodul (d. h. mit für alle ) alternativ beschreiben als eine abelsche Gruppe zusammen mit einem unitären Ringhomomorphismus

Das heißt: Ein unitärer --Bimodul ist nichts anderes als ein unitärer -Linksmodul.

Wechsel des Rings

und seien Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Für jeden -Modul definiert die Vorschrift

eine -Modulstruktur auf , die die mit und der -Modulstruktur assoziierte genannt wird. Dieser -Modul wird mit oder mit bezeichnet. Ist insbesondere ein Unterring von und die kanonische Einbettung, dann wird der durch Einschränkung der Skalare von auf erhaltene -Modul genannt.

Ist ein Untermodul von , dann ist ein Untermodul von und

Moduln über einer assoziativen Algebra

Ist ein kommutativer Ring und eine assoziative R-Algebra, so ist ein -Linksmodul ein -Modul zusammen mit einem -Modulhomomorphismus

so dass für gilt.

Ein -Rechtsmodul ist ein -Modul zusammen mit einem -Modulhomomorphismus

so dass für gilt.

Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.

Moduln über einer Lie-Algebra

Es sei eine Lie-Algebra über einem Körper . Ein -Modul oder eine Darstellung von ist ein -Vektorraum zusammen mit einer -bilinearen Abbildung

so dass für gilt.

Alternativ ist ein -Modul ein -Vektorraum zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über

dabei ist die -Algebra der Endomorphismen von mit dem Kommutator als Lieklammer.

-Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhüllenden Algebra von .

Moduln über einer Gruppe

Es sei eine Gruppe. Ein -Modul oder genauer -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einer äußeren zweistelligen Verknüpfung , so dass für alle und für alle sowie für das neutrale Element von und für alle gilt.

Ein -Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch für alle zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein -(Links-)Modul eine abelsche Gruppe zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

dabei ist die Gruppe der Automorphismen von mit der Verknüpfung für Ein -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

das Produkt auf ist durch für gegeben.

Ist weiter ein Ring, so ist ein --Modul eine abelsche Gruppe mit einer -Modul- und einer -Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind: für

Alternativ ist ein --Modul ein -Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

dabei ist die Gruppe der Automorphismen von als -Modul.

--Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem Gruppenring .

Ist speziell ein Körper, so stimmt der Begriff des --Moduls mit dem der -linearen Darstellung von überein.

Siehe auch Basis (Modul) einfacher Modul freier Modul Moduln über Hauptidealringen Untermodul

Weblinks

Literatur Siegfried Bosch: Algebra, 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.

Einzelnachweise und Anmerkungen

Kategorie:Algebra Kategorie:Kommutative Algebra