Als Stringtheorie bezeichnet man eine Sammlung eng verwandter hypothetischer physikalischer Modelle, die als fundamentales Objekt in der Raumzeit einen String ( für „Faden“ oder „Saite“) mit eindimensionaler räumlicher Ausdehnung annehmen, dessen verschiedene Eigenschwingungen die Elementarteilchen darstellen. Demgegenüber beschreiben die gewohnten Modelle der Quantenfeldtheorie die Elementarteilchen als punktförmige Objekte in der Raumzeit, also nulldimensional. In Erweiterungen der Stringtheorie werden auch höherdimensionale Objekte betrachtet. Stringtheorien wurden in den 1960er Jahren zur Beschreibung der starken Wechselwirkung (Quantenchromodynamik) eingeführt.
Seit den 1980er Jahren erlebte die Stringtheorie einen starken Aufschwung. Sie gilt seitdem als Kandidat für eine alle Naturkräfte vereinheitlichende Theorie, die das Standardmodell der Elementarteilchenphysik und die Gravitation miteinander verbindet. Diskutiert wird dabei vor allem die supersymmetrische Version der Stringtheorie („Superstringtheorie“). Die Supersymmetrie sagt neue, supersymmetrische Partnerteilchen für alle Bosonen und Fermionen voraus. Zum Aufschwung der Superstringtheorie trug erheblich bei, dass sie konkrete Vorhersagen für die Symmetriegruppen einer Großen Vereinheitlichten Theorie (GUT) machte. Des Weiteren fanden Vorhersagen zur Betrachtung von Quantenfeldtheorien (wie das holografische Prinzip in AdS/CFT) große Beachtung. In den 1990er Jahren stellte sich heraus, dass die bis dahin bekannten Superstringtheorien und die 11-dimensionale Supergravitation miteinander verbunden als Teil einer umfassenderen Theorie („M-Theorie“ genannt) betrachtet werden können. Letztere umfasst auch höherdimensionale Objekte (sogenannte „Brane“). Die Stringtheorie führte zu einem engen Austausch zwischen verschiedenen Gebieten der Mathematik und theoretischen Physik.K. C. Cole, The Strange second life of string theory, Quanta Magazine, 15. September 2016Robbert Dijkgraaf, Quantum questions inspire new math, Quanta Magazine, 30. März 2017
Bisher ist die Stringtheorie durch Experimente weder bestätigt noch widerlegt. Dies liegt unter anderem daran, dass die von ihr vorhergesagte Vereinigung der Naturkräfte bei Energien erwartet wird, die um viele Größenordnungen über den in absehbarer Zeit erreichbaren Energien liegen (siehe Planck-Skala). Die Stringtheorie wird daher seit den 2000er Jahren sowohl innerhalb als auch außerhalb der Physik als nicht falsifizierbar kritisiert. Die Kritik richtet sich dabei auch auf die Bindung von Forschungsressourcen in einem Gebiet, das allen Anwendungen fern steht. Sie wurde besonders dezidiert von Theoretikern geäußert, die alternative Theorien der Quantengravitation verfolgen (wie die Schleifenquantengravitation). Zudem tauchten bei der konkreten mathematischen Durcharbeitung der Stringtheorie unerwartet viele Varianten auf, die die Erfolgsaussichten, alle Naturkräfte zu vereinheitlichen, in weite Ferne rücken.
Heute gilt die Stringtheorie zwar als „verlockend“ und „mathematisch sehr elegant“, ihre praktische Bedeutung für die Teilchenphysik wird aber in Abrede gestellt, da sie keine Vorhersagen macht, die in absehbarer Zeit experimentell bestätigt werden könnten.
Überblick mini|Strings als Bausteine des Universums – eine Hierarchie: vom makroskopischen Objekt zu Atomen, Kernen, Quarks bzw. Gluonen und „Strings“ mini|Wechselwirkungen im subatomaren Bereich: Weltlinien von Punktteilchen im Standardmodell und die analogen Weltflächen in der Stringtheorie
Im Gegensatz zum Standardmodell der Teilchenphysik sind bei der Stringtheorie die fundamentalen Bausteine, aus denen sich die Welt zusammensetzt, keine Teilchen im Sinne von Punkten (also nulldimensionalen Objekten), sondern vibrierende eindimensionale Objekte. Diese eindimensionalen Objekte werden Strings genannt. Elementarteilchen kann man sich als Schwingungsanregung der Strings vorstellen, wobei die Frequenz nach der Quantenmechanik einer Energie entspricht.
In Weiterentwicklungen der Stringtheorie, den sogenannten Brane-Theorien, werden als Basisobjekte nicht nur eindimensionale (bzw. bei Einschluss der Zeit (1+1)-dimensionale) Strings angesehen, sondern auch höherdimensionale Objekte („Brane“ genannt)Nach der englischen Endung von Membran, mit Anklang an das englische Wort „brain“ für Gehirn. Zuerst wurden zweidimensionale Objekte diskutiert, die Membranes, später auch höherdimensionale p-Branes, insbesondere die D-Branes, bei denen das D für Dirichlet-Randbedingung steht. verwendet.
Durch Annahme dieser eindimensionalen Struktur der Strings treten automatisch viele erwünschte Eigenschaften einer eher fundamentalen Theorie der Physik hervor. Dabei sticht hervor, dass jede Stringtheorie, die mit der Quantenmechanik vereinbar ist, eine Quantengravitation beinhalten muss.
In der Stringtheorie werden Probleme vermieden, die durch divergierende Schleifenintegrale und die zu ihrer Kompensation entwickelten Renormierungstheorien entstehen. Divergenzen (unendliche Werte der Integrale) ergeben sich speziell für Punktteilchen aus ihrer Selbstwechselwirkung, die bei ausgedehnten, z. B. eindimensionalen, Objekten „verschmiert“ und damit abgemildert wird. Vereinfacht kann man sich das so vorstellen: Betrachtet man die für die Quantenmechanik grundlegende Heisenbergsche Unschärferelation , stellt man Folgendes fest: Wenn , dann . Das bedeutet, dass bei einer verschwindenden Distanz ein unendlicher Impuls entstehen würde. In der Stringtheorie wird nun der Fall vermieden und es existiert eine obere Grenze, der Impuls kann nur einen großen, aber endlichen Wert haben, auf diesem Weg werden die Divergenzen in der Theorie vermieden. Die Unschärferelation wird für Strings modifiziert zu
mit ,
wobei die Stringspannung beschreibt. Der neue Term wird hier benutzt, um eine minimale Distanz festzulegen. Diese minimale Distanz ist nun gegeben durch:
Wenn nun gilt, tritt das Problem von Punktinteraktionen nicht auf, weil diese ausgeschlossen sind.
Die charakteristische Längenskala der Strings müsste in der Größenordnung der Plancklänge liegen, der Größe, unter der Effekte der Quantengravitation wichtig werden:
Auf viel größeren Längenskalen, wie sie heute in Laboratorien zugänglich sind, wären diese Objekte nicht von nulldimensionalen punktförmigen Partikeln zu unterscheiden. Trotzdem würden die Vibrationszustände und die Struktur dieser winzigen Strings sie als verschiedene Elementarteilchen des Standardmodells der Elementarteilchenphysik erscheinen lassen. Zum Beispiel würde ein Schwingungszustand des Strings mit einem Photon assoziiert werden, ein anderer Zustand mit einem Quark. Diese vereinigende Wirkung der Stringtheorie ist eine ihrer größten Stärken, doch reproduziert noch keine bekannte Lösung dieser Theorie genau die Vielzahl von Teilchen, die das Standardmodell kennt.
In der Raumzeit überstreicht ein Partikel eine Linie, Weltlinie genannt: Das Teilchen hat keine räumliche Ausdehnung, aber es bewegt sich entlang der „Zeit“. Ein String besitzt dagegen eine zweidimensionale Weltfläche („World Sheet“), da er auch eine räumlich eindimensionale Ausdehnung hat. Die Wechselwirkungen der Elementarteilchen, in der üblichen Quantenfeldtheorie der Punktteilchen mit Feynman-Diagrammen in der Raum-Zeit beschrieben, kann man sich durch „Verdickung“ dieser Feynman-Diagramme in einer Raumrichtung vorstellen (siehe obiges Bild).
Arten von Strings Geschlossene und offene Strings Strings können entweder offen oder geschlossen sein. Ein „geschlossener String“ besitzt keine Endpunkte und ist daher in seiner Topologie einem Kreis äquivalent. Ein „offener String“ hat zwei Enden und ist topologisch äquivalent zu einer Strecke. Nicht alle Stringtheorien enthalten offene Strings, aber jede Theorie muss geschlossene Strings enthalten, da Wechselwirkungen offener Strings immer geschlossene erzeugen können.
Die älteste Stringtheorie, die offene Strings enthielt, war die Typ-1-Stringtheorie.
Mit offenen wie geschlossenen Strings sind immer charakteristische Schwingungsarten (Moden) verbunden. Eine bestimmte Vibration eines geschlossenen Strings kann als Graviton identifiziert werden. In gewissen Stringtheorien stellt die Schwingung mit der niedrigsten Energie eines offenen Strings ein Tachyon dar. Andere Schwingungsmoden offener Strings zeigen die Eigenschaften von Photonen oder Gluonen.
Orientierung Strings können auch eine „Orientierung“ besitzen, die man sich als stringinternen Pfeil denken kann, der sie von Strings mit der entgegengesetzten Orientierung unterscheidet. Im Gegensatz dazu gibt es auch den „nichtorientierten String“, dem kein solcher Pfeil zugewiesen werden kann.
Bosonische Stringtheorie Nambu-Goto-Wirkung Die Nambu-Goto-Wirkung ist die einfachste Form der Wirkung einer Stringtheorie, beschreibt eine bosonische Stringtheorie (ohne Fermionen) und wurde um 1970 von Yōichirō NambuVorlesungen von Nambu auf einem Symposium in Kopenhagen August 1970, veröffentlicht in Nambu, Selected Papers, 1995. und Tetsuo GotōTetsuo Gotō: Relativistic quantum mechanics of one dimensional mechanical continuum and subsidiary condition of dual resonance model. In: Progress Theoretical Physics. Band 46, 1971, S. 1560. eingeführt. Da die Lichtkegelquantisierung der Nambu-Goto-Wirkung nicht manifest kovariant ist, bietet sich hier die äquivalente, aber kompliziertere Polyakov-Wirkung an. Ein Punktteilchen, das sich durch die Raumzeit bewegt, beschreibt eine eindimensionale Kurve, auch Weltlinie genannt. Analog dazu beschreibt ein eindimensionaler String, der sich durch die Raumzeit bewegt, eine zweidimensionale Weltfläche. Die Weltfläche eines Strings wird beschrieben durch eine Parametrisierung mit , wobei als Zeitparameter interpretiert werden kann und den String parametrisiert, für geschlossene Strings gilt . Sei nun der Tangentialraum der Weltfläche aufgespannt durch die Vektoren und . Um die Weltfläche zu beschreiben, kann vom Analogon der bekannten euklidischen Flächenformel ausgegangen werden:
mini|Weltlinie, Weltfläche und Weltvolumen, wobei ein geschlossener String einen Zylinder beschreibt (hier nicht abgebildet) Da der Radikand im Fall der Strings negativ ist (höherdimensionaler Minkowskiraum, eine der Richtungen der Strings zeitartig, die andere raumartig), muss noch das Vorzeichen geändert werden, indem einfach die Terme vertauscht werden; setzt man nun die Tangentialvektoren ein, führt dies auf
mit dem metrischen Tensor und der Determinantenbildung bezüglich .
Nach der Multiplikation mit entsprechenden Einheiten, um das Funktional konsistent mit einer physikalischen Wirkung zu machen, erhält man nun die Nambu-Goto-Wirkung für geschlossene und offene relativistische Strings in einer -dimensionalen Raumzeit, wobei die Lichtgeschwindigkeit ist und die oben eingeführte Stringspannung:
mit und
Die Impulsdichten ergeben sich zu:
Die Nambu-Goto-Wirkung kann auch in manifester reparametrisierungsinvarianter Form geschrieben werden, wobei , im Detail . Dies führt auf:
Die Form dieser Wirkung eignet sich auch zur Verallgemeinerung auf Objekte, die eine höhere Dimensionalität als Strings haben, wie z. B. D-Brane.
Im Vergleich dazu war die Wirkung für ein relativistisches Punktteilchen (wobei das Vorzeichen für den Term unter dem Wurzelzeichen so gewählt wird, dass der Term unter der Wurzel für zeitartige Weltlinien positiv ist).
Polyakov-Wirkung Die Quadratwurzel der Nambu-Goto Wirkung hat entscheidende Nachteile bei der Quantisierung, eine einfachere Form ist die Polyakov-Wirkung, auch String-Sigma-Modell genannt:
,
wobei eine zusätzliche Weltflächenmetrik ist (). Reparametrisierungsinvarianz und Skalierungsinvarianz erlauben es, das Hilfsfeld als zu wählen, worauf sich die Polyakov-Wirkung vereinfacht zu
für Bewegungsgleichungen in einer flachen Minkowski-Raumzeit.
Symmetrien der Polyakov-Wirkung Poincaré-Transformation: Globale Symmetrie der Weltflächen-Felder mit mit .