Der Begriff des Erwartungswerts, in der älteren deutschsprachigen Fachliteratur nicht selten auch, wenngleich mehrdeutig, als Mittelwert bezeichnet, , ist ein Grundbegriff der Stochastik. Mit ihm wird eine der elementaren Kennzahlen einer Zufallsvariablen erfasst.
Bei einer eng gefassten Definition ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen eine reelle oder komplexe Zahl und damit endlich; bei einer erweiterten Definition sind für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen auch die „Werte“ zugelassen. Zudem gibt es Zufallsvariablen, für die kein Erwartungswert sinnvoll definierbar ist.
Der Erwartungswert beschreibt für eine Zufallsvariable mit endlich vielen Funktionswerten das mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens gewichtete arithmetische Mittel all dieser Werte. Bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments ergibt sich der Erwartungswert als Durchschnittswert der Ergebnisse. Der Erwartungswert selbst muss jedoch nicht einer der möglichen Werte sein. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den endlichen Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsendem Stichprobenumfang gegen den Erwartungswert konvergieren.
Ein endlicher Erwartungswert bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariablen; er ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik, jedoch mit einem wichtigen Unterschied: Der Erwartungswert ist der „wahre“ Mittelwert einer Zufallsvariablen (der Mittelwert der Grundgesamtheit), während sich das empirische arithmetische Mittel in der Regel nur auf eine Stichprobe von Werten bezieht (Stichprobenmittel). Eine geänderte Stichprobe wird einen anderen arithmetischen Mittelwert liefern, der Erwartungswert – der auf allen möglichen Werten der Zufallsvariablen beruht – bleibt hingegen immer gleich.
Weil der Erwartungswert einer Zufallsvariablen nur von deren Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, wird auch vom Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der endliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr erstes Moment bezeichnet.
Motivation Die Augenzahlen beim Würfelwurf können als unterschiedliche Ausprägungen einer Zufallsvariablen betrachtet werden. Weil die (tatsächlich beobachteten) relativen Häufigkeiten sich gemäß dem Gesetz der großen Zahlen mit wachsendem Stichprobenumfang den theoretischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Augenzahlen annähern, muss der Mittelwert gegen den Erwartungswert von streben. Zu dessen Berechnung werden die möglichen Ausprägungen mit ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit gewichtet.
Wobei P(x) die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Würfelwurfes ist. Hier für alle 6 Zahlen 1:6.
Wie die Ergebnisse der Würfelwürfe ist der Mittelwert vom Zufall abhängig. Im Unterschied dazu ist der Erwartungswert eine feste Kennzahl der Verteilung der Zufallsvariablen .
Die Definition des Erwartungswerts steht in Analogie zum gewichteten Mittelwert von empirisch beobachteten Zahlen. Hat zum Beispiel eine Serie von zehn Würfelversuchen die Ergebnisse 4, 2, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 5 geliefert, kann der zugehörige Mittelwert
alternativ berechnet werden, indem zunächst gleiche Werte zusammengefasst und nach ihrer relativen Häufigkeit gewichtet werden: .
Allgemein lässt der Mittelwert der Augenzahlen in Würfen sich wie
schreiben, worin die relative Häufigkeit der Augenzahl bezeichnet.
Begriff und Notation Begriff Das Konzept des Erwartungswertes geht auf Christiaan Huygens zurück. In einer Abhandlung über Glücksspiele von 1656 (Van rekeningh in spelen van geluck) beschreibt Huygens den erwarteten Gewinn eines Spiels als „het is my soo veel weerdt“ („es ist mir so viel wert“). Frans van Schooten verwendete in seiner Übersetzung von Huygens’ Text ins Lateinische den Begriff expectatio („Erwartung“). Bernoulli übernahm in seiner Ars conjectandi den von van Schooten eingeführten Begriff in der Form valor expectationis („Erwartungswert“).Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 7., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0423-5, S. 79.
Notation Existiert der Erwartungswert einer Zufallsvariablen, so wird dieser meist mit dem lateinischen Buchstaben bezeichnet, der von dem französischen espérance, , herrührt. Es wird indes auch der griechische Kleinbuchstabe verwendet.
Die Bezeichnung wurde in der englischsprachigen Literatur erst ab dem 20. Jahrhundert eingeführt.John Aldrich: Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics. 2014, (online). Heute wird in der englischsprachigen und deutschsprachigen mathematischen Literatur häufig die Schreibung oder oder mit eckigen Klammern bzw. für den Erwartungswert der Zufallsvariable verwendet. Baden-Württembergische Lehrerinnen verwenden die Schreibweise .David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21676-6. Gelegentlich werden auch geschweifte Klammern verwendet.Eugen-Georg Woschni: Informationstechnik. Signal, System, Information. 2., bearbeitete Auflage. Verlag Technik, Berlin 1981. In der russischsprachigen Literatur findet sich die Bezeichnung .Siehe etwa (in deutscher Übersetzung) Albert N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. 91). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9, S. 52 ff.
Gelegentlich werden auch die Klammern um die Zufallsvariable weggelassen, was der Schreibweise für Operatoren entspricht: oder .Siehe Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 23. Auflage. Deutsch, Thun u. a. 1987, ISBN 3-87144-492-8. Der Operator wird hier kursiv gesetzt. Mit der auch vorkommenden Notation besteht hierbei nicht die Gefahr, dass der Operator mit einer Zufallsvariable verwechselt wird. Die Notation mit den eckigen Klammern hebt speziell die Tatsache hervor, dass es sich hier um ein Funktional handelt.
Die Bezeichnung des Erwartungswerts der Zufallsvariable betont die Eigenschaft als nicht vom Zufall abhängiges erstes Moment. In der Physik findet die Bra-Ket-Notation Verwendung. Insbesondere wird statt für den Erwartungswert einer Größe geschrieben. In der Stochastik wird generell aber nicht für den Erwartungswert verwendet, mit wird der quadratische Variationsprozess notiert.
Definitionen Ist eine Zufallsvariable diskret oder besitzt sie eine Dichte, so existieren die folgenden Formeln für den Erwartungswert.
Erwartungswert einer diskreten reellen Zufallsvariable Im reellen diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als die Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den „Werten“ dieser Ergebnisse.
Ist eine reelle diskrete Zufallsvariable, die die Werte mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten annimmt (mit als abzählbarer Indexmenge), so errechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz mit:
Es ist zu beachten, dass dabei nichts über die Reihenfolge der Summation ausgesagt wird (siehe summierbare Familie).
Ist , so besitzt genau dann einen endlichen Erwartungswert , wenn die Konvergenzbedingung
erfüllt ist, d. h. die Reihe für den Erwartungswert absolut konvergent ist.
Für nichtnegative ganzzahlige Zufallsvariablen ist oft die folgende Eigenschaft hilfreichSheldon M. Ross: Introduction to probability models. 9. Auflage. Academic Press, Amsterdam u. a. 2007, ISBN 978-0-12-598062-3, S. 143.
Diese Eigenschaft wird im Abschnitt über den Erwartungswert einer nicht-negativen Zufallsvariablen bewiesen.
Erwartungswert einer reellen Zufallsvariable mit Dichtefunktion mini|Der Erwartungswert balanciert die Wahrscheinlichkeitsmasse – hier die Masse unter der Dichte einer Beta(α,β)-Verteilung mit Erwartungswert α/(α+β). Dies entspricht der Interpretation des Erwartungswertes als Massenmittelpunkt. Hat eine reelle Zufallsvariable eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion , das heißt hat das Bildmaß die Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes , so berechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz als (1)
In vielen Anwendungsfällen liegt (im Allgemeinen uneigentliche) Riemann-Integrierbarkeit vor und es gilt: (2)
Gleichwertig zu dieser Gleichung ist, wenn Verteilungsfunktion von ist: (3)
(2) und (3) sind unter der gemeinsamen Voraussetzung ( ist Dichtefunktion und ist Verteilungsfunktion von ) äquivalent, was mit schulgemäßen Mitteln bewiesen werden kann.Helmut Wirths: Der Erwartungswert. Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In: Mathematik in der Schule. Band 33, Heft 6, 1995, S. 330–343.
Für nichtnegative Zufallsvariablen folgt daraus die wichtige Beziehung zur Zuverlässigkeitsfunktion
Allgemeine Definition Der Erwartungswert wird entsprechend als das Lebesgue-Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert: Ist eine bezüglich dem Maß integrierbare oder quasiintegrierbare Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Werten in , wobei die Borelsche σ-Algebra über ist, so wird definiert
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung . Die Zufallsvariable besitzt genau dann einen Erwartungswert, wenn sie quasiintegrierbar ist, also die Integrale
und
nicht beide unendlich sind, wobei und den Positiv- sowie den Negativteil von bezeichnen. In diesem Fall kann oder gelten.
Der Erwartungswert ist genau dann endlich, wenn integrierbar ist, also die obigen Integrale über und beide endlich sind. Dies ist äquivalent zu
In diesem Fall schreiben viele Autoren, der Erwartungswert existiere oder sei eine Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert, und schließen damit den Fall bzw. aus.
hochkant=1.04|rahmenlos|rechts|rand|Erwartungswert µ und Median 𝑚 Der (endliche) Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen kann aber auch am Graphen ihrer Verteilungsfunktion durch eine naheliegende Flächengleichheit festgelegt werden. Es ist nämlich mit einer reellen Zahl genau dann, wenn in der --Ebene die beiden Flächen, beschrieben durch bzw. denselben endlichen Flächeninhalt haben, d. h. wenn
gilt und beide uneigentlichen Riemann-Integrale konvergieren. Dazu äquivalent ist die allgemeingültige Darstellung
wieder in dem Fall, dass die Integrale konvergieren.Roland Uhl: Charakterisierung des Erwartungswertes am Graphen der Verteilungsfunktion. Technische Hochschule Brandenburg, 2023, (PDF). S. 2–4.
Statt gegen das Maß zu integrieren, kann man auch gegen die Verteilungsfunktion integrieren, dies führt zum uneigentlichen Riemann-Stieltjes-Integral
Elementare Eigenschaften Linearität Der Erwartungswert ist linear für Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert. Es gilt also für beliebige, nicht notwendigerweise stochastisch unabhängige, Zufallsvariablen mit endlichen Erwartungswerten, dass
ist. Als Spezialfälle ergeben sich ,
und . Die Linearität lässt sich auch auf endliche Summen erweitern:
Die Linearität des Erwartungswertes für Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert folgt aus der Linearität des Integrals für integrierbare Funktionen. Die Voraussetzung endlicher Erwartungswerte ist wesentlich für die Anwendung der Linearitätseigenschaft als Rechenregel. Beispielsweise ist es möglich, dass und und der Erwartungswert von nicht definiert ist oder in anderen Fällen endlich ist.
Monotonie Existieren die Erwartungswerte und , so gilt . Die Voraussetzung , d. h. für alle , lässt sich abschwächen zu , d. h. fast sicher.
Wahrscheinlichkeiten als Erwartungswerte Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen lassen sich auch über den Erwartungswert ausdrücken. Für jedes Ereignis gilt
,
wobei die Indikatorfunktion von ist.
Dieser Zusammenhang ist oft nützlich, etwa zum Beweis der Tschebyschow-Ungleichung.
Dreiecksungleichung Es gilt
und .
Beispiele