Die Navier-Stokes-Gleichungen [] (nach Claude Louis Marie Henri Navier und George Gabriel Stokes) sind ein mathematisches Modell der Strömung von linear-viskosen newtonschen Flüssigkeiten und Gasen (Fluiden). Die Gleichungen sind eine Erweiterung der Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik um Viskosität beschreibende Terme.
Im engeren Sinne, insbesondere in der Physik, ist mit den Navier-Stokes-Gleichungen die ImpulsgleichungL.D. Landau, E.M. Lifshitz: Fluid Mechanics – Course of Theoretical Physics, Institute of Physical Problems, Pergamon Press, 1966, S. 47–53. für Strömungen gemeint. Im weiteren Sinne,A. Chorin, J.-E. Marsden: A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. Springer Verlag, 2000. insbesondere in der numerischen Strömungsmechanik wird diese Impulsgleichung um die Kontinuitätsgleichung und die Energiegleichung erweitert und bildet dann ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Dieses ist das grundlegende mathematische Modell der Strömungsmechanik. Insbesondere bilden die Gleichungen Turbulenz und Grenzschichten ab. Eine Entdimensionalisierung der Navier-Stokes-Gleichungen liefert diverse dimensionslose Kennzahlen wie die Reynolds-Zahl oder die Prandtl-Zahl.
Die Navier-Stokes-Gleichungen bilden das Verhalten von Wasser, Luft und Ölen ab und werden daher in diskretisierter Form bei der Entwicklung von Fahrzeugen wie Autos und Flugzeugen angewendet. Dies geschieht in Näherungsform, da keine exakten analytischen Lösungen für diese komplizierten Anwendungsfälle bekannt sind.
Unabhängig von ihrer Bedeutung für die Physik stellen die Gleichungen auch eine mathematische Herausforderung dar: Es ist nicht bekannt, ob es für den allgemeinen dreidimensionalen Fall eine überall definierte glatte (eindeutige) Lösung gibt – dies konnte bislang weder bewiesen noch widerlegt werden. Diese Frage gehört zu den wichtigsten ungelösten mathematischen Problemen und ist eines der sieben Millennium-Probleme, das Navier-Stokes-Existenz- und Glattheitsproblem.
Geschichte Isaac Newton veröffentlichte 1686 seine dreibändige Principia mit den Bewegungsgesetzen und definierte zudem im zweiten Buch die Viskosität einer linear viskosen (heute: newtonschen) Flüssigkeit. 1755 leitete Leonhard Euler aus den Bewegungsgesetzen die Euler-Gleichungen her, mit denen sich das Verhalten viskositätsfreier Fluide (Flüssigkeiten und Gase) berechnen lässt. Voraussetzung dafür war seine bis heute gültige Definition des Drucks in einem Fluid.T. Sonar: Turbulenzen um die Fluidmechanik. Spektrum der Wissenschaft Verlag, April 2009, S. 78–87. Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717–1783) führte die eulersche Betrachtungsweise ein, leitete die lokale Massenbilanz her und formulierte das d’Alembertsche Paradoxon, gemäß dem von der Strömung viskositätsfreier Flüssigkeiten auf einen Körper keine Kraft in Richtung der Strömung ausgeübt wird (was Euler schon vorher bewiesen hatte). Wegen dieser und anderer Paradoxien viskositätsfreier Strömungen war klar, dass die Euler’schen Bewegungsgleichungen zu ergänzen sind.
Claude Louis Marie Henri Navier, Siméon Denis Poisson, Barré de Saint-Venant und George Gabriel Stokes formulierten unabhängig voneinander in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts den Impulssatz für newtonsche Fluide in differentieller Form. Navier (1827) und Poisson (1831) stellten die Impulsgleichungen nach Betrachtungen über die Wirkung von intermolekularen Kräften auf. 1843 veröffentlichte Barré de Saint-Venant eine Herleitung der Impulsgleichungen aus Newtons linearem Viskositätsansatz, zwei Jahre bevor Stokes dies (1845) tat. Es setzte sich allerdings der Name Navier-Stokes-Gleichungen für die Impulsgleichungen durch.
Einen wesentlichen Fortschritt im theoretischen und praktischen Verständnis viskoser Fluide lieferte Ludwig Prandtl 1904 mit seiner Grenzschichttheorie. Ab Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelte sich die numerische Strömungsmechanik so weit, dass mit ihrer Hilfe für praktische Probleme Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen gefunden werden können, die – wie sich zeigt – gut mit den realen Strömungsvorgängen übereinstimmen.
Formulierung
Impulsgleichung Die Navier-Stokes-Gleichung im engeren Sinne ist der Impulssatz als Anwendung der newtonschen Axiome auf ein Kontinuum. Eine verwendete Form für kompressible Fluide ist:J.-N. Reddy: An Introduction to Continuum Mechanics. Cambridge 2008, S. 212–214.
Hier ist die Dichte, die Geschwindigkeit eines Teilchens in der Strömung, genauso wie der Überpunkt unten sind die substantielle Zeitableitung, definiert als , die partielle Ableitung nach der Zeit bei festgehaltenem Ort des Fluidelements, das (formale) Skalarprodukt, der Nabla-Operator und der Laplace-Operator, der (statische) Druck, und sind die dynamische Viskosität () und die Volumenviskosität (), ist die Volumenkraftdichte (bspw. Gravitation oder Corioliskraft), jeweils bezogen auf das Einheitsvolumen und besitzt die SI-Einheit Newton/Kubikmeter.
In der Literatur werden und auch als Lamé-Viskositäts-Konstanten bezeichnet. Sie sind nicht zu verwechseln mit den Lamé-Konstanten im Rahmen der Kontinuumsmechanik.
Der auf der linken Seite stehende Term ist die substantielle Beschleunigung der Fluidelemente und der mit dem Nabla-Operator gebildete Term stellt ihren konvektiven Anteil dar. Das Skalarprodukt definiert einen neuen, skalaren Differentialoperator , sodass ist, wobei die Jacobimatrix von bezeichnet.
Eine andere Schreibweise für die in der Literatur verwendete Form ist:L. D. Landau, E. M. Lifshitz: Fluid Mechanics – Course of Theoretical Physics, Institute of Physical Problems, Pergamon Press, 1966, S. 47–53.
Darin ist die Volumenviskosität. Mit der Kontinuitätsgleichung und Anwendung der Stokes’schen Hypothese wird hieraus die Gleichung für die Impulsdichte :
Das Rechenzeichen bildet das dyadische Produkt. Zur Vervollständigung der Gleichungen müssen noch die Massenbilanz oder Kontinuitätsgleichung (der Massenerhaltungssatz) und bei Gasen die Energiebilanz (der Energieerhaltungssatz) hinzugefügt werden. Je nach weiteren Annahmen, die an das Fluid gestellt werden, ergibt sich das vollständige System in unterschiedlicher Form. Die am häufigsten verwendete Form sind die Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible Fluide, denn sie sind für Unterschallströmungen gut geeignet und ihre Berechnung ist einfacher als die kompressibler Fluide.
Impulsgleichung in Komponenten Die Vektorform der Gleichungen gelten in jedem Koordinatensystem. Hier sollen die Komponentengleichungen der Impulsgleichung speziell für kartesische Koordinaten angegeben werden.Oertel (2012), S. 252.
Darin sind und die Vektorkomponenten in den räumlichen -, - und -Richtungen. In dieser Form kann eine mögliche Ortsabhängigkeit der Scherviskosität infolge ihrer Temperaturabhängigkeit und Temperaturschwankungen im Fluid berücksichtigt werden.
Entdimensionalisierung Die Navier-Stokes-Gleichungen können mit charakteristischen Maßen des gesamten Strömungsgebiets für die charakteristische Länge , die durchschnittliche Geschwindigkeit und die durchschnittliche Dichte entdimensionalisiert werden. Damit entstehen die dimensionslosen Größen
die zu der dimensionslosen Impulsgleichung führen:
Darin charakterisiert die dimensionslose Reynolds-Zahl
die Strömung hinsichtlich des Verhältnisses von Trägheits- zu Scherkräften.Oertel (2012), S. 267 ff.
Bei Strömungen mit freier Oberfläche enthält die dimensionslose Kraftdichte die Froude-Zahl, die das Verhältnis von Trägheits- zu Schwerekräften charakterisiert.
Herleitung der Impulsgleichung Die Chapman-Enskog-Entwicklung der Boltzmann-Gleichungen der kinetischen Gastheorie führt auf die Navier-Stokes-Gleichungen mit verschwindender Volumenviskosität, also für . Diese Entwicklung basiert auf einer Verteilungsfunktion, die nur von der Geschwindigkeit der Teilchen abhängt, also deren Rotationsdrehimpuls vernachlässigt. Dies ist in einatomigen Gasen bei niedrigem bis mittlerem Druck eine probate Annahme, gilt jedoch nicht mehr für mehratomige Gase. Die Chapman-Enskog-Entwicklung ist mathematisch so anspruchsvoll, dass sie hier nicht vorgestellt werden kann.Eine mehrseitige Zusammenfassung findet sich in
Im phänomenologischen kontinuumsmechanischen Ansatz ergeben sich die Navier-Stokes-Gleichungen mit Volumenviskosität wie folgt aus der Newton’schen Annahme der linearen Viskosität. Die Viskosität begründet sich aus dem Experiment, nach dem zur Aufrechterhaltung einer Scherströmung eine Kraft erforderlich ist, die, bezogen auf ihre Wirkfläche, einer Schubspannung entspricht. Im Fluid wirkt daneben auch noch der Druck, der eine gleichförmige Normalspannung in allen Raumrichtungen darstellt. Der Cauchy’sche Spannungstensor fasst den Spannungszustand in einem Fluidelement zu einem mathematischen Objekt zusammen und seine Divergenz verkörpert gemäß
die Kraftwirkung im Fluid. Die Kraft , die mit flächenverteilten Kräften auf der Oberfläche des Volumens wirkt, ist das Volumenintegral über die Divergenz des Spannungstensors. Diese trägt demnach zur substantiellen Beschleunigung
der Fluidelemente bei. Neben der Divergenz des Spannungstensors kann noch eine volumenverteilte Kraft wie die Schwerkraft auf ein Fluidelement wirken, und so ergibt sich mit der Dichte das erste Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz:
Ein newtonsches Fluid vermag Kräfte über den Druck im Fluid und über Spannungen zu übertragen, die von der räumlichen Änderung der Strömungsgeschwindigkeit abhängen und sich makroskopisch als Viskosität bemerkbar machen. Die räumliche Änderung der Strömungsgeschwindigkeit ist im Geschwindigkeitsgradient zusammengefasst. Allerdings treten keine Spannungen bei einer starren Rotation auf, die vom schiefsymmetrischen Anteil des Geschwindigkeitsgradienten bemessen wird, siehe Kinematik in der Strömungsmechanik. Demnach trägt nur der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten, der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor
zur Viskosität bei. In einem bezugssysteminvarianten Materialmodell der linearen Viskosität kann der Spannungstensor nur von und seiner linearen Hauptinvariante abhängen. Das Materialmodell der klassischen Materialtheorie für das linear viskose, isotrope Fluid lautet demgemäß:
Darin bezeichnet den (statischen) Druck, den Einheitstensor, die Spur, das hochgestellte den Deviator, die Scherviskosität, die erste Lamé-Konstante und die Volumenviskosität.
Einsetzen der Divergenz des Spannungstensors in das erste Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz liefert die Navier-Stokes-Gleichungen.
Beweis Für das Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz wird die Divergenz des Spannungstensors unter Ausnutzung von
und den Ableitungsregeln
siehe Formelsammlung Tensoranalysis, bereitgestellt:
Darin ist der Laplace-Operator. Die Viskositätsparameter sind temperaturabhängig und die Temperatur ist insbesondere in Gasen örtlich variabel, was bei der Divergenzbildung zu berücksichtigen wäre. Das wurde hier (wie üblich) vernachlässigt. So entstehen die Navier-Stokes-Gleichungen
wobei die untere Gleichung Inkompressibilität (mit ) voraussetzt. Für die Impulsdichte berechnet sich mit der Produktregel:
Die unterstrichenen Terme entfallen wegen der Kontinuitätsgleichung und es entsteht die Gleichung für die Impulsdichte:
Der Druck, die Dichte und der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor sind objektiv, siehe Euklidische Transformation, werden also von verschiedenen Beobachtern in gleicher Weise wahrgenommen. Deshalb sind die Navier-Stokes-Gleichungen invariant gegenüber einer Galilei-Transformation.
Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible Fluide mini|hochkant|Flüssigkeiten können in guter Näherung als inkompressibel betrachtet werden