miniatur|Quadrat mit Seitenlänge a und Diagonale d In der Geometrie ist ein Quadrat ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln. Es handelt sich somit um ein regelmäßiges Viereck. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Rechtecks, der Raute, des Parallelogramms, des Trapezes und des Drachenvierecks. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe, z. B. der Länge der Seite oder der Diagonalen.

Quadrate sind die Seitenflächen eines platonischen Körpers, nämlich des Würfels. Das Quadrat ist zudem Grundform einer platonischen Parkettierung. Als Spezialfall entsprechender allgemeiner n-dimensionaler Körper ist das Quadrat sowohl der zweidimensionale Hyperwürfel als auch das zweidimensionale Kreuzpolytop.

Eigenschaften Für das Quadrat gilt: Die vier Seiten sind gleich lang, d. h., es ist eine Raute und ein gleichseitiges Polygon. Die vier Innenwinkel sind gleich, d. h., es ist ein Rechteck und ein gleichwinkliges Polygon. Die Innenwinkel sind rechte Winkel. Die beiden Diagonalen sind gleich lang, halbieren einander und sind orthogonal. Der Schnittpunkt der Diagonalen ist Umkreis- und Inkreis­mittelpunkt und Symmetriezentrum. Das Quadrat ist sowohl Sehnen- als auch Tangentenviereck. Der Flächeninhalt des Umkreises ist doppelt so groß wie der des Inkreises. Es hat 4 Symmetrieachsen: die beiden Mittelsenkrechten und die beiden Diagonalen. Es ist 4-zählig drehsymmetrisch und daher auch punktsymmetrisch. Die Symmetriegruppe ist die Diedergruppe .

Das Quadrat kann charakterisiert werden als: Rechteck mit zwei benachbarten gleich langen Seiten Raute mit zwei benachbarten gleichen Winkeln Raute mit einem rechten Winkel Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten und zwei benachbarten gleichen Winkeln Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten und einem rechten Winkel Viereck mit gleich langen, orthogonalen Diagonalen, die sich halbieren

Formeln Mathematische Formeln zum QuadratFlächeninhaltrahmenlos|330x330pxUmfangLänge der DiagonalenInkreisradiusUmkreisradiusInnenwinkel Konstruktion Das Quadrat ist ein mit Zirkel und Lineal bzw. ein nur mit Zirkel konstruierbares regelmäßiges Polygon.

Konstruktion mit gegebener Seitenlänge mini|hochkant=1.4|Konstruktion bei gegebener Seite, kommt mit einer einzigen Zirkeleinstellung (Radius = a) aus Gegeben: Die Seite a mit den Endpunkten A und B. Ziehe um Ende A einen Kreisbogen (c1, mindestens ein Viertelkreis) mit der Seitenlänge als Radius. Ziehe um Ende B einen Kreisbogen (c2, mindestens ein Viertelkreis) mit der Seitenlänge als Radius. Der Schnittpunkt der Kreise ist Punkt M. Zeichne eine Gerade durch die Punkte B und M (mindestens doppelt so lang wie ) Zeichne einen Thaleskreis (ct) um M durch B. Man erhält Punkt E. Zeichne eine Gerade durch die Punkte A und E. Der Schnittpunkt mit c1 ist Ecke D des späteren Quadrats. Ziehe um D der einen Kreisbogen (c3) mit der Seitenlänge als Radius. Der Schnittpunkt mit c2 ist Ecke C. Verbinde die Ecken zu einem Quadrat.

Konstruktion mit gegebener Diagonale mini|hochkant=0.9|Konstruktion bei gegebener Diagonale Gegeben: Die Diagonale d mit den Endpunkten A und C. Konstruiere auf der Diagonale die Mittelsenkrechte (blau). Der Schnittpunkt mit der Diagonalen ist der Mittelpunkt M. Ziehe um M einen Kreis durch A. Die Schnittpunkte mit der Mittelsenkrechten sind die beiden fehlenden Ecken B und D. Verbinde die Ecken A, B, C, und D zyklisch miteinander.

Animationen

Konstruktion nur mit Zirkel

Gegeben: Ein Kreis um Punkt M mit beliebigem Radius und Punkt A auf dem Kreis. Ziehe einen kurzen Kreisbogen mit Radius um A mit Schnittpunkt B. Ziehe um B einen kurzen Kreisbogen mit gleichem Radius, Schnittpunkt ist C. Ziehe den gleichen Kreisbogen um C mit Schnittpunkt D. Ziehe um A einen kurzen Kreisbogen mit Radius . Ziehe den gleichen Kreisbogen um D mit Schnittpunkt E. Ziehe einen Kreisbogen um D mit Radius , es ergeben sich die Eckpunkte F und G des virtuellen Quadrats AGDF. mini|links|hochkant=0.9|Quadrat, Konstruktion nur mit Zirkel

Ineinander liegende Quadrate mini|x150px|Situation nach Umordnung der Teildreiecke

Der kanadische Mathematiker Ross Honsberger verglich in einer seiner Schriften unter anderem die Flächenmaßzahlen zweier ineinander liegender Quadrate und entdeckte folgenden Zusammenhang: Verbindet man die vier Eckpunkte eines Quadrats geradlinig mit den Mittelpunkten der gegenüber liegenden Seiten, so entsteht ein zweites inneres Quadrat, dessen Flächenmaßzahl ein Fünftel der Flächenmaßzahl des Ausgangsquadrats beträgt.Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 157Ross Honsberger: Mathematical Morsels Mathematical Association of America, Washington 1978, S. 204–205

Diese Aussage lässt sich geometrisch durch Umordnung von Teilflächen veranschaulichen.

Die dunkelblauen kongruenten rechtwinkligen Dreiecke werden dem Ausgangsquadrat (linke Figur) entnommen und ergänzen die hellblauen Trapeze zu Quadraten (rechte Figur). Somit ist die linke Figur flächengleich zu der aus fünf kongruenten Quadraten bestehenden rechten kreuzförmigen Figur.

Der Anteil des roten Quadrats an der Gesamtfigur beträgt demnach ein Fünftel.

Zwei sich berührende Quadrate mini|hochkant|Figur 1: Ausgangslage mini|hochkant|Figur 2: Lage nach Drehung mini|hochkant|Figur 3: Ausgangslage mini|hochkant|Figur 4: Lage nach Drehung Im Folgenden seien jeweils zwei Quadrate gegeben, die sich an einer Ecke berühren, und durch je zwei (grün und gelb gefärbte) sogenannte Flankendreiecke ergänzt werden. Aus der besonderen Lage der beiden Quadrate zueinander lassen sich Eigenschaften der Flankendreiecke bezüglich ihrer Flächenmaßzahlen und ihrer Transversalen herleiten.

Flächengleichheit von Flankendreiecken Eigenschaft 1: Die beiden Flankendreiecke zweier sich an einer Ecke berührender Quadrate sind flächengleich.

Algebraischer Beweis: Wegen gilt . Durch Multiplikation mit auf beiden Seiten der Gleichung folgt weiter . Deshalb sind nach der Flächeninhaltsformel für allgemeine Dreiecke die beiden Flankendreiecke flächengleich.

Geometrischer Beweis: Dreht man im Uhrzeigersinn das obere grüne Dreieck um 90° um den gemeinsamen Eckpunkt der beiden Quadrate, so erkennt man, dass das grüne und das gelbe Dreieck in der Länge einer Seite und der darauf errichteten Höhe übereinstimmen, woraus unmittelbar die behauptete Flächengleichheit folgt (Figur 1 und 2).

Transversalen in Flankendreiecken Eigenschaft 2: Die Höhe eines der beiden Flankendreiecke und die Seitenhalbierende des anderen Flankendreiecks zweier sich an einer Ecke berührender Quadrate liegen auf einer gemeinsamen Transversalen beider Dreiecke.

Geometrischer Beweis: Dreht man das obere grüne Dreieck zunächst um 90° im Uhrzeigersinn und anschließend um 90° gegen den Uhrzeigersinn um den gemeinsamen Eckpunkt der beiden Quadrate, so liegen die gedrehten roten Strecken parallel zur Grundseite des gelben Dreiecks. Die äußeren Seiten der gedrehten Flankendreiecke sind ebenfalls parallel zueinander. Damit gilt . Hieraus folgt, dass die zur Grundseite des gelben Dreiecks gedrehten roten Strecken Seitenhalbierenden der grünen Dreiecke sind. Nach dem Zurückdrehen in die ursprüngliche Position liegen somit die roten Strecken auf einer gemeinsamen Transversalen beider Dreiecke (Figur 3 und 4).Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 85–90

Quadrate in der erweiterten Vecten-Figur mini|hochkant|Figur 5: Die gesamte gelb gefärbte Fläche ist dreimal so groß wie die gesamte grün gefärbte Fläche. Erweitert man die Vecten-Figur um drei weitere Quadrate wie in Figur 5, so ist die Flächeninhaltssumme der drei äußeren Quadrate dreimal so groß wie die der drei inneren Quadrate:

Beweis:

Bezüglich der Lage der Seiten und Winkel im mittleren Dreieck der Figur 5 werden die Standardbezeichnungen , und sowie , und in der üblichen Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn verwendet. Nach dem Kosinussatz und der Symmetrieeigenschaft

gelten die Beziehungen und . Hieraus folgt: (1) Analog erhält man: (2) (3) Aus (1), (2) und (3) folgt unmittelbar:

was zu zeigen war.Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 94/95

Quadrate im Kreis und im Halbkreis mini|300px|Beweisfiguren mini|309px|Einbeschriebene Quadrate Einem Kreis sei ein Quadrat und einem Halbkreis mit demselben Radius ein weiteres Quadrat einbeschrieben. Dann hat das größere Quadrat den -fachen Flächeninhalt des kleineren Quadrats.

Die Beweisfiguren werden wie abgebildet in eine Parkettierung aus Einheitsquadraten eingebettet. Hierbei wurden die Seiten des größeren Quadrats so gedreht, dass der Satz des Pythagoras anwendbar ist. Das kleinere Quadrat hat den Flächeninhalt . Nach dem Satz des Pythagoras beträgt die Seitenlänge des größeren Quadrats . Demnach hat es den Flächeninhalt und ist somit -mal so groß wie das kleinere Quadrat.Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 257, 258, 304

Quadrate am Sinusgraphen mini|hochkant=1.5|Die fünf Quadratpaare am Sinusgraphen sind flächengleich. mini|hochkant=1.5|Beweisfigur Die Invarianz von Quadratsummen gilt für die Kathetenquadrate beim Satz des Pythagoras. In gewisser Analogie hierzu treten unter bestimmten Voraussetzungen invariante Quadratsummen auch im Zusammenhang mit der Sinusfunktion auf.Hans Walser: Spiel mit Quadraten In: MU, Der Mathematikunterricht, Jahrgang 67, Heft 3–2021, S. 17–27, ISSN 0025-5807Invariante Flächensumme auf der Sinuskurve PDF-Skript zum Vortrag von Hans Walser, Buchautor und Lehrbeauftragter für Mathematik an mehreren Schweizer Hochschulen, auf dem 24. Forum für Begabungsförderung in Mathematik 2023, Wolfratshausen, abgerufen am 13. August 2023

Gegeben sei der ganz oberhalb der x-Achse verlaufende Graph einer Sinusfunktion mit der Gleichung für und ein beliebiger Punkt des Graphen, sowie ein Punkt links von und ein Punkt rechts von , wobei die x-Koordinaten von und eine halbe Periodenlänge, also , voneinander entfernt sind.

Dann hat die Gesamt-Flächenmaßzahl der beiden Quadrate über und unabhängig von der Lage des Punktes stets denselben Wert, nämlich .

In der abgebildeten Beispielfigur sind obige Voraussetzungen erfüllt. Die fünf verschieden gefärbten Quadratpaare haben dieselbe Flächenmaßzahl.

Der Beweis verwendet den Satz des Pythagoras und die Additionstheoreme der Trigonometrie. Die Punkte , , haben folgende Koordinaten: , , Dann beträgt die Gesamt-Flächenmaßzahl der beiden Quadrate nach zweimaliger Anwendung des Pythagoras-Satzes und elementaren Termumformungen unter Verwendung der Additionstheoreme:

Spiralen mini|hochkant=1|Figur 2 Die Maßzahl der Flächenspirale (rot) ist gleich ein Viertel der Maßzahl des Ausgangsquadrats. mini|hochkant=1|Figur 1 Die Gesamtlänge der Linienspirale (rot) ist gleich der um die halbe Diagonalenlänge vergrößerten Seitenlänge des Ausgangsquadrats.

Gegeben sei eine unendliche Folge von Quadraten, in der jedem Quadrat jeweils das nachfolgende Quadrat so einbeschrieben ist, dass jede Seite von durch den Eckpunkt des Nachfolgers halbiert wird. O.B.d.A. wird der Seite des Ausgangsdreiecks die Länge 1 zugeordnet. Dann gilt:

Linienspirale Ist die halbe Seitenlänge des n-ten Quadrats (Figur 1), so ist eine geometrische Folge mit dem Bildungsgesetz und dem Grenzwert . Flächenspirale