Die Zeitdilatation (von lateinisch dilatare, ‚dehnen‘, ‚aufschieben‘) ist ein Effekt, der durch die Relativitätstheorie beschrieben wird.
Zu unterscheiden sind zwei Effekte: Zeitdilatation aufgrund relativer Bewegung, und Zeitdilatation im Gravitationsfeld bzw. in der Nähe einer Masse.
Die Zeitdilatation aufgrund relativer Bewegung ist ein Effekt der speziellen Relativitätstheorie (Einstein, 1905). Er bewirkt, dass für einen externen Beobachter alle inneren Prozesse eines relativ zu ihm bewegten physikalischen Systems langsamer ablaufen als für ihn selbst: „Bewegte Uhren gehen langsamer.“Da sich beide Systeme relativ zueinander bewegen, tritt dieser Effekt für Beobachter in beiden Systemen auf: Jeder sieht die Zeit im anderen System langsamer ablaufen. Der Effekt ist umso stärker, je größer die Relativgeschwindigkeit ist, und wird sehr groß, wenn sie sich der Lichtgeschwindigkeit nähert.Damit verbunden ist die Relativität der Gleichzeitigkeit: Es gibt keine universelle, für alle Beobachter gleiche Zeit. Zeitdilatation und Lorentz-Kontraktion sind eng verknüpfte geometrische Effekte der vierdimensionalen Raumzeit.
Die gravitative Zeitdilatation ist ein Effekt der allgemeinen Relativitätstheorie (Einstein, 1915). In einem stärkeren Gravitationsfeld verläuft die Zeit langsamer als in einem schwächeren. Der Effekt ist klein: Auf der Erdoberfläche vergeht die Zeit um 7·10−10 langsamer als im fernen, näherungsweise gravitationsfreien Weltraum. Anders als bei der Zeitdilatation durch Bewegung ist die gravitative Zeitdilatation nicht gegensätzlich, sondern übereinstimmend: So wie der im Gravitationsfeld weiter oben befindliche Beobachter die Zeit des weiter unten befindlichen Beobachters langsamer ablaufen sieht, sieht der untere Beobachter die Zeit des oberen Beobachters entsprechend schneller ablaufen.
Zeitdilatation durch relative Bewegung mini|Gedankenexperiment zur Zeitdilatation: a) Uhren starten b) Uhren stoppen mini|Video: Relativitätstheorie Albert Einsteins und die Zeitdilatation
Bei konstanter Geschwindigkeit Anschaulicher Einblick ohne Formeln Eine der wichtigsten Grundannahmen der Relativitätstheorie ist die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit. Das bedeutet, dass alle Beobachter denselben Wert für die Geschwindigkeit des Lichts messen, egal wie schnell sie sich selbst oder wie schnell sich die Lichtquelle bewegt. Man stelle sich einen sehr schnell fahrenden Zug vor. Für die Zuginsassen bewegen sich die Lichtstrahlen von der Deckenbeleuchtung bis zum Fußboden senkrecht nach unten. Nennen wir den Startpunkt A und den Zielpunkt B. Wenn wir davon ausgehen, dass die Wegstrecke von A nach B 3 m beträgt, dann benötigt das Licht dafür die unvorstellbar kurze Zeit von 0,01 μs.
Vom ruhenden Bahndamm aus betrachtet stellt sich die Situation etwas anders dar: Während das Licht von A nach B läuft, fährt der Zug ein Stückchen weiter, sagen wir 1 m, so dass der Weg von A nach B nicht mehr genau senkrecht ist, sondern leicht nach vorne geneigt. Dadurch ist er auch etwas länger, nämlich 3,16 m. Da wie gesagt für alle Beobachter derselbe Wert für die Lichtgeschwindigkeit gilt, berechnet der Beobachter am Bahndamm eine etwas längere Zeit für diesen Vorgang (0,0105 µs). Weil im Zug offenbar eine halbe Nanosekunde weniger vergangen ist als auf dem Bahndamm, schließt der ruhende Beobachter, dass die Zeit im fahrenden Zug langsamer läuft.
Die allgemeine Tatsache, dass bewegte Uhren aus Sicht eines ruhenden Beobachters langsamer gehen, bezeichnet man als Zeitdilatation.
Erläuterung Zum Verständnis der Zeitdilatation ist es erforderlich, sich die grundlegenden Messvorschriften und Methoden zur Zeitmessung mit ruhenden und bewegten Uhren zu vergegenwärtigen.
Wenn zwei Ereignisse nacheinander am selben Ort in einem Inertialsystem auftreten, dann kann durch direktes Ablesen der Zeigerstellungen einer an diesem Ort ruhenden Uhr C die Eigenzeit (Zeitspanne zwischen erstem und zweitem Ereignis) ermittelt werden. Die von C angezeigte Eigenzeit ist invariant, also in allen Inertialsystemen wird zugestimmt, dass C diese Zeitspanne während des Vorgangs anzeigte. Wird die Eigenzeit von C mit den Uhren relativ bewegter Inertialsysteme verglichen, kann folgendermaßen vorgegangen werden: Ein Beobachter im Inertialsystem S stellt zwei Uhren A und B auf, die mit Lichtsignalen synchronisiert sind. Uhr C ruht in S′ und bewegt sich mit der Geschwindigkeit v von A nach B, wobei sie zum Startzeitpunkt mit A und B synchron sein soll. Die „bewegte“ Uhr C (für welche die Eigenzeit vergangen ist) geht bei ihrer Ankunft gegenüber der „ruhenden“ Uhr B (für die vergangen ist) nach, und zwar gemäß folgender Formel für die Zeitdilatation (siehe Herleitung):
(1)
somit gehen Uhren A und B schneller um mini|Der Lorentz-Faktor als Funktion der Relativgeschwindigkeit
(2)
wobei
der Lorentz-Faktor mit der Lichtgeschwindigkeit ist.
Nun besagt das Relativitätsprinzip, dass in S′ die Uhr C als ruhend betrachtet werden kann und folglich die Uhren A und B langsamer gehen müssen als C. Auf den ersten Blick widerspricht dies jedoch dem Umstand, dass in beiden Inertialsystemen Uhr C beim Zusammentreffen mit B nachgeht, was auch aus der Invarianz der Eigenzeiten der Uhren C und B folgt.
Dies wird allerdings erklärbar, wenn die Relativität der Gleichzeitigkeit berücksichtigt wird. Denn obige Messung beruhte auf der Voraussetzung, dass die Uhren A und B (und somit zum Startzeitpunkt auch C) synchron sind, was jedoch aufgrund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen nur in S der Fall ist. In S′ schlägt die Synchronisierung von A und B fehl – weil die Uhren sich hier in negativer -Richtung bewegen und B dem Zeitsignal entgegenkommt, während A diesem davonläuft. B wird also zuerst vom Signal erfasst und beginnt gemäß einem durch die Lorentz-Transformation zu ermittelnden Wert früher als A zu laufen. Berücksichtigt man dieses Vorgehen von Uhr B aufgrund des verfrühten Starts (zieht man also diesen Zeitbetrag von der Gesamtzeit von B ab), ergibt sich auch hier, dass die „bewegte“ Uhr B (für welche die Eigenzeit vergangen ist) während des Weges zur „ruhenden“ Uhr C (für welche vergangen ist) langsamer läuft gemäß folgender Formel:
(3)
somit geht Uhr C schneller um
(4)
Die Zeitdilatation fällt also – wie vom Relativitätsprinzip gefordert – in allen Inertialsystemen symmetrisch aus: Jeder misst, dass die Uhr des jeweils anderen langsamer läuft als seine eigene. Diese Forderung ist erfüllt, obwohl in beiden Inertialsystemen C gegenüber B beim Zusammentreffen nachgeht und die Eigenzeiten von C als auch B invariant sind.
Veranschaulichung der Größenordnung Bei nicht sehr großen Geschwindigkeiten wirkt sich die Zeitdilatation praktisch gar nicht aus. Zur Veranschaulichung stellen wir uns einen fiktiven und vereinfachten Raumflug vom Sonnensystem zum nächsten Stern Proxima Centauri vor. Hierbei lassen wir Effekte, die sich durch das Beschleunigen oder Abbremsen des Raumfahrzeugs ergeben, aus Gründen der Einfachheit unberücksichtigt. Die Distanz beträgt 4,24 Lichtjahre. Je nach Reisegeschwindigkeit ergeben sich folgende Werte: Geschwindigkeit in Prozent der LichtgeschwindigkeitReisedauer im Ruhesystem in JahrenReisedauer im Bordsystem in JahrenVerhältnis Bordsystem : Ruhesystem (gerundet)0,004106000105999,9999921 : 1,00000000081424423,91 : 1,000051042,442,21 : 1,005508,487,341 : 1,15904,712,051 : 2,29994,280,601 : 7,0999,994,240,061 : 70,7
Mit „Ruhesystem“ ist hier das Bezugssystem gemeint, in dem die Erde und Proxima Centauri ruhen. Mit „Bordsystem“ ist das Eigensystem des Raumfahrzeugs gemeint. Die in der ersten Zeile verwendete Geschwindigkeit (0,004 % der Lichtgeschwindigkeit) ist ungefähr diejenige, die von dem bisher schnellsten bemannten Raumfahrzeug (Apollo-Kapsel) erreicht wurde.
Zeitdilatation und Längenkontraktion Dabei ist ersichtlich, dass die Zeitdilatation von gegenüber (gemessen mit ruhenden, synchronisierten Uhren)
reziprok ist zur kontrahierten Länge bewegter Objekte (gemessen durch gleichzeitige Bestimmung der Endpunkte mittels ruhender Maßstäbe) bezüglich ihrer Ruhelänge :
Das bedeutet, dass die von mitbewegten Uhren angezeigte Eigenzeit immer kleiner ist als die von ruhenden Uhren angezeigte Zeitspanne, wohingegen die von mitbewegten Maßstäben gemessene Eigenlänge immer größer ist als die von ruhenden Maßstäben gemessene Länge desselben Objekts.
Der umgekehrte Fall tritt ein, wenn Uhr und Maßstab nicht im selben Inertialsystem ruhen. Bewegt sich nämlich die Uhr innerhalb der Zeitspanne entlang eines Maßstabs in S (gemessen von dort ruhenden Uhren), dann ist dessen Ruhelänge einfach mit gegeben, wohingegen die dilatierte Uhr eine geringere Eigenzeit gemäß anzeigt. Da ihre Eigenzeit invariant ist, wird sie diese Zeitspanne auch im eigenen Ruhesystem anzeigen, woraus folgt, dass der in S′ bewegte Stab die Länge hat. Der Stab ist hier also um einen Faktor kürzer, was der Längenkontraktion des bewegten Stabes entspricht.
Lichtuhr mini|Lichtuhren, links A ruhend, rechts B mit 50 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt (Lichtblitz •) Für eine einfache Erklärung dieses Faktors kann das Konzept der Lichtuhr herangezogen werden. Eine Lichtuhr besteht aus zwei Spiegeln im Abstand , die einen kurzen Lichtblitz hin und her reflektieren. Eine solche Lichtuhr wurde bereits im 19. Jahrhundert in der Theorie der Lichtlaufzeiten beim Michelson-Morley-Experiment besprochen, und als Gedankenexperiment zur Herleitung der Zeitdilatation erstmals 1909 von Gilbert Newton Lewis und Richard C. Tolman benutzt.
Wenn eine Lichtuhr A gegeben ist, wird aus Sicht eines mit ihr mitbewegten (also relativ zu ihr ruhenden) Beobachters ein Blitz für den einfachen Weg zwischen den Spiegeln die Zeit benötigen. An einem der beiden Spiegel wird jedes Auftreffen des Lichtblitzes registriert und dabei jedes Mal die Lichtuhr um eine Zeiteinheit weitergestellt, die der Gesamtlaufzeit des Lichtblitzes entspricht.
Wird nun eine zweite Lichtuhr B senkrecht zur Verbindungslinie der Spiegel mit der Geschwindigkeit bewegt, so muss das Licht aus Sicht des A-Beobachters zwischen den Spiegeln eine größere Strecke zurücklegen als bei Uhr A. Unter der Annahme der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit geht für den A-Beobachter Uhr B daher langsamer als Uhr A. Die Zeit , die der Lichtblitz für den einfachen Weg zwischen den Spiegeln benötigt, ergibt sich über den Satz des Pythagoras
Durch Einsetzen der Ausdrücke für und und Auflösen nach erhält man schließlich
oder mit dem Lorentzfaktor
(4)
und somit
(3)
Hingegen kann ein mit Uhr B mitbewegter Beobachter gemäß Relativitätsprinzip ebenfalls von sich behaupten, sich in Ruhe zu befinden. Das heißt, seine bei ihm befindliche Uhr B wird eine einfache Laufzeit von für den Lichtblitz anzeigen. Hingegen wird der Lichtblitz der aus Sicht des Beobachters bewegten Uhr A für ihn einen größeren Weg zurücklegen und benötigt die Zeit
(2)
und somit gilt
(1)
Formulierung im vierdimensionalen Minkowski-Raum
Für eine anschauliche Beschreibung beschreibt man Raum und Zeit als vierdimensionalen Vektor im Minkowski-Raum, mit einer Zeit- und drei Raumdimensionen. Das vierdimensionale Linienelement im Minkowski-Raum ist gegeben durch
Eigenzeit
Von besonderer Bedeutung ist die Eigenzeit , die Zeit, die in dem Inertialsystem verstreicht, in dem das Objekt in Ruhe ist.
Die Norm des Linienelements ist, wie die Norm aller Vierervektoren, lorentz-invariant, also für alle Intertialsysteme gleich. Im Ruhesystem gilt: und , das heißt es gilt einfach:
Der raumzeitlichen Abstand ist also gleich der Eigenzeit (multipliziert mit )
Durch Einsetzen und Herausheben von folgt dann
Da eine Geschwindigkeit allgemein als Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit definiert ist:
folgt daraus
Das Differential ist also immer nur -mal so groß wie