rahmenlos|hochkant=0.8|rechts|Kreiszahl Die Kreiszahl , auch bezeichnet als Ludolphsche (andere Schreibweise Ludolfsche) ZahlH.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-96783-2, S. 102. oder Archimedes-Konstante,Jörg Neunhäuserer: 4.6 Die Archimedes-Konstante π in: Schöne Sätze der Mathematik. Springer, 3. Auflage 2022, ISBN 978-3-662-65829-1, S. 70. ist eine mathematische Konstante.
Die Bezeichnung (gelesen ‚pi‘) verweist auf den Anfangsbuchstaben des griechischen Worts ( – „Umfang“) beziehungsweise des griechischen Worts (lateinisch – „Randbereich“), was andeutet, dass die Kreiszahl das Verhältnis der Länge einer Kreislinie, also des Umfangs des zugehörigen Kreises, zu dessen Durchmesser angibt.Dieses Verhältnis ist für alle Kreise in der euklidischen Ebene gleich, unabhängig von deren Größe. Die Zahl hat in allen Stellenwertsystemen unendlich viele, nicht-periodisch auftretende Nachkommastellen – ihre Dezimaldarstellung bis zur 50. Nachkommastelle lautet:
= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 …
Wo keine besonders große Genauigkeit erforderlich ist, wird gerne mit dem Näherungswert 3,14 für gerechnet.
Die Zahl hat eine Reihe besonderer Eigenschaften, insbesondere ist sie transzendent und somit auch irrational, das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden.Daher ist es nicht möglich, durch die Angabe eines einfachen Musters der Nachkommastellen geschlossen anzugeben. Es ist lediglich eine zunehmend bessere Annäherung durch Berechnung weiterer Nachkommastellen möglich. Seit dem 14. März 2024 sind 105 Billionen Nachkommastellen der Kreiszahl bekannt. Die enorme Bedeutung der Zahl liegt darin begründet, dass sie in vielen ganz unterschiedlichen mathematischen Teilgebieten und Theorien auftritt: neben der Geometrie etwa in der Analysis (insbesondere in der Funktionentheorie), der Kombinatorik, der Topologie, der Zahlentheorie und der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie in der Physik.
Geschichte Die Erforschung der Kreiszahl und Kreisberechnungen haben eine sehr lange mathematische Tradition. So konnte der griechische Mathematiker Archimedes um das Jahr 250 v. Chr. Pi mit Hilfe von 96-seitigen Polygonen durch abschätzen und damit auf zwei Nachkommastellen genau berechnen. Später haben die beiden chinesischen Mathematiker Liu Hui und Zu Chongzhi im Zeitraum 300 bis 500 auf Basis von Polygonen mit bis zu 12.288 Seiten Pi mit dem Näherungsbruch 355/113 auf sechs Nachkommastellen genau bestimmt.
Nachdem in den westlichen Kulturen – über die Berechnungen des Archimedes hinaus – lange Zeit keine weiteren Fortschritte erzielt worden waren, wurden etwa ab dem 16. Jahrhundert in Europa die Forschungen zur Kreiszahl erneut aufgenommen, wobei sich seit dieser Zeit ein gewisser Wettlauf hinsichtlich der Berechnungsgenauigkeit einstellte. Geometrische Verfahren, die auf der Annäherung des Kreises durch Vielecke basierten, wurden zunehmend durch Methoden der Analysis ersetzt, vornehmlich Berechnungen über unendliche Reihen, die seit der mathematisch strengen Begründung der Trigonometrie zur Verfügung standen.Dies mündete nicht zuletzt in die heutigen Berechnungen der Kreiszahl unter Anwendung des Chudnovsky-Algorithmus.
Im Zeitraum 1761 bis 1768 konnte Johann Heinrich Lambert den mathematischen Beweis erbringen, dass eine irrationale Zahl ist. Dieses Ergebnis wurde 1882 von Ferdinand von Lindemann durch den Beweis, dass eine transzendente Zahl ist, verschärft. Damit grenzt sich die Kreiszahl auch von jenen irrationalen Zahlen ab, die als Lösungen einfacher Gleichungen „sichtbar“ werden. Damit sind Gleichungen gemeint, die nur aus ganzen Zahlen und einer endlichen Abfolge der vier Grundrechenarten aufgebaut sind (triviale Beispiele wie ausgenommen): Beispielsweise ist zwar irrational, aber nicht transzendent, da sie Lösung der Gleichung ist. Allerdings bleiben viele Fragen weiterhin offen. Es wird zum Beispiel vermutet, dass eine normale Zahl ist, ihre Dezimalentwicklung also einem pseudozufälligen Verhalten unterworfen ist.
Herkunft der Bezeichnung Die Bezeichnung Pi () wurde erstmals von William Oughtred in seiner 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio verwendet. Darin drückte er mit das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) aus, d. h. William Oughtred: Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio. 1663. In: Clavis Mathematicae. Lichfield, Oxford 1667, S. 201–214, hier S. 203. Dieselben Bezeichnungen benutzte um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow. Im Jahr 1697 nahm David Gregory für das Verhältnis von Umfang zu Radius.Vgl. David Eugene Smith: History of Mathematics. Band 2. Dover, New York 1953, S. 312 (The Symbol ). Abgerufen am 24. Oktober 2023 (englisch).
59 Jahre später als Oughtred, nämlich im Jahr 1706, setzte der walisische Mathematiker William Jones in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos als Erster den griechischen Kleinbuchstaben ein, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken. Erst im 18. Jahrhundert wurde durch Leonhard Euler populär. Er verwendete 1737 erstmals für die Kreiszahl, nachdem er zuvor verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.
Definition Es existieren mehrere gleichwertige Ansätze, die Kreiszahl zu definieren. Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus:Vgl. Kreisfläche! Die erste (klassische!) Definition in der Geometrie (siehe Bild) beruht auf der Proportionalität von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl definieren als das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser des Kreises. Die Kreiszahl entspricht demnach dem Quotienten und Proportionalitätsfaktor . Der zweite geometrische Ansatz (siehe Bild) fußt auf dem Vergleich des Flächeninhalts eines Kreises mit dem Flächeninhalt des Quadrats über seinem Kreisradius (auch: Halbmesser) , also seinem halben Durchmesser. Aus Gründen der Ähnlichkeit sind diese beiden Flächeninhalte ebenfalls proportional. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl definieren als der Quotient bzw. der Proportionalitätsfaktor . Man fasst diese zweite Definition in den Merksatz, dass sich eine Kreisfläche zur umgebenden Quadratfläche wie verhält.
In der Analysis geht man (nach Edmund Landau) oft so vor, zunächst die reelle Kosinusfunktion über ihre Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus festzulegen. Weitere analytische Ansätze gehen auf John Wallis und Leonhard Euler zurück.
Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus, vergleiche Kreisfläche. Der Umfang eines Kreises verhält sich also zu seinem Durchmesser genauso wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius, sprich . Das jeweilige Verhältnis – der Proportionalitätsfaktor – ist in beiden Fällen die Kreiszahl .
Eigenschaften Irrationalität und Transzendenz 400x400px|mini|Die Kreiszahl ist transzendent und hat deshalb unendlich viele Nachkommastellen. In der Zahlenfolge sind bislang keine vorhersagbaren Muster erkennbar.
Die Zahl ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen , also nicht als Bruch , dargestellt werden kann. Das wurde 1761 bis 1768 von Johann Heinrich Lambert bewiesen.Einen einfachen Irrationalitätsbeweis lieferte im Jahre 1947 der Zahlentheoretiker Ivan Niven. ()
Tatsächlich ist die Zahl sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das als Nullstelle hat. So ist auch jede Zahl, die durch algebraische Operationen wie Addition und Multiplikation mit sich selbst und mit ganzen Zahlen aus erzeugt wird, wiederum transzendent. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen.
Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken, und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.
Bei der Kreiszahl handelt es sich jedoch um eine algebraische Periode, was unmittelbar aus deren geometrischer Natur als Fläche des Einheitskreises hervorgeht.
Die ersten 100 Nachkommastellen Da eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung Aufstellung der ersten 10 Millionen Stellen auf pibel.de. (PDF; 6,6 MB).
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ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit (siehe auch Frage der Normalität).
Darstellung zu anderen Zahlenbasen Im Binärsystem ausgedrückt ist (siehe OEIS-Folge OEIS:A004601)
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Basen 3 bis 16 und 60 Die Darstellung zur Basis 3 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004602) .
Die Darstellung zur Basis 4 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004603) .
Die Darstellung zur Basis 5 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004604) .
Die Darstellung zur Basis 6 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004605) .
Die Darstellung zur Basis 7 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004606) .
Die Darstellung zur Basis 8 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004607) .
Die Darstellung zur Basis 9 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004608) .
Die Darstellung zur Basis 10 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A000796) .
Für die Darstellung zur Basis 11 bis 16 werden die Ziffern 10 bis 15 kodiert als: Ziffer 10: , Ziffer 11: , Ziffer 12: , Ziffer 13: , Ziffer 14: und Ziffer 15:
Die Darstellung zur Basis 11 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068436) .
Die Darstellung zur Basis 12 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068437) .
Die Darstellung zur Basis 13 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068438) .
Die Darstellung zur Basis 14 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068439) .
Die Darstellung zur Basis 15 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068440)
Die Darstellung zur Basis 16 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A062964) .
Bezüglich Gestalt zur Basis 60 siehe OEIS-Folge OEIS:A060707.
Kettenbruchentwicklungen Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da irrational ist, ist diese Darstellung unendlich lang, und, da es keine quadratisch irrationale Zahl ist, ist sie nicht periodisch. Der reguläre KettenbruchHier sind alle Teilzähler gleich 1. der Kreiszahl beginnt so:
Eine mit der regulären Kettenbruchentwicklung verwandte Entwicklung von ist diejenige als negativ-regelmäßiger KettenbruchHier sind alle Teilzähler gleich −1. ():
Anders als bei der Eulerschen Zahl konnten bislang (2000) bei der regulären Kettenbruchdarstellung von keine Muster oder Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden. Jedoch gibt es nicht-reguläre Kettenbruchdarstellungen von , bei denen einfache Gesetzmäßigkeiten erkennbar sind:
Näherungsbrüche der Kreiszahl Aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl (Zähler- bzw. Nenner-) die folgenden:
Nähe-rung Kettenbruch Näherungs-bruch Dezimaldarstellung(erste abweichende Ziffer in rot) Absoluter Fehlermittels Umfangsberechnungeines Kreises mit1000 km Durchmesser −141,59 km +1,26 km −83,22 m +26,68 cm(relativer Fehler +0,2668 ppm) −0,58 mm +0,33 mm −0,4 µm(Wellenlänge blauen Lichts) −2,6 · 10−16 m(kleiner als ein Proton)
mini|rechts|248px|Lambert publizierte einige Näherungsbrüche der Kreiszahl und sagte voraus, dass ein exakter Bruch, wenn er denn existiere, sehr „groß“ sein (also aus großem Zähler und Nenner bestehen) müsse.