mini|hochkant=1|Bernhard Riemann (1863)
Die Riemannsche Vermutung, Riemannsche Hypothese, Riemannhypothese oder kurz RH steht im Zusammenhang mit der Verteilung der Primzahlen und ist nach Meinung führender Mathematiker das derzeit bedeutendste ungelöste Problem der reinen Mathematik. Sie wurde erstmals 1859 von Bernhard Riemann in seiner Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe in einem Nebensatz formuliert. Die von Riemann formulierte Vermutung besagt, dass alle Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion (für die also gilt) entweder negative gerade Zahlen , , … sind (die trivialen Nullstellen), oder komplexe Zahlen sind (die nichttrivialen Nullstellen), deren Realteil beträgt und die daher alle auf der sogenannten kritischen Geraden liegen.
Nachdem sie bereits im Jahr 1900 von David Hilbert auf seine Liste 23 wichtiger Jahrhundertprobleme gesetzt worden war, wurde die Riemannsche Vermutung im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute in die Liste der sieben Millennium-Probleme der Mathematik aufgenommen. Das Institut in Cambridge (Massachusetts) hat damit ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für eine schlüssige Lösung des Problems in Form eines mathematischen Beweises ausgelobt. Für eine allfällige Widerlegung der Vermutung gibt es Sonderregeln für den Fall, dass allein mit der Rechenkraft moderner Computer („brute force“) einzelne, letztlich zufällige Gegenbeispiele gefunden werden, die keinerlei „tiefere Einsicht“ in das Problem ermöglichen.
Eine wichtige Äquivalenz zur Riemannschen Vermutung ist das „möglichst zufällige“ Verhalten der Folge der Primzahlen . Das sollte sich zum Beispiel dadurch äußern, dass die Abfolge der Ereignisse, dass eine natürliche Zahl eine gerade Anzahl an Primfaktoren besitzt, wie zum Beispiel mit zwei Faktoren, oder eine ungerade Anzahl an Primfaktoren besitzt, wie mit drei Faktoren, für , also nach dem Schema (mit null Primfaktoren für die 1) auf lange Sicht ungefähr ein Verhalten aufweist, das auch ein unendlich häufig wiederholter Münzwurf mit „Kopf“ und „Zahl“ (stellvertretend für „gerade“ und „ungerade“) realistischerweise haben könnte. Diese Sichtweise motiviert sich aus dem zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Theorie, welche die Riemannsche Vermutung löst und damit eine tiefere Erklärung für diese Zufälligkeit unter den Primzahlen lieferte, könnte daher aus Sicht der Mathematiker ein fundamental neues Verständnis für Zahlen im Allgemeinen nach sich ziehen.
Bei der Riemannschen Zeta-Funktion, um die es in der Vermutung geht, handelt es sich um eine mathematische Funktion zwischen komplexen Zahlen, die formal als eine analytische Fortsetzung einer unendlichen Summe (Reihe) definiert wird. Bereits Leonhard Euler erkannte, dass sich die Funktionswerte sowohl mithilfe von Primzahlen (Euler-Produkt) als auch mithilfe der eigenen Nullstellen, ähnlich wie bei Polynomen (beispielsweise ), darstellen lassen. Durch dieses induzierte Zusammenspiel ergibt sich, dass die Nullstellen Eigenschaften der Primzahlen und die Primzahlen wiederum Eigenschaften der Nullstellen kodieren. Mathematiker sprechen in diesem Zusammenhang oft von einer Dualität.
Es ist schon bewiesen, dass die Zeta-Funktion die trivialen Nullstellen hat und dass die Zeta-Funktion unendlich viele nichtreelle Nullstellen mit dem Realteil besitzt. Die Riemannsche Vermutung besagt, dass es darüber hinaus keine weiteren Nullstellen gibt, d. h., dass alle nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion auf einer Geraden in der Zahlenebene parallel zur imaginären Achse liegen. Da die Zeta-Funktion über eine Funktionalgleichung ein elementares Spiegelungsgesetz bezüglich besitzt, ist sie äquivalent dazu, dass sich sämtliche Nullstellen „möglichst weit links“ befinden, wobei „linke Nullstellen“ eine eher gleichmäßige Primzahlverteilung zur Folge haben. Gleichzeitig baut die bloße Existenz dieser Nullstellen eine natürliche Barriere auf, die so gedeutet werden kann, dass Primzahlen nicht beliebig gleichmäßig, wie etwa „Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, …“, verteilt sein können.
Viele bisher ungelöste Fragestellungen, besonders aus der Zahlentheorie, können mit der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung beantwortet werden. Dies betrifft Probleme aus der mathematischen Grundlagenforschung, wie etwa solche der Primzahlverteilung im Umfeld des Primzahlsatzes oder der offenen Goldbachschen Vermutung, als auch der angewandten Mathematik, wie schnelle Primzahltests. Gleichzeitig gilt sie auch als äußerst schwierig zu beweisen. Bisherige Beweisversuche von prominenten Mathematikern scheiterten allesamt. Ein Grund hierfür ist, dass die Menschheit aus Expertensicht bisher nicht über die nötigen mathematischen Werkzeuge verfügt, sie überhaupt angreifen zu können. So gilt es als sehr wahrscheinlich, dass sie nicht mit rein analytischen Mitteln, also durch bloße Untersuchung des „Funktionsterms“ der Zeta-Funktion mittels des Theorieapparats der holomorphen Funktionen, gezeigt werden kann, sondern mit dem Euler-Produkt eine entscheidende arithmetische Komponente mitspielen muss, obwohl dieses im kritischen Streifen nicht mehr konvergiert, was erhebliche Schwierigkeiten mit sich bringt. So gibt es andere Zeta-Funktionen, die der Riemannschen Zeta-Funktion in ihren Eigenschaften sehr stark ähneln, jedoch kein Euler-Produkt besitzen, und bei denen die Riemannsche Vermutung erwiesenermaßen falsch ist.
Durch umfassenden Einsatz von Computern ist es gelungen, die Riemannsche Vermutung für die ersten 10 Billionen Nullstellen der Zeta-Funktion zu bestätigen. Da die Zeta-Funktion jedoch nachweislich unendlich viele nichtreelle Nullstellen besitzt, könnte sie auf diese Weise nur durch Angabe eines expliziten Gegenbeispiels widerlegt, jedoch nicht bewiesen werden. Ein Gegenbeispiel wäre eine Nullstelle im kritischen Streifen mit Realteil ungleich .
Überblick mini|hochkant=1.3|Zusammengesetzte Zahlen können durch echte „Rechtecke“ ausgedrückt werden (rot, rechts), während bei Primzahlen nur eine simple Aneinanderreihung möglich ist (blau, links) mini|hochkant=1.3|Die Primzahlen (blau, rechts) stehen in tiefem Zusammenhang zu einem System komplexer Zahlen (rot, die anderen Achsen) – hier alles zusammen visualisiert in der komplexen Ebene (Graph zeigt nur Ausschnitt). Erst durch die seit dem 19. Jahrhundert entwickelte Mathematik, insbesondere den Einsatz komplexer Zahlen, wurde diese Dualität „sichtbar“. Trifft die Riemannsche Vermutung zu, so liegen alle (unendlich vielen) nichttrivialen „Dualzahlen“ auf der gestrichelten Linie. mini|hochkant=1.3|Die Häufigkeit der Primzahlen wird durch eine Treppe visualisiert: Bei einer Primzahl macht diese einen Sprung um 1 nach oben. Jede Nullstelle der Zeta-Funktion entspricht einer Schwingung. Bringt man all diese gleichzeitig in Interferenz, so rekonstruiert sich die Verteilung. Das Bild zeigt den Effekt der „ersten“ 50 Nullstellenpaare.
Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, … beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, … Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Primzahlen bilden gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Dieses Resultat wird auch als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet. Zum Beispiel gilt 21 = 3 · 7 und 110 = 2 · 5 · 11.
Trotz ihrer einfachen Definition sind nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte noch viele Fragen über die Primzahlen und deren Verteilung offen. Ihre Natur ist eine der bedeutendsten offenen Fragen der Mathematik. Die Riemannsche Vermutung impliziert viele Aussagen über die Verteilung der Primzahlen und motiviert sich aus folgenden Fragestellungen:Barry Mazur, William Stein: Prime Numbers and the Riemann Hypothesis, Cambridge University Press, S. viii.
Wie viele Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, … kleiner als 100 gibt es? Und wie viele sind es, die kleiner als 10 000 oder 1 000 000 sind? Allgemeiner: Wie viele Primzahlen gibt es, die kleiner als eine beliebige gegebene Zahl X sind?Durch den Primzahlsatz kann man bereits jetzt gute Aussagen darüber treffen, aber die Riemannsche Vermutung verbessert diese.
Auf den ersten Blick sind dies Fragen sehr spezieller Natur, lediglich die Theorie der Zahlen, bzw. Primzahlen, betreffend. Mathematiker, und später auch Physiker, haben jedoch herausgefunden, dass sie mit einer Vielzahl von Strukturen zusammenhängen, die zahlreiche Felder der mathematischen Wissenschaften verknüpfen. Dies betrifft etwa die Quantenphysik, aber auch die Wahrscheinlichkeitstheorie, jener Zweig der Mathematik, der sich mit dem Zufall befasst. All diese Zusammenhänge sind bisher weder exakt formalisiert, noch verstanden worden. Sie alle münden jedoch gemeinsam in der Riemannschen Vermutung: Die Primzahlen stehen in einer DualitätJörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, S. 5.Dimitris Koukoulopoulos: The Distribution of Prime Numbers, American Mathematical Society, Vol. 203, 2020, S. 57.Alain Connes: An Essay on the Riemann Hypothesis In: John Forbes Nash u. Michael Th. Rassias (Hrsg.): Open Problems in Mathematics. Springer, S. 228. zu einem anderen Typ mathematischer Objekte. Dabei bedeutet Dualität, dass es eine natürliche Paarung zwischen den Primzahlen und diesen anderen Objekten gibt. In etwa übertragen sich Informationen über die Primzahlen zu diesen anderen Objekten, aber auch vice versa kodieren diese „Partnerobjekte“ Informationen über Primzahlen. Bei diesen Objekten handelt es sich wieder um Zahlen. Diese unterteilen sich in zwei Kategorien:
Bereits Mitte des 19. Jahrhunderts erkannte Bernhard Riemann, dass die negativen geraden Zahlen, also , ein Teil dieser Dualität sind. Man bezeichnet diesen Teil bis heute auch als trivial, da die mathematische Tiefe für dessen Verständnis nicht so hoch ist. Die übrigen, nichttrivialen „Dualzahlen“ treten nicht als „Zählzahlen“ in Erscheinung, wie es etwa die Primzahlen 2 und 3 auf der anderen Seite der Dualität noch taten, sondern es handelt sich um bestimmte komplexe Zahlen. Die „ersten“ drei dieser Zahlen, sortiert nach der Größe ihrer Imaginärteile, sind
Dabei bezeichnet das Symbol die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen und ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert beträgt. Auffällig ist die Gemeinsamkeit der Zahl als Realteil: Im Kontrast zu der „völlig willkürlichen Anordnung“ der Primzahlen scheint den nichttrivialen „Dualzahlen“ ein sehr strenges Muster zu Grunde zu liegen: wie alle komplexen Zahlen können sie zunächst auf einer Ebene visualisiert werden, und die Riemannsche Vermutung sagt aus, dass die zu den Primzahlen gehörigen nichttrivialen „Dualzahlen“ innerhalb der Ebene alle auf einer gemeinsamen Geraden platziert sind – nämlich jener, auf der alle Zahlen mit Realteil = liegen. Sie tragen demnach vermutlich eine starke geometrische Symmetrie.
Die Gründe, weshalb ein Beweis der Riemannschen Vermutung bahnbrechend für die Mathematik wäre, sind vielseitig: Die geometrische Lage der nichttrivialen „Dualzahlen“ birgt Informationen zu der Verteilung der Primzahlen. Kennt man alle Dualzahlen, so kann damit sogar die exakte Verteilung der Primzahlen rechnerisch beliebig genau rekonstruiert werden (siehe unteres Bild zur Primzahlhäufigkeit). Durch das Dualitätsprinzip gehen also wechselseitig keine Informationen verloren. In theoretischer Hinsicht ließe sich die Lage auf einer gemeinsamen Geraden dadurch interpretieren, dass die Primzahlen möglichst gleichmäßig und damit pseudozufällig verteilt sind. Sie liegen also „alle bereits fest“, jedoch ist es schwierig, dem Verteilungsmuster einfache Notwendigkeiten abzuringen. Zum Beispiel kann in den Primfaktorzerlegungen benachbarter Zahlen, wie etwa