Ein catalanischer Körper oder auch dual-archimedischer Körper ist ein Körper, der sich zu einem archimedischen Körper dual verhält. So ist zum Beispiel das Rhombendodekaeder dual zum Kuboktaeder. Benannt sind die catalanischen Körper – von denen es 13 gibt – nach dem belgischen Mathematiker Eugène Charles Catalan. Die catalanischen Körper sind konvexe Polyeder.
Ein catalanischer Körper hat nur eine Art von Seitenflächen, d. h. sämtliche Seitenflächen sind zueinander kongruent. Die Seitenflächen sind nichtregelmäßige Vielecke. Andererseits gibt es mindestens zwei verschiedene Arten von Ecken (das Rhombendodekaeder hat zum Beispiel Ecken, an die drei Rhomben, und solche, an die vier Rhomben grenzen). Bei den archimedischen Körpern verhält es sich andersherum: Sie haben eine Art von Ecken und mehrere Arten von Seitenflächen.
Allen catalanischen Körpern ist gemein, dass sie eine Inkugel, die sämtliche Flächen von innen berührt, aufweisen. Außerdem existiert eine Kantenkugel, die sämtliche Kanten von innen berührt. Alle Diederwinkel eines catalanischen Körpers sind gleich.
Eine charakteristische Eigenschaft der catalanischen Körper ist die Uniformität der Flächen. Das heißt: Sind A und B zwei beliebige Seitenflächen, dann kann man den Körper so drehen oder spiegeln, dass der Körper in sich und die Seite A in die Seite B überführt wird. Diese Eigenschaft folgt aus der Uniformität der Ecken für archimedische Körper.
+ Übersicht der catalanischen Körper Catalanischer Körper Bild Dualer Körper Flächen Ecken Kanten Flächenform Symmetrie Triakistetraeder 100px|Triakistetraeder(Animation) Tetraederstumpf 12 8 18 gleichschenkliges Dreieck Rhombendodekaeder 100px|Rhombendodekaeder(Animation) Kuboktaeder 12 14 24 Rhombus Tetrakishexaeder 100px|Tetrakishexaeder(Animation) Oktaederstumpf 24 14 36 gleichschenkliges Dreieck Triakisoktaeder 100px|Triakisoktaeder(Animation) Hexaederstumpf 24 14 36 gleichschenkliges Dreieck Deltoidalikositetraeder 100px|Deltoidalikositetraeder(Animation) Rhombenkuboktaeder 24 26 48 Deltoid Pentagonikositetraeder(zwei spiegelbildlichentgegengesetzteVarianten) 100px|Pentagonikositetraeder (Guzs)(Animation)100px|Pentagonikositetraeder (Uzs)(Animation) abgeschrägtes Hexaeder 24 38 60 allgemeines Fünfeck Hexakisoktaeder oder Disdyakisdodekaeder 100px|Hexakisoktaeder(Animation) Kuboktaederstumpf 48 26 72 unregelmäßiges Dreieck Rhombentriakontaeder 100px|Rhombentriakontaeder(Animation) Ikosidodekaeder 30 32 60 Rhombus Pentakisdodekaeder 100px|Pentakisdodekaeder(Animation) Ikosaederstumpf 60 32 90 gleichschenkliges Dreieck Triakisikosaeder 100px|Triakisikosaeder(Animation) Dodekaederstumpf 60 32 90 gleichschenkliges Dreieck Deltoidalhexakontaeder 100px|Deltoidalhexakontaeder(Animation) Rhombenikosidodekaeder 60 62 120 Deltoid Pentagonhexakontaeder(zwei spiegelbildlichentgegengesetzteVarianten) 100px|Pentagonhexakontaeder (Guzs)(Animation)100px|Pentagonhexakontaeder (Uzs)(Animation) abgeschrägtes Dodekaeder 60 92 150 allgemeines Fünfeck Hexakisikosaeder oder Disdyakistriakontaeder 100px|Hexakisikosaeder(Animation) Ikosidodekaederstumpf 120 62 180 unregelmäßiges Dreieck
Siehe auch Platonischer Körper Archimedischer Körper Johnson-Körper Deltaeder
Weblinks
Mathematische Basteleien
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