Physikalische Größe

mini|Messschieber zur Messung der Länge mini|Balkenwaage zur Messung der Masse durch Vergleich ihres Gewichts mit demjenigen von bekannten Gewichtsstücken mini|Stoppuhr zur Messung der Zeit, Maßeinheit: Sekunde mini|Strommesser zur Messung der Stromstärke, Maßeinheit: Ampere mini|Thermometer zur Messung der Temperatur, Maßeinheit: Grad Celsius Eine physikalische Größe ist eine an einem Objekt der Physik quantitativ bestimmbare Eigenschaft eines Vorgangs oder Zustands. Beispiele solcher Größen sind Länge, Masse, Zeit, Stromstärke. Jeder spezielle Wert einer physikalischen Größe (Größenwert) wird als Produkt aus einem Zahlenwert (auch Maßzahl)Julius Wallot schreibt dazu: und einer Maßeinheit angegeben. Vektorielle Größen werden durch Größenwert und Richtung angegeben.

Eine Größengleichung ist die mathematische Darstellung eines physikalischen Gesetzes, das Zustände eines physikalischen Systems und deren Änderungen beschreibt. Sie stellt den dabei geltenden Zusammenhang zwischen verschiedenen physikalischen Größen dar, wobei in der Regel für jede dieser Größen ein Formelzeichen steht. Größengleichungen gelten unabhängig von den gewählten Maßeinheiten.

Diejenigen physikalischen Größen, die als Basis eines Größensystems festgelegt sind, heißen Basisgrößen.

Geschichte Schon Leonhard Euler (1707–1783) verwendet den Begriff der Größe: „Erstlich wird alles dasjenige eine Größe genannt, welches einer Vermehrung oder einer Verminderung fähig ist, oder wozu sich noch etwas hinzusetzen oder davon hinwegnehmen läßt. Diesemnach ist eine Summe Geldes eine Größe, weil sich dazu setzen oder hinweg nehmen läßt. Imgleichen ist auch ein Gewicht eine Größe und dergleichen mehr.“

J. C. Maxwell (1831–1879) führt den Größenbegriff gleich am Anfang der Einleitung seines Lehrbuchs der Electrizität und des Magnetismus ein: „Jeder Ausdruck einer Größe besteht aus zwei Faktoren oder Bestandteilen. Einer davon ist der Name einer bestimmten bekannten Größe von derselben Art wie die Größe, die auszudrücken ist, und die als Standard oder Bezugsgröße zu verstehen ist. Die andere Komponente ist die Anzahl der Male, wie oft der Standard zu nehmen ist, um die fragliche Größe zu erhalten. Die Standardgröße wird in der Fachsprache Einheit genannt und die Anzahl wird der Zahlenwert der Größe genannt.“

Der Begriff der physikalischen Größe im heutigen Verständnis wurde von Julius Wallot im Jahr 1922 eingeführt und setzte sich ab 1930 langsam durch. Das führte zu einer begrifflich klaren Unterscheidung zwischen Größengleichungen, Zahlenwertgleichungen und zugeschnittenen Größengleichungen (siehe Zahlenwertgleichung).

Grundlage dafür ist die Beziehung zwischen Größe, Zahlenwert und Einheit:

Dabei ist: {| |- style="text-align:center;" | ||style="text-align:left; padding-left:1em"| eine beliebige Größe; |- style="text-align:center;" | ||style="text-align:left; padding-left:1em"| der Zahlenwert, der sich beim Vergleich der Größe mit der Einheit ergibt; und |- style="text-align:center;" | ||style="text-align:left; padding-left:1em"| eine (willkürlich) gewählte konstante Einheit von derselben Art wie . |} Salopp ausgedrückt: Größe = Zahlenwert mal Einheit. Wallot leitet diese Beziehung unmittelbar aus der Existenz von Vergleichsverfahren zwischen verschiedenen Größenwerten einer Größe ab. Ein festgelegter Größenwert, mit dem Größen derselben Art verglichen werden können, wird als Einheit bezeichnet. Die Zahl, die man beim Vergleich irgendeiner gegebenen Länge mit einer Längeneinheit (beispielsweise dem Erdumfang) erhält, heißt Zahlenwert, oder allgemein: .

Grundlagen Ein Vergleich von zwei Dingen erfordert stets ein Kriterium, anhand dessen der Vergleich stattfindet (Tertium Comparationis). Dies muss ein Merkmal (oder Eigenschaft) sein, das beiden Dingen zu eigen ist. Als physikalische Größe bezeichnet man ein Merkmal dann, wenn dieses einen Wert besitzt, sodass das Verhältnis zweier Merkmalswerte ein reeller Zahlenfaktor (Verhältnisgröße)DIN 1313 Dezember 1998: Größen. ist. Ein Vergleich anhand einer Größe ist somit quantifizierbar. Den Vergleichsvorgang zur Bestimmung des Zahlenfaktors bezeichnet man als Messung. Die Messbarkeit eines Merkmals, d. h. die Angabe einer eindeutigen und reproduzierbaren Messvorschrift für einen Vergleich, ist gleichwertig mit der Definition einer physikalischen Größe.

Alle Merkmale eines Objektes fallen in zwei Klassen, physikalische Größen und alle übrigen. Die Physik beschäftigt sich ausschließlich mit der erstgenannten Klasse. Sie stellt allgemeine Zusammenhänge zwischen Größenwerten auf, also Zusammenhänge, die für alle Träger dieser Größe gelten. Als Träger bezeichnet man hierbei alle Objekte, die die betrachtete Größe als Merkmal besitzen. Physikalische Zusammenhänge sind somit unabhängig von der konkreten Beschaffenheit eines Trägers.

Die folgenden Abschnitte gehen auf einzelne Begriffe ein, die im Zusammenhang mit physikalischen Größen verwendet werden.

Dimension

Wenn der Quotient zweier Größenwerte verschiedener physikalischer Größen eine reelle Zahl ist, dann handelt es sich um physikalische Größen gleicher Dimension. In jeder Gleichung zwischen physikalischen Größen müssen beide Seiten von gleicher Dimension sein (Dimensionsbetrachtung).

Der Begriff Dimension ist in Verbindung mit einem Größensystem zu betrachten. Die Dimension stellt die jeweilige physikalische Größe qualitativ im Größensystem dar. Die Dimension einer abgeleiteten physikalischen Größe wird als Potenzprodukt von Dimensionen der Basisgrößen definiert. Dieses Potenzprodukt stützt sich auf die zugrundeliegenden Größengleichungen; eventuelle Zahlenfaktoren, mathematische Operationen wie Skalar- oder Vektorprodukt, Differenzialquotient, Integral, Stufe der zu den Größen gehörenden Tensoren bleiben unberücksichtigt. Auf diese Weise lässt sich eine qualitative Abhängigkeit der abgeleiteten Größe von den Basisgrößen darstellen.

Beispiel:

Im Internationalen Größensystem (ISQ) ist die abgeleitete physikalische Größe mechanische Arbeit definiert als

.

Die Dimension der mechanischen Arbeit lässt sich aus den Dimensionen der in dieser Größengleichung beteiligten Größen herleiten.

Größenart Mit dem Begriff Größenart, auch Art einer Größe genannt, werden qualitative Eigenschaften physikalischer Größen einer gegebenen Dimension unterschieden. „Er wird allerdings nicht einheitlich definiert. Meist wird darunter etwas verstanden, was man aus einer physikalischen Größe erhält, wenn man von allen numerischen Faktoren absieht, aber Vektor- oder Tensorcharakter sowie Sachbezüge beibehält.“Friedrich Kohlrausch, 1996, Band 3, S. 4 Nach dem Internationalen Wörterbuch der Metrologie (VIM), 3. Auflage 2010, ist Größenart der „Aspekt, der untereinander vergleichbaren Größen gemeinsam ist“, und in einer Anmerkung heißt es: „Die Unterteilung des Oberbegriffs ‚Größe‘ nach der Größenart ist […] willkürlich“. Größen gleicher Art lassen sich in sinnvoller Weise durch Addition und Subtraktion verknüpfen. Außerdem gelten für Größen gleicher Art die Ordnungsrelationen „größer“, „kleiner“ und „gleich“.

Beispielsweise sind Breite, Höhe und Länge eines Quaders, Durchmesser eines Rohrs, Spannweite eines Vogels, Wellenlänge alles Größen der Größenart „Länge“; sie können mit der Länge eines Gliedermaßstabs verglichen werden. Ob auch noch die Niederschlagshöhe, angegeben als Volumen/Fläche, als hiermit gleichartig betrachtet wird, bleibt dem Anwender überlassen, obwohl auch sie leicht mit dem Metermaß messbar ist. Der Verbrauchsangabe bei Kraftfahrzeugen in „Liter pro 100 Kilometer“ wird man jedoch kaum die Größenart Fläche zusprechen, obwohl sie die Dimension einer Fläche hat.

Zu diesem ambivalenten Begriff wird im Kohlrausch festgestellt:

Größenwert Der Wert einer physikalischen Größe (Größenwert) ist nach allgemein verbreiteter Auffassung das Produkt aus einer Zahl und der physikalischen Einheit, die der betreffenden Größenart zugeordnet ist. Das Verhältnis von zwei Größenwerten gleichartiger Größen ist eine reelle Zahl.

Vorsichtiger wurde dies innerhalb des deutschen Normenwerkes in der ersten Ausgabe „Schreibweise physikalischer Gleichungen“ der Norm DIN 1313 vom November 1931 dargestellt: Physikalische Größe = Zahlenwert „mal“ Einheit.

Man bezeichnet einen Unterschied um den Faktor 10 zwischen Werten derselben Größe als eine Größenordnung.  Größenordnungen entsprechen also einem Faktor von .

Es gibt eine Reihe von Größen, deren Größenwerte unveränderlich feststehen. Diese nennt man Naturkonstante, Universalkonstante oder auch physikalische Konstante (Beispiele: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, Elementarladung, Planck-Konstante, Feinstrukturkonstante).

Zahlenwert und Einheit Es ist zweckmäßig, das Verhältnis eines Größenwerts zu dem Wert einer gleichartigen, feststehenden und wohldefinierten Vergleichsgröße zu ermitteln. Den Vergleichsgrößenwert bezeichnet man als Maßeinheit oder kurz Einheit, das gemessene Verhältnis als Maßzahl oder Zahlenwert. Der Größenwert kann dann als Produkt aus Zahlenwert und Einheit dargestellt werden (siehe auch Abschnitt Schreibweise). Der Zahlenwert ist je nach Definition der Größe eine reelle Zahl – bei manchen Größen auf nicht negative Werte beschränkt – oder komplex; bei einigen Größen der Dimension Eins (dimensionslosen Größen), wie z. B. manchen Quantenzahlen, ist er immer ganzzahlig.

Die Definition einer Einheit unterliegt der menschlichen Willkür. Eine Möglichkeit besteht in der Wahl eines bestimmten Objekts – eines sogenannten Normals – als Träger der Größe, dessen Größenwert als Einheit dient. Auch ein berechneter Größenwert kann gewählt werden, wofür allerdings ein geeigneter physikalischer Zusammenhang mit anderen Größenwerten bekannt sein muss (siehe auch Abschnitt Größengleichungen). Eine dritte Möglichkeit ist, den Wert einer physikalischen Konstanten als Einheit zu verwenden, sofern eine solche für die gewünschte Größe existiert.

Theoretisch genügt es, für eine Größenart eine einzige Einheit zu definieren. Historisch bedingt hat sich aber häufig eine Vielzahl verschiedener Einheiten für die gleiche Größenart gebildet. Sie unterscheiden sich wie alle gleichartigen Größenwerte lediglich um einen reinen Zahlenfaktor.Eine Ausnahme sind die gebräuchlichen Einheiten für Temperatur, die sich zusätzlich um einen konstanten additiven Term unterscheiden. Der Grund liegt in der abweichenden Definition des Nullpunktes.

Skalare, Vektoren und Tensoren

Bestimmte physikalische Größen besitzen eine Orientierung im physikalischen Raum, der Größenwert hängt also von der Messrichtung ab. Beispielsweise ist die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs typischerweise entlang einer Straße gerichtet; die gemessene Geschwindigkeit senkrecht zu dieser ist null – es handelt sich um eine vektorielle Größe. Die mechanische Spannung in einem Werkstück hängt stark von der betrachteten Schnittfläche ab – es gibt hier mehr als eine zu betrachtende Richtung, also ist zur Beschreibung ein Tensor (zweiter Stufe) nötig.

Ein Tensor -ter Stufe lässt sich im kartesischen Koordinatensystem mit Elementen beschreiben und hat dabei bestimmte einfache Eigenschaften bei Koordinatentranslation bzw. -transformation. Dementsprechend kann er eine bestimmte Klasse physikalischer Größen beschreiben:H. Goldstein, C. P. Poole Jr., J. L. Safko Sr.: Klassische Mechanik. 3. Auflage, Wiley-VCH, 2012, ISBN 978-3-527-66207-4, Abschnitt 5.2: Tensoren. Ein Tensor 0. Stufe ist ein Skalar. Er beschreibt eine Größe, die richtungsunabhängig ist und einzig durch ihren Größenwert (als Zahl) bestimmt ist. Ein Tensor 1. Stufe ist durch drei Komponenten bestimmt. Jeder Vektor ist ein Tensor 1. Stufe. Ein Tensor 2. Stufe ist durch neun Komponenten bestimmt. Er wird meist durch eine 3×3-Matrix dargestellt. Mit „Tensor“ ohne Zusatz ist meist ein Tensor 2. Stufe gemeint.