mini|hochkant=1.4|Die rote Kurve ist eine Epizykloide. Sie entsteht durch Abrollen des kleinen Kreises auf dem großen Kreis durch Verfolgung des anfänglichen Berührpunktes beider Kreise.
Eine Epizykloide (von und bzw. ) ist eine Rollkurve, die sich folgendermaßen beschreiben lässt: Auf der Außenseite eines gegebenen Kreises (Rastkreis / Rastpolbahn) mit Radius rollt ein weiterer Kreis (Gangkreis / Gangpolbahn) mit Radius , ohne zu gleiten. Die Bezeichnungen und sind nicht als Größenvergleich zu verstehen; es gibt auch Epizykloiden mit . Die Bahn, die ein mitrotierender Punkt auf dem Umfang des Gangkreises beschreibt, wurde schon von Philippe de La Hire als Epizykloide bezeichnet. Die finale Namensgebung mit Abgrenzung zu Hypotrochoiden erfolgte allerdings später, 1888 war sie aber dann in der heutigen Form üblich.
Epizykloiden weisen immer Spitzen auf. Befindet sich der mitrotierende Punkt nicht auf dem Umfang des Gangkreises, entstehen Epitrochoiden, also Kurven ohne Spitzen.Die Namensgebung führte Young im Jahr 1800 ein. siehe Fußnote in Die Epizykloide ist somit ein Spezialfall der Epitrochoiden.
Aufgrund der doppelten Erzeugung kann jede Epizykloide auch durch das Abrollen eines (großen) Kreises um einen fest stehenden kleineren Kreis erzeugt werden. Wenn der Entstehungsmechanismus von Interesse ist, nennt man eine auf diese Art erzeugte Epizykloide eine Perizykloide., siehe Fußnote in Aus Perizykloiden werden durch kinematische Umkehrung (Vertauschung von festem und bewegtem Kreis) Hypozykloiden. Hier rollt ein kleinerer Kreis auf der Innenseite eines größeren Kreises ab.
Unter einer Zykloide versteht man normalerweise eine Kurve, die beim Abrollen eines Kreises auf einer Geraden entsteht. Teilweise wird dieser Begriff aber allgemeiner verwendet, sodass auch Epizykloiden und Hypozykloiden eingeschlossen sind.
Epizykloiden sind blumenähnliche Kurven, die an Mandalas erinnern. Historisch spielten Epizykloiden eine wichtige Rolle in der Epizykeltheorie. Mit dieser Theorie versuchte man, die beobachteten Planeten-Bahnen mit teilweise eigentümlich anmutenden Schleifen zu erklären.
Geschlossenheit
Sowohl Epizykloiden als auch Hypozykloiden sind genau dann geschlossene Kurven, wenn das Längenverhältnis = der Radien rational ist und sich als gekürzter Bruch von zwei ganzen Zahlen und schreiben lässt. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das:
Dabei bezeichnet den größten gemeinsamen Teiler von und . Im ersten Bruch ist der Radius des stehenden „Rades“ und der Radius des umlaufenden „Rades“. Bei der technischen Umsetzung in Form von Zahnrädern ist die Anzahl der „Zähne“ maßgeblich, sodass sich stets geschlossene Kurven ergeben.
Anzahl der Spitzen Die Anzahl der Spitzen der geschlossenen Epizykloide ist identisch mit der ganzen Zahl .
Anzahl der Umläufe Die Anzahl der Umläufe des sich bewegenden „Rades“ während einer Periode ist .
Doppelte Erzeugung von Epizykloiden
Bei einer Epizykloide, die durch Abrollen eines Kreises mit Radius um einen festen Kreis mit Radius entsteht, schwankt der Abstand der Kurvenpunkte vom Mittelpunkt des festen Kreises zwischen und (Summe aus dem Radius des Leitkreises und dem Durchmesser des bewegten Kreises). Diese Epizykloide lässt sich auch als Perizykloide bzw. allgemeiner als Peritrochoide, siehe Fußnote in auffassen: Ein Kreis mit Radius rollt mit seiner Innenseite um einen festen Kreis mit Radius . Als Beispiel ist hier eine Epizykloide mit abgebildet. Bei der entsprechenden Perizykloide ist der Radius des festen Kreises ebenfalls gleich , der Radius des bewegten Kreises aber gleich . Dies bedeutet: Das Längenverhältnis (Übersetzungsverhältnis) der Radien ist = bzw.. Getriebetechnisch lässt sich das erzeugende Getriebe einer Peritrochoide durch das Abrollen eines Hohlrades um ein stillstehendes kleineres Rad verwirklichen.
Die doppelte Erzeugung wurde 1694 erstmals von Philippe de La Hire für Epi- und Hypozykloiden beschrieben und 1867 von Bellermann auf Epi- und Hypotrochoiden ausgeweitet. siehe siehe
Parameterdarstellung
mini|hochkant=1.4|Zur Herleitung der Parameterdarstellung Die kartesischen Koordinaten eines Kurvenpunktes lassen sich berechnen durch
Dabei wird vorausgesetzt, dass der feste Kreis den Mittelpunkt hat. Die Startposition des erzeugenden Punktes ist . Als Parameter wird der Winkel verwendet, den die Verbindungsstrecke zwischen dem Ursprung und dem Mittelpunkt des bewegten Kreises mit der x-Achse einschließt.
Zur Begründung betrachtet man die beiden Kreisbögen (in der Skizze rot), die der bisherigen Rollbewegung entsprechen. Der zugehörige Mittelpunktswinkel im bewegten Kreis (grün) sei mit bezeichnet. Nun lassen sich die Gleichungen trigonometrisch begründen. Der Ortsvektor von ist wegen gegeben durch
Ähnlich ist
zu begründen ( ist der Winkel gegenüber der x-Richtung). Insgesamt erhält man für den Ortsvektor von :
Da die Kreisbögen gleich groß sein müssen, gilt . Man kann also den Winkel durch ausdrücken (). Es folgt:
Mithilfe der Abkürzung lassen sich die Gleichungen noch einfacher schreiben:
Es ist auch möglich, die Epizykloide mit Polarkoordinaten darzustellen.
mini|Alternativer Startpunkt
Alternative Definition und Parameterdarstellung
Verwendet man als Startposition des erzeugenden Punktes, so entsteht eine zur obigen Definition um den Winkel gedrehte Kurve. Ihre Parameterdarstellung ist:
Weitere Beispiele In dem folgenden Schaubild ist links eine ganze Zahl, deswegen überlappen sich die „Blütenblätter“ links nicht und die Kurve schließt sich schon nach einem Umlauf des Kreises mit Radius auf dem Umfang des Kreises mit Radius (blau). Rechts überlappen sich die„Blütenblätter“; die Kurve schließt sich wegen erst nach zwei Umläufen.
miniatur|zentriert|hochkant=2|Epizykloiden
Eigenschaften der Epizykloide
Zahl der Schnittpunkte
Die Zahl der Schnittpunkte (Doppelpunkte) ist gleich . Falls die Epizykloide bei einem Umlauf – des bewegten Kreises um den feststehenden Kreis – erzeugt wird (), existieren keine Schnittpunkte. Ist die Zahl der Umläufe größer (), so erhöht sich für jeden zusätzlichen Umlauf die Zahl der Schnittpunkte um .
Länge
Die ersten Ableitungen der letzten Parameterdarstellung sind
woraus
folgt. (Es wurden die trigonometrischen Formeln für und , der „trigonometrische Pythagoras“ und die Formel verwendet.)
Für ganzzahliges liegt eine sich schließende Epizykloide mit Bögen vor. Die Länge eines Bogens ist
Die Gesamtlänge beträgt daher
Flächeninhalt
mini|Epizykloide: Sektor Aus der Sektorformel von Leibniz
und
ergibt sich bei ganzzahligem für den Sektor-Flächeninhalt zu einem Bogen
und für die gesamte von der Epizykloide eingeschlossene Fläche ( Bögen)
Evolute
mini|Epizykloide: Evolute (rot) Wegen (siehe oben) und
gilt . Die Parameterdarstellung der Evolute ist daher
(Die Koordinaten beziehen sich auf einen Punkt der gegebenen Epizykloide, die Koordinaten auf den entsprechenden Punkt der Evolute.)
Aus den Gleichungen erkennt man, dass die Evolute wieder eine Epizykloide ist. Sie ist gegenüber der gegebenen Epizykloide mit dem Faktor (im Bild ) verkleinert und um (im Bild ) gedreht.
Das nächste Bild zeigt ein weiteres Beispiel einer Zykloide mit und ihre Evolute. Im zweiten Beispiel ist . In diesem Fall schließt sich die Epizykloide erst nach zwei Durchgängen, da keine ganze Zahl ist.
Spezielle Epizykloiden Kardioide
miniatur|hochkant=1.1|Kardioide, Konstruktionsskizze als Animation, Pause zu Beginn 15 s sowie Pause am Ende 10 s; die Spitze der Kardioide liegt auf der Koordinate (-2,0)miniatur|227px|Kardioide als Kreis-Konchoide Für ergibt sich eine Kardioide (Herzkurve). Für Umfang und Fläche erhält man:
Wenn die Spitze der Kardioide im Koordinatenursprung liegt, lautet die Gleichung in Polar- bzw. kartesischen Koordinaten:
Die animierte Skizze rechts zeigt die Konstruktion von Kardioidenpunkten. Gegeben seien ein innerer Kreis mit Radius , dessen Mittelpunkt der Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems ist, und der darauf abrollende Kreis mit Radius Um den Punkt auf dem Radius innerhalb eines Quadranten – vorteilhaft zwischen den Koordinatenachsen – zu bestimmen, bedarf es nur einer Verbindung der Kreismittelpunkte und der Übertragung des Mittelpunktswinkels (siehe Bild) vom inneren Kreis (blau) auf das Zentrum des abrollenden Kreises (grün). Der Schenkel des Winkels erzeugt mit (rot) den Punkt, der die Kardioide als Ortskurve liefert.
Diese Kurve kann man auch anders erhalten, und zwar als Kreiskonchoide (Pascalsche Schnecke): Man zeichnet von einem Punkt auf dem Kreisumfang eine Sehne und verlängert sie um den Kreisdurchmesser. Wenn die Sehne sich dreht, beschreibt der Endpunkt der Verlängerung eine Kardioide.
Nephroide
mini|hochkant=1.1|Nephroide, Konstruktionsskizze als Animation, Pause zu Beginn 25 s sowie Pause am Ende 10 s Ist sprich so erhält man, wie im Folgenden beschrieben, eine Nephroide. Sie hat die Maße
Es sei ein innerer Kreis mit Radius , dessen Mittelpunkt der Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems und der darauf abrollende Kreis mit Radius Um den Punkt auf dem Radius innerhalb eines Quadranten – vorteilhaft zwischen den Koordinatenachsen – zu bestimmen, verbindet man zuerst die Mittelpunkte der beiden Kreise. Der dabei im Winkelscheitel des inneren Kreises entstandene Mittelpunktswinkel (siehe Bild) wird nun mit der Winkelweite in das Zentrum des abrollenden Kreises (grün) mit positivem Drehsinn eingearbeitet. Der Winkelschenkel des Winkels erzeugt mit (rot) den Punkt, der die Nephroide als Ortskurve liefert.
Für die dargestellte Nephroide gilt die Gleichung
mit dem eingesetzten Wert
ergibt sich schließlich
Epitrochoide
Die Epitrochoide ist eine naheliegende Verallgemeinerung der Epizykloide. Ein Kreis mit Radius rollt auf der Außenseite eines festen Kreises mit Radius . Der erzeugende Punkt hat zum Mittelpunkt des bewegten Kreises einen Abstand .
Folgende Typen werden unterschieden: Verkürzte oder gestreckte Epizykloide () Verlängerte oder verschlungene Epizykloide () Epizykloide (, siehe oben), auch als gespitzte Epizykloide bezeichnet
Parametergleichung
mini|hochkant=1|Verkürzte Epitrochoide mit und Durch eine geringfügige Abwandlung der obigen Herleitung für die Parameterdarstellung einer Epizykloide ( statt ) erhält man die Parameterdarstellung einer Epitrochoide:J. Dennis Lawrence: A catalog of special plane curves. Dover Publications, 1972, S. 160–164. ISBN 0-486-60288-5.
Mit ist:
ist der Abstand des Startpunktes () zum Mittelpunkt des kleinen Startkreises.
Für die genaue Beschreibung von Epitrochoiden sind zwei Begriffe bedeutsam, der Ball’sche Kreis und die Übergangskreise.
Ball’scher Kreis
Der Ball’sche Kreis, ein Spezialfall der Ball’schen Kurve, ist ein Kreis um den Mittelpunkt des umlaufenden Kreises mit dem Radius
Er spielt beim Krümmungsverhalten einer Epitrochoide eine wichtige Rolle.
Übergangskreise
Übergangskreise einer Epitrochoide (Spezialfall von Übergangskurven) sind dadurch gekennzeichnet, dass die Epitrochoide Berührungspunkte aufweist, wenn der erzeugende Punkt auf einem dieser Übergangskreise liegt. Da es sich hier um konzentrische Kreise um den Mittelpunkt des bewegten Kreises handelt, ist der Name Übergangskreis sinnvoll. Beim Verschieben des erzeugenden Punkts über einen der Übergangskreise ändert sich die Zahl der Schnittpunkte (Doppelpunkte) der Epitrochoide. Die Radien der Übergangskreise lassen sich im Allgemeinen nicht analytisch berechnen. Die Ermittlung mithilfe von Näherungsverfahren ist nicht kompliziert, würde aber den Rahmen dieses Artikels sprengen. Die Berechnung kann man Internetseiten überlassen. Die Übergangskreise befinden sich, falls vorhanden, außerhalb des bewegten Kreises.
Die Anzahl der Übergangskreise lässt sich berechnen durch
Die hier verwendete Gaußklammer drückt aus, dass der Wert von , falls er nicht ganzzahlig ist, auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerundet werden muss.