mini|hochkant=1.4|Mandelbrot-Menge (schwarz) mit farbig kodierter Umgebung. Jedes Pixel entspricht einer komplexen Zahl Farbig kodiert ist die Anzahl an notwendigen Iterationen sodass wird. Die Farb­übergänge wurden mittels Zeit­interpolation geglättet; der Koordinaten­ursprung befindet sich in der Bildmitte. Die Mandelbrot-Menge, benannt nach Benoît Mandelbrot, ist die Menge der komplexen Zahlen für welche die durch die iterative Vorschrift mit dem Anfangswert definierte Folge endlich bleibt, d. h. beschränkt ist.

Interpretiert man die Mandelbrot-Menge (eine Teilmenge der Gaußschen Zahlenebenen) als geometrische Figur, so ergibt sie ein Fraktal, das im allgemeinen Sprachgebrauch oft Apfelmännchen genannt wird. Bilder berechnet man, indem man jedem Pixel eines Bildes eine komplexe Zahl zuordnet Im Bild rechts mit 8000 × 4500 Pixeln ist (Mittelpunkt) und (Pixelgröße) gewählt worden. Die Pixel­koordinate läuft von bis und von bis , dabei wird die komplexe Zahlen­ebene im Realteil von bis abgerastert. und beginnend mit untersucht, ob und wann die Iterationen anfangen, zu „explodieren“. Bleiben die Werte klein, wird das Pixel häufig schwarz gefärbt, kommt es zu einer „Explosion“ der Zahlenwerte, wird die Anzahl der dafür notwendigen Iterationen als Farbe kodiert.Im Bild ist die kleinste Iterationszahl blau dargestellt, die weiteren Iterationszahlen folgen den Spektralfarben. Die Farbübergänge wurden mittels zeitlicher Interpolation geglättet; der Fluchtradius beträgt

Die ersten mit einem Computer generierten DarstellungenAusgabe auf einem Blatt Papier mit einem Drucker mit ca. 72 × 35 Pixeln Auflösung. wurden 1978 von Robert W. Brooks und Peter Matelski vorgestellt.Robert Brooks, J. Peter Matelski: The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C). In: Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference. In: Annals of Mathematics Studies. Band 97, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1981, S. 65–71. PDF; 0,9 MB. 1980 veröffentlichte Benoît Mandelbrot eine Arbeit über das Thema.Benoît Mandelbrot: Fractal aspects of the iteration of for complex In: Annals of the New York Academy of Sciences. Band 357, S. 249–259. Später wurde sie von Adrien Douady und John Hamal Hubbard in einer Reihe grundlegender mathematischer Arbeiten systematisch untersucht.Adrien Douady, John H. Hubbard: Etude dynamique des polynômes complexes. In: Prépublications mathématiques d’Orsay. 2/4, 1984/1985. . Englische Übersetzung: PDF; 1,6 MB. Die mathematischen Grundlagen dafür wurden bereits 1905 von dem französischen Mathematiker Pierre Fatou erarbeitet.

Definition mini|hochkant=1.2|Die Mandelbrot-Menge in der komplexen Ebene

Definition über Rekursion Die Mandelbrot-Menge ist die Menge aller komplexen Zahlen für welche die rekursiv definierte Folge komplexer Zahlen mit dem Anfangsglied

und dem Bildungsgesetz

beschränkt bleibt. Das heißt, eine komplexe Zahl ist Element der Mandelbrot-Menge wenn die Beträge der mit diesem berechneten nicht über jede Grenze wachsen, unabhängig davon, wie groß wird. Dies lässt sich wie folgt schreiben:

Es lässt sich zeigen, dass der Betrag der über jede Grenze wächst, sobald ein mit auftritt. Somit kann als obere Schranke gewählt werden, und es gilt:

Definition über komplexe quadratische Polynome Die Mandelbrot-Menge lässt sich auch über komplexe quadratische Polynome beschreiben:

mit einem komplexen Parameter Für jedes wird die Folge

iterativ berechnet, wobei die Hintereinanderausführung der Iteration bedeutet, also

In Abhängigkeit vom Parameter wächst diese Folge dann entweder unbeschränkt, sodass also kein Element der Mandelbrot-Menge ist, oder sie verbleibt innerhalb eines Bereichs um den Ursprung der Zahlenebene, und ist Element der Mandelbrot-Menge.

Die Mandelbrot-Menge ist eine Untermenge der komplexen Zahlen mit der Definition:

oder gleichbedeutend:

Zur Erläuterung werden einige Eigenschaften und Beispiele angeführt: Aufgrund der zuvor beschriebenen Feststellung kann gesetzt werden. Dabei gibt die Schranke den Radius um den Ursprung an, innerhalb dessen ein Element von liegen kann. Außerhalb dieses Kreises sind keine Elemente von zu finden. Wegen der Betragsfunktion ist symmetrisch zur reellen Achse. Um die Menge grafisch darzustellen, müssen die Werte des Parameters alle einzeln bis zu einer selbstbestimmten Anzahl von Iterationen berechnet werden. Für lautet die Folge und ist beschränkt. Daher ist Element von Für lautet die Folge und ist divergent. Daher ist kein Element von

Definition über Julia-Mengen Die Mandelbrot-Menge wurde von Benoît Mandelbrot ursprünglich zur Klassifizierung von Julia-Mengen eingeführt, die bereits Anfang des 20. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou untersucht wurden. Die Julia-Menge zu einer bestimmten komplexen Zahl ist definiert als der Rand der Menge aller Anfangswerte für die die obige Zahlenfolge beschränkt bleibt. Es kann bewiesen werden, dass die Mandelbrot-Menge genau die Menge der Werte ist, für die die zugehörige Julia-Menge zusammenhängend ist.Lei Tan: Similarity between the Mandelbrot set and the Julia sets. In: Communications in Mathematical Physics. 1990, Band 134, Nr. 3, S. 587–617. PDF; 2,8 MB. Bei: ProjectEuclid.org.

Dieses Prinzip wird in vielen Resultaten über das Verhalten der Mandelbrot-Menge vertieft. So zeigt Shishikura, dass der Rand der Mandelbrot-Menge ebenso wie die zugehörige Julia-Menge die Hausdorff-Dimension 2 hat. Ein unveröffentlichtes Manuskript von Jean-Christophe Yoccoz diente John Hamal Hubbard als Grundlage für seine Ergebnisse über lokal zusammenhängende Julia-Mengen und lokal zusammenhängende Mandelbrot-Mengen John H. Hubbard: Local connectivity of Julia Sets and bifurcation loci. Three Theorems of J.-C. Yoccoz. Hubbard zitiert in seiner Arbeit auf Seite 511 ein unveröffentlichtes Manuskript von J.-C. Yoccoz. PDF; 0,4 MB. 1993.

mini|hochkant=1.4|Zusammenhang mit dem Bifurkationsdiagramm der logistischen Gleichung (nach Koordinaten­transformation, vgl. die Bildbeschreibung)

Bezug zur Chaostheorie Das Bildungsgesetz, das der Folge zugrunde liegt, ist die einfachste nichtlineare Gleichung, anhand deren sich der Übergang von Ordnung zu Chaos durch Variation eines Parameters provozieren lässt. Dazu genügt es, reelle Zahlenfolgen zu betrachten.

In der Kardioide, also für Werte innerhalb des „Körpers“, konvergiert die Folge. Auf der „Antenne“, die von bis zum Myrberg-Feigenbaum-Punkt () reicht, verhält sich die Folge chaotisch. Der Übergang zu chaotischem Verhalten erfolgt nun über ein Zwischenstadium mit periodischen Grenzzyklen. Dabei nimmt die Periode zum chaotischen Bereich hin stufenweise um den Faktor zwei zu, ein Phänomen, das als Periodenverdopplung und Bifurkation bezeichnet wird. Jeder zu einer bestimmten Periode entspricht dabei einer der kreisförmigen „Knospen“ auf der .

Die Periodenverdopplung beginnt mit dem „Kopf“ und setzt sich in der Folge der „Knospen“ zur „Antenne“ hin fort. Das Verhältnis der Längen aufeinander folgender Parameterintervalle und damit das der Knospendurchmesser zu unterschiedlicher Periode strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante eine fundamentale Konstante der Chaostheorie. Dieses Verhalten ist typisch für den Übergang realer Systeme zu chaotischer Dynamik. Die auffälligen Lücken im chaotischen Bereich entsprechen Inseln mit periodischem Verhalten, denen in der komplexen Ebene die Satelliten auf der „Antenne“ zugeordnet sind.

Für gewisse komplexe stellen sich Grenzzyklen ein, die auf einer geschlossenen Kurve liegen, deren Punkte jedoch nicht periodisch, sondern chaotisch abgedeckt werden. Eine solche Kurve ist in der Chaostheorie als sogenannter seltsamer Attraktor bekannt.

Die Mandelbrot-Menge ist daher ein elementares Objekt für die Chaostheorie, an dem sich fundamentale Phänomene studieren lassen. Sie wird aus diesem Grund hinsichtlich ihrer Bedeutung für die Chaostheorie gelegentlich mit der von Geraden für die euklidische Geometrie verglichen.

Geometrische und mathematische Eigenschaften mini|hochkant=1.0|thumbtime=0:50|Zoomfahrt in die Mandelbrot-Menge Die Mandelbrot-Menge ist abgeschlossen (da ihr Komplement offen ist) und in der abgeschlossenen Scheibe mit dem Radius 2 um den Ursprung enthalten und somit kompakt.

Es sei und bezeichne die Iteration. Ein Punkt gehört genau dann zur Mandelbrot-Menge, falls für alle

Wird der Betrag von größer als 2, dann entkommt die Iteration ins Unendliche; der Betrag wächst über jede Grenze und gehört nicht zur Mandelbrot-Menge.

Der ungeheure Formenreichtum der Mandelbrot-Menge erschließt sich aus ihrem Bezug zu Julia-Mengen. Julia-Mengen zur Iteration sind Fraktale, außer für einige wie (Strecke) oder (Kreis). Die Formen dieser fraktalen Strukturen sind innerhalb einer Julia-Menge stets die gleichen, umspannen aber für Julia-Mengen zu verschiedenem Parameter einen enormen Formenreichtum. Es zeigt sich, dass die Strukturen der Mandelbrot-Menge in der Umgebung eines bestimmten Wertes genau die Strukturen der zugehörigen Julia-Menge wiedergeben. Damit enthält die Mandelbrot-Menge den kompletten Formenreichtum der unendlich vielen Julia-Mengen (s. u.).

In den fraktalen Strukturen am Rand finden sich verkleinerte ungefähre Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, die Satelliten. Jeder Bildausschnitt der Mandelbrot-Menge, der sowohl Punkte aus als auch solche außerhalb von umfasst, enthält unendlich viele dieser Satelliten. Unmittelbar am Rand eines Satelliten treten fast die gleichen Strukturen auf wie an den entsprechenden Stellen des Originals. Diese Strukturen sind jedoch nach weiter außen hin mit den Strukturen kombiniert, die für die größere Umgebung des Satelliten typisch sind.

Da jeder Satellit wiederum mit Satelliten höherer Ordnung bestückt ist, lässt sich immer eine Stelle finden, an der eine beliebige Anzahl beliebiger verschiedener Strukturen in beliebiger Reihenfolge kombiniert auftritt. Diese Strukturen sind allerdings nur bei extremer Vergrößerung erkennbar.

Die Mandelbrot-Menge ist spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Sie ist zusammenhängend (das heißt, sie bildet keine Inseln), wie Adrien Douady und John Hamal Hubbard 1984 bewiesen, und es wird vermutet (Douady/Hubbard), dass sie lokal zusammenhängend ist (MLC-Vermutung).Mandelbrot vermutete ursprünglich, dass die Mandelbrot-Menge nicht zusammenhängend sei, da die dünnen Filamente, die verschiedene Teile von verbinden, auf Computerbildern oft nicht erkennbar sind. Dies ist eine der großen offenen Fragen in der komplexen Dynamik und bisher unbewiesen (obwohl es Teilresultate zum Beispiel von Jean-Christophe Yoccoz gibt, der lokalen Zusammenhang für bestimmte Werte von bewies, für die endlich-renormalisierbaren Punkte). Die MLC erlaubt weitreichende Folgerungen über die Topologie der Mandelbrot-Menge. Beispielsweise würde daraus die Hyperbolizitätsvermutung folgen, dass jede offene Menge in der Mandelbrot-Menge (also das Innere der Mandelbrot-Menge) aus Punkten mit attraktiven Zyklen besteht. Die Mandelbrot-Menge ist zwar selbstähnlich, aber nicht exakt, denn keine zwei Teilstrukturen ihres Randes sind exakt gleich; aber in der Nähe vieler Randpunkte bilden sich bei fortgesetzter Ausschnittvergrößerung im Grenzfall periodische Strukturen. An speziellen Punkten hat die Mandelbrot-Menge Selbstähnlichkeit (vermutet von John Milnor und bewiesen von Mikhail Lyubich 1999).

Da die Mandelbrot-Menge Kardioid- und Kreisflächen enthält, hat sie die fraktale Dimension 2. Der Rand der Mandelbrot-Menge hat eine unendliche Länge, und seine Hausdorff-Dimension beträgt nach Arbeiten von Mitsuhiro Shishikura ebenfalls 2; das impliziert, dass die Box-Dimension den Wert 2 hat. Es ist denkbar, dass der Rand der Mandelbrot-Menge einen positiven (notwendig endlichen) Flächeninhalt hat; andernfalls wäre dieser Flächeninhalt null. Der Flächeninhalt der Mandelbrot-Menge ist nicht bekannt und beträgt nach numerischen Schätzungen etwa 1,5065918849.